2
Possiamo ottenere ulteriori esempi di funzioni armoniche dalla teoria della
differenziazione, in particolare; differenziando l’ultimo esempio rispetto a 1x si può
vedere che
n
xx
−
1 è una funzione armonica in { }0\nR quando si verifica la
condizione 2>n .
Più in là nel discorso si dimostrerà che ogni funzione armonica è infinitamente
differenziabile e per questo motivo si potrà dedurre che ogni derivata parziale di
una funzione armonica è ancora una funzione armonica.
Ritornando un attimo alla funzione nxx −1 , si può vedere che essa è armonica in
{ }0\nR anche quando 2=n , questo caso può essere immediatamente verificato
notando che
2
1
−
xx è una derivata parziale del xlog , cioè di una funzione armonica
in { }0\2R . La funzione xlog quando 2=n gioca lo stesso ruolo della funzione nx −2
quando quest’ultima abbia 2>n , ma c’è una sottile ma importante differenza,cioè
che il ∞=∞→ xx loglim ma 0lim 2 =−∞→ nx x e che il xlog non è limitata né
superiormente né inferiormente mentre nx −2 è sempre positiva. Questo fatto ci
mostra il contrasto insito nella teoria delle funzioni armoniche tra le funzioni nel
piano e quelle in dimensioni maggiori. Un’altra differenza chiave si nota dalla stretta
connessione tra funzioni olomorfe e funzioni armoniche nel piano, infatti una
funzione reale e definita in 2R⊂Ω è armonica se e solo se lo è la parte reale della
funzione olomorfa.Invece nessun risultato comparabile si può trovare considerando
dimensioni maggiori di 2.
3
- Proprietà d’ invarianza
In tutta la tesi, qualsiasi funzione presa in esame si assumerà che sia complessa a
meno che non sia esplicitamente scritto il contrario. Detto ciò passiamo a
considerare un’altra questione delle funzioni armoniche: l’invarianza.
Si prenda k intero positivo, con ( )ΩkC si considererà l’insieme delle k volte che
una funzione definita in Ω sia differenziabile continuamente; assumiamo che ( )Ω∞C
sia l’insieme di funzioni che appartengono a ( )ΩkC per ogni k . Per nRE ⊂ , si dirà
che ( )EC è l’insieme di funzioni continue in E . Poiché il laplaciano è un operatore
lineare in ( )Ω2C , allora le somme ed i multipli scalari di una funzione armonica sono
loro stessi funzioni armoniche.
Inoltre per nRy ∈ e u funzione definita in Ω, la y traslata di u è la funzione in y+Ω
della quale il valore alla x è ( )yxu − . Con ciò, chiaramente si può affermare che la
traslazione di una funzione armonica dà come risultato un’altra funzione armonica.
Andando avanti in questo tipo di considerazioni, prendiamo in esame r numero
positivo e u funzione in Ω, la r dilatata di u ,
r
u è la funzione
( )( ) ( )rxuxur =
definita per x in ( ) ( ){ }Ω∈=Ω wwrr :/1/1 . Se ( )Ω∈ 2Cu , allora un semplice calcolo ci
mostra che ( ) ( )
rr
uru ∆=∆ 2 in ( )Ωr/1 . Quindi la dilatata di una funzione armonica è a
sua volta armonica. Si può notare ora la somiglianza tra il laplaciano
4
22
1 ..... nDD ++=∆ e la funzione 221
2
....... nxxx += , della quale sappiamo che l’insieme
dei livelli è definito dalle sfere con centro nell’origine. La stretta connessione tra le
funzioni armoniche e le sfere è un argomento centrale nello studio della teoria delle
suddette funzioni. La proprietà del valore medio mostrerà meglio questa
connessione e verrà illustrata nella prossima sezione.
Un altro legame coinvolge la trasformazione lineare in nR , vale a dire che conserva
la sfera unità; questo tipo di trasformazioni sono chiamate ortogonali. Infatti una
mappa lineare nn RRT →: è ortogonale se e solo se xTx = per ogni nRx∈ .
L’algebra lineare mostra che T è ortogonale se e solo se i vettori colonna di una
matrice di T formano un insieme ortonormale.
Ora si vedrà la relazione tra il laplaciano e le trasformazioni ortogonali, più
precisamente, se T è ortogonale e ( )Ω∈ 2Cu allora
( ) ( ) TuTu oo ∆=∆
in ( )Ω−1T . Per dimostrare tutto ciò, consideriamo
jkt come matrice di T relativa alla
base standard di nR . Allora abbiamo che
( ) ( )∑
=
=
n
j
jjkn TuDttuD
1
oo
dove nD è la derivata parziale rispetto alla n-esima variabile coordinata.
Differenziando ulteriormente e sommando su m
5
( ) ( )∑∑
==
=∆
n
jk
jkjmkm
n
m
TuDDtttu
1,1
oo
( )∑ ∑
= =
=
n
jk
jkjmkm
n
m
TuDDtt
1, 1
o
( )∑
=
=
n
j
jj
TuDD
1
o
( ) Tu o∆=
come detto in precedenza. La funzione Tu o viene chiamata rotazione di u .
Possiamo quindi concludere che la rotazione di una funzione armonica è a sua
volta un’altra funzione armonica.
- La proprietà del valore medio
Molte delle proprietà delle funzioni armoniche sono evidenti dall’identità di Green
(della quale si avrà maggiormente necessità nel particolare caso che Ω sia una
palla):
( ) ( )∫∫ Ω∂Ω
−=∆−∆ dsuvDvuDdVuvvu nn 1.1
6
In questa formula Ω è un sottoinsieme aperto e limitato di nR con confini omogenei,
mentre u e v sono funzioni 2C nell’intorno di Ω , insieme chiuso di Ω. La misura
nVV = è la misura del volume Lebesgue in nR , mentre s rappresenta la misura
della frontiera Ω∂ . Il simbolo nD rappresenta la differenziazione rispetto alla
normale esterna unitaria n . Perciò per Ω∂∈ζ , ( )( ) ( )( ) ( )ζζζ nuuDn ⋅∇= , dove
( )uDuDu n,.....,1=∇ rappresenta il gradiente di u e ⋅ rappresenta il prodotto interno
euclideo.
La seguente e utile forma dell’identità di Green si presenta quando u è armonica e
1≡v :
∫ Ω∂
= 0udsDn 1.2
L’identità di Green diventa quindi la chiave per la dimostrazione della proprietà del
valore medio. Prima di iniziare a trattare tale proprietà, bisogna introdurre alcune
notazioni: ( ) { }raxRxraB n <−∈= :, è la palla aperta con centro in a di raggio r , la
sua chiusura è la palla chiusa ( )raB , ; la palla unità ( )1,0B è rappresentata da B
mentre la sua chiusura da B . Quando la dimensione assume importanza si
scriverà nB invece che B . La sfera unità, frontiera di B , è rappresentata da S , la
misura della superficie normalizzata in S è rappresentata da σ , cosicchè ( ) 1=Sσ .
1.3 Proprietà del valore medio: Se u è armonica in ( )raB , , allora u è uguale alla
media di u su ( )raB ,∂ , e più precisamente
7
( ) ( ) ( )∫ += s drauau ζσζ
Dimostriamo ora questa proprietà: innanzitutto si assuma che 2>n . Poi si può
assumere anche che ( ) BraB =, , fissiamo ( )1,0∈ε . Applichiamo ora l’identità di
Green con { }1: <<∈=Ω xRx n ε e ( ) nxxv −= 2 ed otteniamo
( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫
−− −−−−−=
s s s s
n
n
n
n udsDudsDudsnudsn
ε ε
εε 21220
Dalla 1.2, possiamo vedere che gli ultimi due termini sono 0, perciò
∫ ∫
−=
s s
n udsuds
ε
ε 1
che è come dire
( ) ( )∫∫ = ss duud ζσεζσ
lasciando 0→ε e utilizzando la continuità di u a 0, si ottiene il risultato
desiderato.La dimostrazione, nel caso in cui 2=n , è la stessa, con l’unica
eccezione che nx
−2
dovrà essere rimpiazzato da xlog .
Le funzioni armoniche conservano la proprietà del valore medio anche rispetto alle
misure di volume; in questo caso è indispensabile accennare alla formula delle
coordinate polari. Tale formula afferma che per una funzione integrabile e
misurabile con Borel f in nR si ha
8
( )
( ) ( )∫∫∫
∞ −=
s
n
R
drdrfrfdV
BnV n
ζσζ
0
11
1.4
La costante ( )BnV viene fuori dalla normalizzazione di σ .
1.5 Proprietà del valore medio nel caso del volume. Se u è armonica in ( )raB , ,
allora ( )au è uguale alla media di u su ( )raB , ; e più precisamente
( )
( )( ) ( )
udV
raBV
au
raB∫
=
,,
1
Dimostriamo ora questa proprietà. Si assuma che ( ) BraB =, . Applichiamo la
formula delle coordinate polari considerando f uguale a u volte la funzione
caratteristica di B , e poi utilizzando anche la proprietà del valore medio
precedentemente illustrata si otterrà la 1.5.
Si conclude questa sezione con un’applicazione della proprietà del valore medio.
Sappiamo che una funzione armonica a valori reali può avere una singolarità
isolata e non rimovibile; per esempio, nx −2 ha una singolarità in 0 se 2>n . Ma
comunque una funzione armonica u a valori reali non può avere zeri isolati.
1.6 Corollario: Gli zeri di una funzione armonica a valori reali non sono mai
isolati.
Per dimostrarlo supponiamo che u sia armonica e a valori reali in Ω∈Ω a, , e
( ) 0=au . Consideriamo che 0>r così che ( ) Ω⊂raB , . Poiché la media di u su
( )raB ,∂ è uguale a 0, o u è identicamente 0 in ( )raB ,∂ o u prende sia nel caso
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positivo che negativo un determinato valore in ( )raB ,∂ . Nel recente caso la
connessione di ( )raB ,∂ implica che u abbia uno zero su ( )raB ,∂ .
Perciò u ha uno zero sul bordo di ogni palla sufficientemente piccola con centro in
a , provando così che a non è uno zero isolato di u .
L’ipotesi che u sia reale è necessaria nel precedente corollario. Ciò non sorprende
quando 0=n ,perché le funzioni olomorfe non costanti hanno zeri isolati.
- Il principio di massimo
Un’ importante conseguenza della proprietà del valore medio è il seguente principio
di massimo che verrà illustrato in questa sezione.
1.7 Il teorema di massimo: Supponiamo che Ω sia chiuso,che u sia reale ed
armonica in Ω e che infine u abbia un massimo o un minimo in Ω . Allora u
è costante.
Passiamo ora alla dimostrazione di questa asserto. Si supponga che u raggiunga
un massimo per Ω∈a . Si scelga 0>r tale che ( ) Ω⊂raB , . Se u è minore di ( )au in
qualche punto di ( )raB , , allora la continuità di u mostra che la media di u su ( )raB ,
è minore di ( )au , contraddicendo così il principio del valore medio. Perciò u è
costante in ( )raB , ,provando che l’insieme dove u raggiunge il suo massimo è
aperto in Ω . Poiché questo insieme è anche chiuso in Ω (ancora dalla continuità di
u ), deve allora accadere che l’insieme appartiene a Ω . Perciò u è costante su Ω ,
come detto in precedenza.
Se u raggiunge un minimo in Ω , il principio è valido comunque perché si prenderà
in considerazione -u .
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