Fragilità finanziaria e rischio sistemico: il modello di Diamond & Rajan

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Capitolo 1 
 
 
 
 
MODELLI DI INSTABILITA’ FINANZIARIA 
 
1.1 FRAGILITÀ FINANZIARIA 
Le istituzioni bancarie si caratterizzano per quella che viene generalmente definita 
“fragilità della struttura finanziaria” la quale, a sua volta, deriva dalla combinazione di 
tre fattori: 
1. Un’elevata leva finanziaria (data dal rapporto tra passività totali e patrimonio 
netto); 
2. Illiquidità degli assets della banca (i loan in particolare) causata dai problemi 
relativi alle asimmetrie informative; 
3. Detenzione di un’elevata quota di passività a breve termine all’interno del 
bilancio (principalmente depositi a vista). 
La fragilità finanziaria, pur essendo una caratteristica indissolubile delle banche, è 
anche l’origine di numerosi problemi. Infatti, dato che la banca emette prestiti 
generalmente illiquidi (e quindi difficilmente negoziabili) a fronte di depositi liquidi, i 
quali possono essere ritirati in qualsiasi momento, potrebbe insorgere (in un dato 
istante temporale) uno squilibrio tra passività e attività; quindi la banca corre il rischio di 
non poter mantenere i propri impegni e risultare insolvente. 
Porre in essere misure che permettano alle banche di finanziarsi in modo meno fragile 
potrebbe addirittura condurre ad effetti paradossali. Tra gli strumenti di 
regolamentazione, oltre ai coefficienti di riserva obbligatoria e ai poteri ispezionali del 
regolatore possiamo citare infatti i requisiti di capitale. Questi hanno la funzione di 
assorbire eventuali perdite e dovrebbero generare quindi fiducia circa la solidità 
patrimoniale della banca che emette i depositi. Alcuni studi, però, hanno evidenziato
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come sia proprio la fragilità finanziaria della banca a non permetterle l’assunzione di 
comportamenti opportunistici verso i depositanti e quindi a rassicurarli circa la solvibilità 
dell’emittente. Questo discorso verrà affrontato in maniera più analitica nel capitolo 2. 
Infatti, vedremo nei capitoli seguenti come l’apparente contraddizione tra illiquidità dei 
loans e fragilità dei depositi a vista sia in realtà desiderabile ed in particolare vedremo 
come le banche , a causa dell’emissione di depositi a vista,  sono esposte al rischio di 
corsa agli sportelli (o “bank run”). 
 
 
1.2 BANK RUN SECONDO IL MODELLO DI DIAMOND E DYBVIG 
Per comprendere la trattazione affrontata nei capitoli seguenti e, in particolare, il 
modello analizzato nel capitolo 2, può essere opportuno dare una definizione del 
fenomeno del bank run e fornirne un’opportuna analisi. 
Il bank run (definito anche “corsa agli sportelli”) consiste nel ritiro ampio e simultaneo 
dei fondi precedentemente depositati presso una determinata banca. Questo 
fenomeno si manifesta, in genere, a causa del vincolo di sequenzialità dei depositi; 
questo è in grado di generare situazioni di panico e spingere i depositanti a presentarsi 
in maniera massiccia presso gli sportelli, nel tentativo di non perdere il loro denaro. Nel 
peggiore dei casi la banca potrebbe non essere in grado di far fronte a tutte le richieste 
e, quindi, andrà in contro al fallimento. 
Quando i bank run si manifestano nello stesso arco temporale, presso diversi istituti 
bancari dello stesso paese o della stessa nazione, si genererà il cosiddetto fenomeno 
del bank panic. 
Il modello più conosciuto per la trattazione dei bank run è quello fornito da Diamond e 
Dybvig (1983) nel paper “Banks Runs, Deposit Insurance and Liquidity”. In particolare, 
grazie a questo modello, oltre a spiegare analiticamente il fenomeno del bank run 
saremo in grado di vedere come il contratto di deposito possa offrire un servizio 
estremamente utile agli agenti. Non solo; ponendo a confronto tre diversi assetti 
istituzionali quali autarchia, sistema finanziario e sistema bancario dimostreremo come 
quest’ultimo sia preferibile rispetto agli altri.
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Nonostante ciò, il sistema bancario può essere soggetto ad attacchi speculativi tali per 
cui, in virtù delle sue funzioni, viene prodotto un equilibrio non desiderabile in cui vi è la 
corsa agli sportelli, anche se gli investimenti della banca sono stati effettuati in maniera 
corretta. 
Vediamolo qui di seguito. 
 
Il modello di Diamond e Dybvig 
Esistono numerose trattazioni e riformulazioni del modello di Diamond e Dybvig (d’ora 
in avanti DD). Per semplicità d’esposizione, riporteremo qui di seguito la rielaborazione 
proposta da Patrizio Tirelli. 
Innanzitutto, nel modello DD non è contemplata l’esistenza delle imprese. Ipotizziamo 
infatti che queste abbiamo obiettivi coincidenti con quelli delle famiglie e perciò siano 
loro perfetti delegati. 
Consideriamo quindi un’economia con tre periodi: t=0,1,2. Nel sistema esistono i 
consumatori, i quali dispongono di una dotazione di beni pari a 1. Il beni possono 
essere consumati o impiegati nella produzione. 
Un’altra ipotesi riguarda il fatto che non vi sono economie di scala; non si necessita 
quindi di riunire le dotazioni delle famiglie poiché, nel caso in cui lo facessimo, 
otterremmo un multiplo delle dotazioni individuali che è esattamente pari al numero 
delle famiglie. 
Al tempo t=0 vengono effettuate le scelte di investimento che finanzieranno il consumo 
in data t=1 e 2. Sono scelte di portafoglio che riguardano il consumo “subito” (t=1) o 
“più avanti” (t=2). 
In particolare esistono due alternative d’investimento:  
1. La prima riguarda l’investimento in una tecnologia illiquida. L’ammontare 0 ≤ I ≤ 
1 verrà quindi impiegato in una tecnologia di lungo periodo che permette di 
consumare solo nel periodo t=2; i suoi frutti, infatti, vengono resi disponibili solo 
alla maturità (t=2). Il rendimento in termini di montante è pari a R>1. Un 
eventuale disinvestimento anticipato comporta la riduzione del rendimento che, 
in tal caso, sarà inferiore ad uno (L<1).
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2. La seconda alternativa riguarda, invece, una tecnologia liquida che consente di 
consumare dopo 1 periodo (i frutti dell’investimento sono disponibili in t=1). In 
tal caso si ottiene un rendimento pari a r. È utile porre r=1 in modo tale che non 
sia conveniente investire due volte consecutive nella tecnologia liquida per 
finanziare il consumo in t=2. 
Poniamo inoltre le seguenti condizioni: 
a. R>r; 
b. L<r;      
c. R>r
2
. 
L’ultima ipotesi consente di escludere strategie di roll-over negli investimenti. 
Grazie alle ipotesi appena citate non vi sarà un’alternativa dominante e, quindi, vi sarà 
possibilità di scelta tra le due tecnologie alternative. 
Supponiamo ora che il consumatore sia colpito da uno shock di liquidità in data t=1; 
infatti, dopo aver effettuato l’investimento, potrebbe scoprire la sua preferenza nel 
consumare nel primo o secondo periodo. Scoprirà, quindi, se è rispettivamente un 
individuo “impaziente” o “paziente”. 
Supponiamo che vi sia incertezza individuale circa lo stato delle preferenze dei 
consumatori. In ogni caso, però, il consumatore è a conoscenza del fatto che vorrà 
consumare nel primo periodo con probabilità π
1
 e nel secondo periodo con probabilità 
π
2
. 
L’utilità attesa del consumatore è pari a: 
E[U(C)] = π
1
U(C
1
) + βπ
2
U(C
2
) 
dove β è il fattore di sconto. π
i
 definisce anche la quota di consumatori che desidera 
consumare in data i.  
Supponiamo di voler massimizzare l’utilità attesa rispetto ad I, sotto i vincoli che 
caratterizzano le tre tipologie di asseto istituzionale: autarchia, mercato dei bond e 
sistema bancario.
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1. AUTARCHIA 
Analizziamo innanzitutto il caso di autarchia; nel sistema che considereremo, quindi, 
non esiste il mercato finanziario (nessuno presta e nessuno prende a prestito). 
I vincoli in condizioni di autarchia sono i seguenti:  
 In t=1, il consumatore impaziente consumerà la quantità C
1
 = (1-I) + LI. In 
particolare se I>0, il consumo sarà pari a C
1
<1. Il consumatore impaziente sarà 
penalizzato dal disinvestimento anticipato LI; se avesse potuto prevedere la sua 
preferenza intertemporale nel consumo avrebbe investito tutto nella tecnologia 
liquida, ottenendo un consumo pari a C
1
=1. 
 
 In t=2, invece, il consumatore paziente potrà consumare la quantità C
2
=(1-I) + IR, 
dove C
2
<R se I<1. Se il consumatore paziente avesse previsto la sua preferenza 
nel consumo di lungo periodo, avrebbe investito tutta la sua dotazione nella 
tecnologia illiquida ottenendo un consumo esattamente pari a R. 
Dato che vi è incertezza, in autarchia, nessun individuo investirà interamente la propria 
dotazione  nella tecnologia liquida o illiquida. Quindi, gli investitori pazienti riceveranno 
troppo poco dalla tecnologia illiquida e quelli impazienti vorranno disinvestire per 
consumare subito; distruggeranno quindi risorse. 
Possiamo vedere il problema sotto un'altra prospettiva: il consumatore impaziente 
detiene i diritti sul suo investimento ma non lo può consumare subito. L’investitore 
paziente, a suo modo, ha un cattivo investimento che offre un basso rendimento pari a 
(1-I) di cui non sa cosa farsene in quel dato momento. 
Nasce, in tal caso, un’opportunità di scambio. Il consumatore impaziente, il quale non è 
più interessato al suo investimento in tecnologia illiquida,  vorrebbe cederlo per 
consumare subito; vuole cedere quindi RI per consumare oggi. Anche il consumatore 
paziente potrebbe essere d’accordo a scambiare i diritti sul suo investimento in 
tecnologia liquida nel momento in cui gli viene offerto un rendimento maggiore a 1.
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2. MERCATO FINANZIARIO 
Introduciamo ora il mercato finanziario all’interno del quale gli individui possono 
scambiarsi titoli; possiamo considerare, ad esempio, un mercato di bond. Questo è in 
grado di accrescere l’utilità attesa del consumatore rispetto al caso di autarchia. 
Ipotizziamo che, in data t=1, i consumatori possano scambiarsi diritti di proprietà sui 
frutti della tecnologia liquida (disponibili in t=1) e illiquida (disponibili in t=2).  
Il consumatore impaziente, quindi, offrirà bond per un valore pari a I e il consumatore 
paziente, in cambio, offrirà la possibilità di consumo (1-I) al tempo t=1. Il mercato 
consente ai consumatori impazienti di evitare perdite dal disinvestimento LI e ai 
consumatori pazienti di poter consumare in t=2 un ammontare pari a RI e di evitare la 
riduzione di consumo dovuta all’utilizzo della tecnologia liquida (1-I). 
Il mercato dei bond consente quindi di isolare gli investimenti dagli shock; infatti, ci 
permette di attuare il risk sharing. 
Indichiamo con p il prezzo del bond al tempo t=1. I vincoli, in caso di mercato 
finanziario, sono i seguenti: 
 C
1
=(1-I) +pRI 
 
Il consumatore paziente cederà i diritti sul progetto se e solo se pRI>LI. 
 
 C
2
=(
   
 
) + RI    dove (
   
 
) rappresenta il potere d’acquisto. 
 
Il consumatore paziente cederà l’ammontare (1-I), in cambio dei titoli. 
Per determinare il prezzo di equilibrio del bond ci avvaliamo di un valore-soglia, scelto 
in maniera apparentemente arbitraria, pari a 
 
 
. Dovremo valutare, innanzitutto, se i 
valori di p inferiori a questa soglia possono rappresentare un prezzo di equilibrio; se 
così non fosse, potremo scartare tutti questi importi ed effettuare la medesima verifica 
per p>
 
 
.  
È possibile dimostrare come l’unico prezzo di equilibrio, compatibile con l’incontro tra 
domanda e offerta, sia esattamente pari a p = 
 
 
.
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Sostituendo questo valore nei vincoli (C
1
 e C
2
) ottengo che: 
 in t=1, l’individuo impaziente consumerà C
1
=1 senza rischi; 
 in t=2, l’individuo paziente consumerà C
2
=R senza rischi. 
Ne deriva che il mercato finanziario è preferibile rispetto al caso di autarchia dove C
1
<1 
e C
2
<R. Quindi, tramite il meccanismo di risk sharing, siamo stati in grado di rendere 
più efficiente la produzione. Nonostante il mercato finanziario consenta di ovviare allo 
spreco di risorse causato dall’autarchia, può non essere ottimale; infatti, non è detto 
che il mercato dei titoli consenta di massimizzare il benessere dei consumatori. 
 
3. SISTEMA BANCARIO 
Ipotizziamo che ( 
 
 
 
 
 
 
 ) > 
 
 
, con R decrescente. In tal caso è possibile che l’individuo 
preferisca sacrificare un po’ di consumo nel secondo periodo per incrementare il 
consumo nel primo periodo; in altri termini vuole limitare la volatilità nel consumo. 
Sceglierà pertanto una combinazione di investimenti tali per cui C
1
*>1 nel caso sia 
impaziente e C
2
*<R nell’altro caso. Date le preferenze, questo risulta essere preferibile. 
Quindi se riuscissimo a produrre un po’ più di 1 nel primo periodo per ciascun 
consumatore impaziente e un po’ meno di R per ciascun consumatore paziente, 
potremmo ridurre l’incertezza individuale; tutto ciò sarebbe possibile con l’introduzione 
della figura del pianificatore benevolente.  
Il pianificatore benevolente conosce infatti tutte le preferenze individuali e le rispettive 
dotazioni ed è in grado di confiscarle per poi restituirle, dopo aver effettuato gli 
opportuni investimenti. Egli non è soggetto a incertezza aggregata in quanto conosce 
esattamente la quota di individui che vogliono consumare dopo un periodo (π
1
) e 
quella degli individui che vogliono consumare dopo 2 periodi (π
2
). Data la funzione di 
utilità, il pianificatore è in grado di garantire un maggior benessere rispetto al sistema 
finanziario.  
Una distribuzione ottimale dei consumi, ottenibile grazie al pianificatore sociale, può 
essere replicata dalle banche tramite i contratti di deposito. Con un tale contratto potrà 
impegnarsi a pagare C
1
* nel primo periodo e C
2
* nel secondo periodo. Viene posto,