Funzioni armoniche e filtro di Gauss

 2 
Possiamo ottenere ulteriori esempi di funzioni armoniche dalla teoria della 
differenziazione, in particolare; differenziando l’ultimo esempio rispetto a 1x  si può 
vedere che 
n
xx
−
1  è una funzione armonica in { }0\nR  quando si verifica la 
condizione 2>n .  
Più in là nel discorso si dimostrerà che ogni funzione armonica è infinitamente 
differenziabile e per questo motivo si potrà dedurre che ogni derivata parziale di 
una funzione armonica è ancora una funzione armonica. 
Ritornando un attimo alla funzione nxx −1 , si può vedere che essa è armonica in 
{ }0\nR  anche quando 2=n , questo caso può essere immediatamente verificato 
notando che  
2
1
−
xx  è una derivata parziale del xlog , cioè di una funzione armonica 
in { }0\2R . La funzione xlog  quando 2=n  gioca lo stesso ruolo della funzione nx −2  
quando quest’ultima abbia 2>n , ma c’è una sottile ma importante differenza,cioè 
che il ∞=∞→ xx loglim  ma 0lim 2 =−∞→ nx x  e che il xlog  non è limitata né 
superiormente né inferiormente mentre nx −2  è sempre positiva. Questo fatto ci 
mostra il contrasto insito nella teoria delle funzioni armoniche tra le funzioni nel 
piano e quelle in dimensioni maggiori. Un’altra differenza chiave si nota dalla stretta 
connessione tra funzioni olomorfe e funzioni armoniche nel piano, infatti una 
funzione reale e definita in 2R⊂Ω  è armonica se e solo se lo è la parte reale della 
funzione olomorfa.Invece nessun risultato comparabile si può trovare considerando 
dimensioni maggiori di 2. 
 
 
 3 
- Proprietà d’ invarianza 
 
In tutta la tesi, qualsiasi funzione presa in esame si assumerà che sia complessa a 
meno che non sia esplicitamente scritto il contrario. Detto ciò passiamo a 
considerare un’altra questione delle funzioni armoniche: l’invarianza.  
Si prenda k  intero positivo, con ( )ΩkC  si considererà l’insieme delle k  volte che 
una funzione definita in Ω sia differenziabile continuamente; assumiamo che ( )Ω∞C  
sia l’insieme di funzioni che appartengono a ( )ΩkC  per ogni k . Per nRE ⊂ , si dirà 
che ( )EC  è l’insieme di funzioni continue in E . Poiché il laplaciano è un operatore 
lineare in ( )Ω2C , allora le somme ed i multipli scalari di una funzione armonica sono 
loro stessi funzioni armoniche.  
Inoltre per nRy ∈  e u  funzione definita in Ω, la y  traslata di u  è la funzione in y+Ω  
della quale il valore alla x  è ( )yxu − . Con ciò, chiaramente si può affermare che la 
traslazione di una funzione armonica dà come risultato un’altra funzione armonica. 
Andando avanti in questo tipo di considerazioni, prendiamo in esame r  numero 
positivo e u  funzione in Ω, la r  dilatata di u  , 
r
u  è la funzione 
 
                                                      ( )( ) ( )rxuxur =  
 
definita per x  in ( ) ( ){ }Ω∈=Ω wwrr :/1/1 . Se ( )Ω∈ 2Cu , allora un semplice calcolo ci 
mostra che ( ) ( )
rr
uru ∆=∆ 2  in ( )Ωr/1 . Quindi la dilatata di una funzione armonica è a 
sua volta armonica. Si può notare ora la somiglianza tra il laplaciano  
 4 
22
1 ..... nDD ++=∆  e la funzione 221
2
....... nxxx += , della quale sappiamo che l’insieme 
dei livelli è definito dalle sfere con centro nell’origine. La stretta connessione tra le 
funzioni armoniche e le sfere è un argomento centrale nello studio della teoria delle 
suddette funzioni. La proprietà del valore medio mostrerà meglio questa 
connessione e verrà illustrata nella prossima sezione. 
Un altro legame coinvolge la trasformazione lineare in nR  , vale a dire che conserva 
la sfera unità; questo tipo di trasformazioni sono chiamate ortogonali. Infatti una 
mappa lineare nn RRT →:  è ortogonale se e solo se xTx =  per ogni nRx∈ . 
L’algebra lineare mostra che T  è ortogonale se e solo se i vettori colonna di una 
matrice di T  formano un insieme ortonormale.  
Ora si vedrà la relazione tra il laplaciano e le trasformazioni ortogonali, più 
precisamente, se T  è ortogonale e ( )Ω∈ 2Cu  allora 
 
( ) ( ) TuTu oo ∆=∆  
 
in ( )Ω−1T . Per dimostrare tutto ciò, consideriamo 
jkt   come matrice di T  relativa alla 
base standard di nR . Allora abbiamo che  
 
( ) ( )∑
=
=
n
j
jjkn TuDttuD
1
oo  
dove nD  è la derivata parziale rispetto alla n-esima variabile coordinata. 
Differenziando ulteriormente e sommando su m 
 
 5 
  
( ) ( )∑∑
==
=∆
n
jk
jkjmkm
n
m
TuDDtttu
1,1
oo  
                                                      ( )∑ ∑
= =






=
n
jk
jkjmkm
n
m
TuDDtt
1, 1
o  
      ( )∑
=
=
n
j
jj
TuDD
1
o  
      ( ) Tu o∆=  
 
 
come detto in precedenza. La funzione Tu o  viene chiamata rotazione di u . 
Possiamo quindi concludere che la rotazione di una funzione armonica è a sua 
volta un’altra funzione armonica. 
 
 
- La proprietà del valore medio 
 
Molte delle proprietà delle funzioni armoniche sono evidenti dall’identità di Green 
(della quale si avrà maggiormente necessità nel particolare caso che Ω sia una 
palla): 
 
( ) ( )∫∫ Ω∂Ω
−=∆−∆ dsuvDvuDdVuvvu nn                                      1.1 
 
 6 
In questa formula Ω è un sottoinsieme aperto e limitato di nR  con confini omogenei, 
mentre u  e v  sono funzioni 2C nell’intorno di Ω , insieme chiuso di Ω. La misura 
nVV =  è la misura del volume Lebesgue in nR , mentre s  rappresenta la misura 
della frontiera Ω∂ . Il simbolo nD  rappresenta la differenziazione rispetto alla 
normale esterna unitaria n  . Perciò per Ω∂∈ζ , ( )( ) ( )( ) ( )ζζζ nuuDn ⋅∇= , dove 
( )uDuDu n,.....,1=∇  rappresenta il gradiente di u  e ⋅ rappresenta il prodotto interno 
euclideo. 
La seguente e utile forma dell’identità di Green si presenta quando u  è armonica e 
1≡v : 
 
∫ Ω∂
= 0udsDn                                             1.2 
 
L’identità di Green diventa quindi la chiave per la dimostrazione della proprietà del 
valore medio. Prima di iniziare a trattare tale proprietà, bisogna introdurre alcune 
notazioni: ( ) { }raxRxraB n <−∈= :,  è la palla aperta con centro in a  di raggio r  , la 
sua chiusura è la palla chiusa ( )raB , ; la palla unità ( )1,0B  è rappresentata da B  
mentre la sua chiusura da B  . Quando la dimensione assume importanza si 
scriverà nB  invece che B . La sfera unità, frontiera di B , è rappresentata da S , la 
misura della superficie normalizzata in S  è rappresentata da σ , cosicchè ( ) 1=Sσ . 
1.3  Proprietà del valore medio: Se u  è armonica in ( )raB , , allora u  è uguale alla  
media di u  su ( )raB ,∂ , e più precisamente 
 
 7 
( ) ( ) ( )∫ += s drauau ζσζ  
                                     
Dimostriamo ora questa proprietà: innanzitutto si assuma che 2>n . Poi si può 
assumere anche che ( ) BraB =, , fissiamo ( )1,0∈ε . Applichiamo ora l’identità di 
Green con { }1: <<∈=Ω xRx n ε  e ( ) nxxv −= 2  ed otteniamo 
 
                ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫
−− −−−−−=
s s s s
n
n
n
n udsDudsDudsnudsn
ε ε
εε 21220  
                             
Dalla 1.2, possiamo vedere che gli ultimi due termini sono 0, perciò 
 
∫ ∫
−=
s s
n udsuds
ε
ε 1  
 
che è come dire 
                                               ( ) ( )∫∫ = ss duud ζσεζσ  
 
lasciando 0→ε  e utilizzando la continuità di u  a 0, si ottiene il risultato 
desiderato.La dimostrazione, nel caso in cui 2=n , è la stessa, con l’unica 
eccezione che nx
−2
 dovrà essere rimpiazzato da xlog . 
Le funzioni armoniche conservano la proprietà del valore medio anche rispetto alle 
misure di volume; in questo caso è indispensabile accennare alla formula delle 
coordinate polari. Tale formula afferma che per una funzione integrabile e 
misurabile con Borel f    in nR  si ha 
 8 
 
( )
( ) ( )∫∫∫
∞ −=
s
n
R
drdrfrfdV
BnV n
ζσζ
0
11
            1.4   
     
La costante ( )BnV  viene fuori dalla normalizzazione di σ . 
1.5  Proprietà del valore medio nel caso del volume. Se u  è armonica in ( )raB , , 
allora ( )au  è uguale alla media di u su ( )raB , ; e più precisamente 
                                           ( )
( )( ) ( )
udV
raBV
au
raB∫
=
,,
1
                                
Dimostriamo ora questa proprietà. Si assuma che ( ) BraB =, . Applichiamo la 
formula delle coordinate polari considerando f  uguale a u  volte la funzione 
caratteristica di B , e poi utilizzando anche la proprietà del valore medio 
precedentemente illustrata si otterrà la 1.5. 
Si conclude questa sezione con un’applicazione della proprietà del valore medio. 
Sappiamo che una funzione armonica a valori reali può avere una singolarità 
isolata e non rimovibile; per esempio, nx −2  ha una singolarità in 0 se 2>n . Ma 
comunque una funzione armonica u  a valori reali non può avere zeri isolati. 
1.6 Corollario: Gli zeri di una funzione armonica a valori reali non sono mai 
isolati. 
Per dimostrarlo supponiamo che  u  sia armonica e a valori reali in Ω∈Ω a, , e 
( ) 0=au . Consideriamo che 0>r  così che ( ) Ω⊂raB , . Poiché la media di u  su 
( )raB ,∂  è uguale a 0, o u  è identicamente 0 in ( )raB ,∂  o u  prende sia nel caso 
 9 
positivo che negativo un determinato valore in ( )raB ,∂ . Nel recente caso la 
connessione di ( )raB ,∂  implica che u abbia uno zero su ( )raB ,∂ . 
Perciò u ha uno zero sul bordo di ogni palla sufficientemente piccola con centro in 
a , provando così che a  non è uno zero isolato di u . 
L’ipotesi che u  sia reale è necessaria nel precedente corollario. Ciò non sorprende 
quando 0=n ,perché le funzioni olomorfe non costanti hanno zeri isolati. 
 
- Il principio di massimo 
Un’ importante conseguenza della proprietà del valore medio è il seguente principio 
di massimo che verrà illustrato in questa sezione. 
1.7 Il teorema di massimo: Supponiamo che Ω  sia chiuso,che u  sia reale ed 
armonica in Ω  e che infine u  abbia un massimo o un minimo in Ω . Allora u  
è costante. 
Passiamo ora alla dimostrazione di questa asserto. Si supponga che u  raggiunga 
un massimo per Ω∈a . Si scelga 0>r  tale che ( ) Ω⊂raB , . Se u  è minore di ( )au  in 
qualche punto di ( )raB , , allora la continuità di u  mostra che la media di u  su ( )raB ,  
è minore di ( )au , contraddicendo così il principio del valore medio. Perciò u  è 
costante in ( )raB , ,provando che l’insieme dove u  raggiunge il suo massimo è 
aperto in Ω . Poiché questo insieme è anche chiuso in Ω (ancora dalla continuità di 
u ), deve allora accadere che l’insieme appartiene a  Ω . Perciò u  è costante su Ω ,  
come detto in precedenza. 
Se u  raggiunge un minimo in Ω , il principio è valido comunque perché si prenderà 
in considerazione -u .