Premessa e scopo del lavoro
Il presente lavoro si propone di costruire, sulla base di un’indagine scientifica e stori-
ca, un percorso didattico volto agli studenti di un triennio superiore di Liceo Scientifico
e, limitatamente ad alcuni aspetti, di Liceo Musicale. Esso vuole fornire gli strumenti
per acquisire una manualit`aspecificanelpadroneggiarecreativamentelaproduzionedel
suono, per affinare l’orecchio musicale – sia armonico che melodico – e per sviluppare
un approccio alla storia della composizione e dell’esecuzione che tenga conto delle basi
fisiche dei sistemi intervallari e delle loro implicazioni estetiche.
L’insegnamento della Musica, come quello di quasi tutte le materie – sia umani-
stiche che scientifiche – non si basa in generale sul percorso storico che ha portato a
raggiungere determinati obiettivi o ad accettare determinati canoni estetici, preferendo
una trasmissione del sapere grammaticaleedirettamentefunzionaleadunobiettivodi-
dattico circoscritto. Se questo, da un lato, porta ad una velocizzazione nei processi di
apprendimento e di formazione della conoscenza, dall’altro sorvola su molte questioni,
istanze, difficolt` achehannorichiestoannisenonsecolidiapprofondimentoperessere
risolte e presenta come dati di fatto scontati scelte e prassi che in realt` anonlosono
affatto. Questo ` eevidenteanchenell’insegnamentodellaMatematicaedellaFisica,che
non procede seguendo il filo conduttore dell’evoluzione storica, bens`ıp artedairisultati
dell’evoluzione e costruisce artificialmente dei metodi di “allenamento” pratico ad uso
degli studenti che permettano di risolvere i problemi nel modo pi` usemplicemaanchein
molti casi meno naturale per la mente umana, specie per quella in via di formazione degli
studenti stessi. Questo accade tuttora per quanto riguarda la formazione del musicista
il quale ` ep ortato,nelnormalecurriculumdistudio,apr escinder edaip er c orsistorici
equindiadignorareadesempiotuttoilmondodell’acusticadeglistrumenti,dellaloro
accordatura, della genesi delle scale: un mondo sterminato che viene assunto come dato
di fatto. Quello che viene cos`ıamanc ar enon` eunac onosc enzascientific asudettagli
tecnici di pura erudizione o un’arida scomposizione del suono in particelle elementari,
bens`ıun ’esperienzaestetica che ` efondantedeltessutomusicaleperlomenoinambito
occidentale. La gestazione culturale, lunga secoli, del sistema musicale in cui siamo im-
mersi viene in tal modo identificata con il suo punto finale, nemmeno universalmente
accettato, e cio` eilSistemaTemperatoEquabilesenzachenemmenotaleconvenzionesia
posta in modo problematico.
Cos`ılapr assiese cutiva` elimitataall’ese cuzionede gliabb ellimenti,all’ago gic a,alle
tecniche di diminuzione, all’improvvisazione; la ricerca filologica si pone come obiettivo
l’Ur-text,senzac osider ar el’ Ur-ton ovvero l’atmosfera armonico-timbrica, il paesaggio
sonoro originale, il quale dipendeva dalle accordature tanto quanto dalla prassi esecutiva
come la intendiamo oggi.
Fra i molteplici itinerari formativi che abbiano fra i loro obiettivi anche quello di
contestualizzare storicamente un’istanza estetica, si `esc eltoquindiuntemacheviene
solitamente poco affrontato e considerato addirittura ostico quale quello dell’acustica delle
accordature e dei sistemi intervallari. Ma, se per dirla con lo scultore Medardo Rosso la
9
forma artisticache lui ottiene con le sue creazioni in cera` elacondensazionemomentanea
di una vibrazione nello spazio, allora la Musica ` elacondensazionecontinuaemutevole,
eraclitea, di tale vibrazione, che d` aluogoadunprocessodisignificazione.
Cisi propone inoltre di allargare ilpi` upossibilelainterdisciplinarit` adell’insegnamen-
to della Musica coinvolgendo materie tradizionalmente percepite come antitetiche al fatto
artistico (matematica, fisica) a causa anche di un retaggio fortemente positivista che ha
vistonellascienzanon il mezzo, il metodo, ma il fine e che troppo spessoha trasformato la
ricerca in ideologia. Al contrario, la categorizzazione delle materie ` eunfattodicomodo,
un utile ma limitante schema mentale per poter classificare la realt` aefiltrarlaattraverso
la nosra modalit` adiconoscenza.Allontanandociesfocandoiconfiniditalicategoriesi
potr` anotarequantevoltenell’esteticaentrinoingiocole“divineproporzioni”,segnata-
mente in Architettura, e quante volte i rapporti matematici e geometrici diano conto delle
consonanze e delle dissonanze musicali. Questa osmosi si ha anche in senso inverso: il
grande fisico P. A. M. Dirac affermava che una formula matematica per essere corretta
doveva avere bellezza matematica, denotando quindi un gusto estetico anche in questo
campo. Per spingerci poi, con Emanuele Severino, ad identificare il ruolo del consenso
nella scoperta scientifica, che a prima vista sembrerebbe una contraddizione in termini.
Di qui l’importanza rivestita dalla condivisione sociale dei sistemi musicali che identifica
l’appartenenza ad una comunit` aculturale.
Tutto questo riporta alla nota quanto, forse, apparente dicotomia: natura o cultu-
ra? Storicamente vi sono stati fautori delle basi fisiche naturali della bellezza armonico-
musicale, come J. Ph. Rameau, e fautori invece delle basi puramente culturali di tale
fatto estetico, come A. J. Ellis, tenendo anche conto delle forti diversit` achesussistono
ase c ondadellediversear e ege o gr afiche.Sep er` oledemar c azionic ate gorichesifanno
sempre pi` ulabili,talediventaancheilconfinefranaturaecultura,chesonoalorovolta
categorie.
Il problema ` eap ertoeilp er c orsodidattic opu` oaver ec omesb o c c ofinalepr opriola
posizione problematica di questa dicotomia, che porti gli studenti per lo meno a formulare
la domanda, consci del fatto che l’humus musicale sul quale la maggior parte di essi ` e
cresciuta ` eesar` aprobabilmenteancorapermoltotempoeurocentrico.
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Capitolo 1
La fisica nella musica
Cos`ıdolceharmonia
Cos`ıbenalternatamelodia
Imagini son vere
Del raggirar delle celesti sfere
Che girando la s` uco’suoiconcenti
fan che godan qua gi` ul’humanementi.
Athanasius Kircher, Musurgia Universalis,1650
1.1 Le basi dell’acustica musicale
Le scale e gli intervalli come vengono utilizzati nei moderni strumenti a suono de-
terminato, come il pianoforte, sono generalmente basati su un sistema di rapporti fra
le frequenze delle note fisso e standardizzato, detto Sistema Temperato Equabile.T a -
le sistema si basa su di una suddivisione degli intervalli all’interno dell’ottava secondo
rapporti costanti e semplici, che prevedono un tono formato da due semitoni uguali ed
intervalli scomponibili esattamente in toni e semitoni, comunque li si prenda.
Questo sistema` erelativamenterecenteenon` el’unico:nelpassatoedancheoravene
sono altri, basati su considerazioni fisiche e musicali diverse. A tal proposito si possono
rcordare il Sistema Pitagorico,ilSistema di Zarlino,quelliMesotonici,ecc..
Analizzeremo brevemente, nel seguito, le basi teoriche di questi sistemi ed il risultato
musicale cui si perviene utilizzandone uno piuttosto che un altro.
Alla fine del presente scrittosono incluse due appendici, ad uso dell’insegnante, ed in
particolare dell’insegnante di matematica, per gli approfondimenti fisici di tutto quanto
`epresentatoneicapitolidedicatipi` uspecificamenteall’ambitomusicale.T aleinclusio-
ne `efinalizzataallacostruzionediunpercorsodidatticoilpi` upossibileinterdisciplina-
re, che coinvolga anche l’insegnamento delle scienze, il quale normalmente ` emantenuto
ingiustificatamente separato dalle discipline umanistiche ed artistiche.
Per quanto riguarda l’identificazione delle note, si seguir` aquilanotazione americana
standard (Figure1.1 e1.2),secondo la qualeil LA di freqenza 440 Hz` eidentificatocome
LA4 e di conseguenza il DO centrale del pianoforte, di frequenza 261,6 Hz come DO4.
1.2 Il concetto fisico di frequenza
Ogni suono `edeterminatodaunavibrazioneemessadaunasorgente,siaessauna
membrana, un tubo sonoro, una corda e cos`ıvia,laqualesitrasmetteadunmezzoe
si propaga in esso (ad esempio l’aria) come onda sferica di pressione (compressione e
11
Figura 1.1: Notazione americana standard
Figura 1.2: Notazione americana standard
rarefazione), per poi raggiungere il ricettore, ossia l’orecchio umano. Un suono semplice
o puro pu` oessereconvenientementeschematizzatodaun’ondaaventeformasinusoidale,
rappresentata matematicamente dalle funzioni trigonometriche seno e coseno.L’onda` e
caratterizzata da una frequenza f (che ` elegataall’alt ezza del suono) e da un’ampiezza
A (che `elegataall’intensit` a). La frequenza si misura in Hertz,ossiaciclialsecondo.
Simmetricamente, si dice periodo,esiindicaconT,ilminimointerv alloditempoche
occorre per avereuna formad’onda completa. Si ha quindi:
f =
1
T
Utilizzando una sinusoide per descrivere un’onda semplice piana, si ha che essa, in un
punto fisso dello spazio, ` edatada:
y =Asin
2π
T
t
=Asin(2πft)=Asin(ωt)
dove ω ` edettafrequenza angolare o pulsazione.
`
Eimmediatonotarechequandot =T il
valore dell’onda `enullo.
Ora, un intervallo di ottava corrisponde ad un raddoppio della frequenza, ossia, se il
LA4 (secondo lanotazione americanastandard, che qui seguiremo) corrisponde a 440 Hz,
allora il LA5 corrisponde a 880 Hz e quello all’ottava ancora sopra a 1760 Hz. Quindi
se f `elafrequenzadiunanotaqualsiasi,allasuaprimaottavasuperioresiha2 f,alla
seconda ottava superiore 4f cos`ıviasecondounaprogressione2
n
f con n numero di
ottave. Lo stesso vale per le frequenze di intervalli diversi dall’ottava. Ci` ocherimane
costante `equindiilrapporto fra le frequenze, a parit` adiintervallo.Naturalmente,se
rimane costante il rapporto, la differenza fra le frequenze a parit` adiinterv allodovr` a
variare.
Ricapitolando, se due note stanno fra loro ad intervallo di ottava, si avr` a f
2
/f
1
=2;
in generale, per un intervallo qualsiasi,f
2
/f
1
=r.
Per la verit` a, tale definizione `eincompletainquantoprendeinconsiderazionesolo
la frequenza che il nostro orecchio percepisce, ossia quella temporale espressa in cicli al
12
secondo. Tuttavia, una sortgente costituita da un corpo vibrante, ad esempio una corda
tesa, subisce per effetto della vibrazioneuno spostamento periodico nellospaziodi tuttii
suoi punti. Tale spostamento` ediversodapuntoapunto,oltrechedaistanteadistante,
esiavr` aquindi,fotografandolacordaaduntempofissatot,unaformaparticolaredella
corda stessa data dalla dislocazione nello spazio di tutti i suoi punti. Tale forma ` edata
anch’essa, nel caso pi` usempliceefrequente,daunafunzionesinusoidalecheinquesto
caso dipende dallacoordinataspaziale, adesempiox.Visar` aquindiunafrequenzaanche
spaziale, legata stavolta alla cosiddetta lunghezza d’onda λ,comequellatemporaleera
legata al periodo T.Sipu` oscriverequindi,considerandoiltempo“congelato”,
y =Bsin
2π
λ
x
=Bsin(kx)
dove k ` edettonumero d’onda.
`
Eimmediatonotarechequandox = λ il valore dell’onda
` enullo.
Nel caso pi` ugeneralequindiun’ondadipendesiadax che da tel’espressionedello
spostamentodei punti ad esempio di una corda sar` adeltipoα(x,t)=y
0
sin(kx∓ωt+δ),
ove la costante δ `edettafase.I ls e g n o+s t aa di n d i c a r eu n ’ o n d aregressiva,ossiache
viaggia nella direzione negativa delle x,mentre,alcontrario,ilsegno− indica un’onda
progressiva.Sinotichetaleespressionepu` oesserescrittaanche,raccogliendok,come:
α(x,t)=y
0
sin
k
x+
ω
k
t
=y
0
sin[k(x+v·t)]
in quanto ω/k = λ/T ` e, per quanto detto sopra, una velocit` a, la quale sta a dimostrare
che l’onda si propaga. La trattazione matematica completa verr` afattanelleAppendici
(Capitoli4e5),allequalisirimanda. Qui verrannoutilizzatisolamente,divoltainvolta,
irisultatiiviricavati.
1.3 Onde viaggianti ed onde stazionarie
Se focalizziamo, come` enegliscopidiquestolavoro,l’attenzionesuivaritipidiaccor-
daure chepossono essere adottatenegli strumentimusicali,convienerestringereilcampo,
per non disperdere latrattazione,soload alcuniaspettifisiciead alcunesorgentisonore.
In particolaresi prenderanno in considerazione le corde vibranti,comeadesempioquelle
di una chitarra, e non si tratter` adiargomenticomelapsicoacusticaol’acusticadegli
ambienti.
Dal punto di vista fisico, i fenomeni oscillatori,e quindi la generazione di onde, pren-
dono le mosse da fenomeni in cui sono in gioco le forze elastiche, quali ad esempio quelle
esercitate da una molla cui ` eattaccataunamassam che oscilla, o sistemi pi` ucomplessi
–dettioscillatori accoppiati –incuilemolleelemassecollegatesonopi` udiuna.Tali
argomenti sono stati sviluppati, per chi volesse approfondire, nell’Appendice costituita
dal Capitolo 4.
Dato che anche corde, tubi sonori, barre, lamine e membrane possono essere ricon-
dotte a sistemi elastici costituiti da infiniti oscillatori accoppiati, le considerazioni fatte
perquestisipossonoestendere, conopportuniadattamenti,allesorgentisonorecuifanno
capo anche i vari strumenti musicali. In particolare, nell’Appendice costituita dal Capi-
tolo 5, si descrivono le onde longitudinali in cui lo spostamento ondulatorio `eparallelo
alla sua direzione di propagazione, come quelle che si hanno nell’aria o nei tubi sonori, e
quelle trasversali in cui lo spostamento ` eperpendicolarealladirezionedipropagazione,
come quelleche si generano inuna corda vibrante. Si vedano a questo propositole Figure
5.4 e 5.7.
13
Le onde descritte appena sopra sono dette onde viaggianti in quanto la perturba-
zione si sposta nel mezzo in modo che tutti ipuntidiesso(ades.lacorda)vengono
periodicamenteasubireunospostamentoche vadazeroallospostamentomassimo. Tale
perturbazione ` equindicaratterizzatadaunavelocit` aeci` o` eparticolarmenteevidentein
un’onda impulsiva, come quella di Figura 5.3. Tali sono le onde sferiche che si propagano
in aria dalla sorgente al ricettore.
Un’altra categoria di onde molto importante, specialmente per lo scopo del presente
lavoro,` equelladelleonde stazionarie,qualiquellechesistabilisconoinunacordafissata
alledueestremit` aodinuntubosonoro.Essesonoquindiparticolarmenteinteressantidal
punto di vista musicale: si pensi agliarchi, alla chitarra,al pianoforte, al clavicembalo,ai
fiati, all’organo. A partire da questo tipo di onde sar` apossibiletrattareleaccordature,
itemperamentieitimbri.Latrattazionematematicadibase` econtenutanelparagrafo
5.4. Queste onde non si propagano:infattinonsonodeltipoα(x,t)=α(x∓vt), bens` ı
la coordinata spaziale xequellatemporalet,comesivedr` ainseguito,nonsonopi` u
nell’argomentodellastessafunzione, masono infunzioni separate. Essevengonogenerate
allorch´ el’ondacheparteadunestremodellacorda,colpisceilsecondoestremoeiviviene
riflessa all’indietro cambiando di fase,ossiaribaltandosi(comesivedr` adelleappendici
matematiche) e quindi sovrapponendosi all’onda che viene prodotta al primo estremo.
Anche qui, come vedremo, vi ` einognicasounavelocit` adellaperturbazione,dipendente,
nel caso di una corda, dalla sua tensione τedallasuadensit` alineareµ.
1.3.1 La corda vibrante
Partiamo qui da considerazioni di ordine applicativo. Consideriamo una corda fissata
ai suoi estremi, come nella Figura 1.3. Ipotizziamo per ora di pizzicare la corda al
centro. Nella corda si instaura un’onda stazionaria nella quale il punto medio della
corda corrisponde necessariamente ad un ventre,ossiaunpuntoincuilospostamento
verticale `emassimo,mentreagliestremivisononecessariamenteduenodi,ossiapunti
aspostamentonullo.T alivincoliagliestremisidiconoanchecondizioni al contorno,
mentre lo spostamento iniziale al centro dato dal pizzicare la corda `edettocondizione
iniziale del moto. Ci` oscaturisceinparticolaredallaLegge diYoung.T alefattoimplica
che la posizione dei ventri e dei nodi ` evincolataalpuntoincuilacordavienesollecitatae
dipende da essa. Quindi pizzicareuna corda nel suo punto medio o a 1/3oadesempioad
1/7avr` adelleconseguenzeche,comesivedr` ainseguito,nonsimanifestanotantosulla
frequenza fondamentale, che dipende solo dalla lunghezza, dalla densit` aedellatensione
della corda, quanto sul contenuto in armonici del suono emesso.
Figura 1.3: Corda pizzicata al centro
L’onda che si instaura ` edeltiposinusoidale,gi` avistoinprecedenzaetrattatoanche
nelle Appendici di cui ai Capp. 4 e 5. Osservando la Figura 1.3 `eimmediatorendersi
conto che la corda contiene met` a della lunghezza d’onda completa data dalla sinusoide.
La funzione sin(x)infattisiannullainx=0edinx = L.C i ` osignificachelalun-
ghezza d’onda che si instaura nella corda ` eparia2 L.S in o t ic h efi nq u is i` epresain
considerazione solo la coordinata spaziale, mentre nulla si ` edettosultempoosullafre-
quenza temporale. Conviene parlare in questo caso (coordinate spaziali)di modi normali
14
Modo λ Posizione nodi Numero nodi (n
n
) Numero ventri (n
v
)
1 2L 0–L 2 1
2 L 0–
1
2
−−L 3 2
3
2
3
L 0–
1
3
L –
2
3
L – L 4 3
4
1
2
L 0–
1
4
L –
1
2
L –
3
4
L – L 5 4
5
2
5
L ··· 6 5
6
1
3
L ··· 7 6
··· ··· ··· ··· ···
Tabella 1.1: Ventri e nodi in una corda fissata agli estremi
di oscillazione,pi` uchedifrequenzeedarmonici,riservandoquesteultimeall’evoluzione
del fenomeno nel tempo. La frequenza temporale sar` adata(perlafondamentale)da:
f =
v
λ
=
v
2L
=
1
2L
τ
µ
⇒f =f(L,τ,µ)
Quello che `edifondamentaleimportanza` echelacordapu` ovibraresolosecondo
determinati modi normali, e cio`equellichehannoduenodialleestremit` adellastessa.
Le lunghezze d’onda λ sono quindi fissate a priori, secondo la tabella che segue.
Si nota, come regola del tutto generale che:
n
n
=n
v
+1
eche
λ
n
=
2L
n
v
(1.1)
Figura 1.4: Modi normali di oscillazione
Si pu` oimmediatamentefareunaconsiderazione:per“forzare”unventrenellapo-
sizione del terzo modo normale devo pizzicare la corda in L/6, per eccitare il quinto
modo devo pizzicarla in L/10 e cos`ıvia.Ovvero,sen
v
`eilnumerod’ordinedeimodi
normali – che corrisponde anche al numero di ventri – alloraper ottenere un modo pari a
λ
n
=2L/n
v
devo pizzicare la corda inL/(2n
v
)(oinun’altraposizionecorrispondentead
un ventre per quel modo, tenendo conto che la loro posizione ` einognicasosimmetrica
rispetto al centro della corda). Tutto questo `eunmodellosemplificato,chenontiene
conto di altri fenomeni fisici spurii nelle corde reali (vincoli imperfetti, accoppiamento
con altri organi meccanici, inerzia e anomalie elastiche della corda, ...).
`
Einoltreim-
portantenotareche se sieccita una cordainmodo da forzareun ventrein unaposizione,
ci` ononvuoldirechevisar` apertuttoiltempoquellaconfigurazione,infattisecos` ıfosse
15
si potrebbe formare ad esempio un nodo al centro della corda escludendo di fatto la fre-
quenza fondamentale. L’evoluzione temporale porta infatti la corda a vibrare comunque
su tutte le sue frequenze armoniche, anche se con ampiezze dipendenti dalla posizione di
pizzicamento.
`
Eintreressanteesprimereilrisultatotrov atosoprasottoformadirapporto.Con
riferimento alla Figura 1.5, il rapporto secondo il quale io pizzico la corda ` e:
r
nv
=
x
0
L
=
L/2n
v
L
=
1
2n
v
oppure, in funzione di λ
n
,ricordandocheλ
n
=2L/n
v
,
r
nv
=
L
λ
n
Figura 1.5: Frazione di corda
Questo, siricordi,avvienedalsolopunto di vistaspazialeinquanto iltempo non` equi
ancora considerato. D’altra parte, la frequenza dell’onda emessaepropagatanell’aria
dalla corda dipende dalla frequena temporale di vibrazione (cicli al secondo), la quale
`einognicasolegataallaposizionedeiventriedeinoditramitelavelocit` a v.D a t al a
frequenza fondamentale, f=1/T,learmonichesuperiorigeneratedallacordavincolata
ai due estremi saranno: f
2
=2f; f
3
=3f,...f
n
=nf.
`
Eopportunooratrovareunarelazionecheleghilefrequenzetemporali,chesonoquelle
che danno la sensazione di suono al nostro orecchio, ed i modi normali di vibrazione visti
poco sopra, datidalla sola geometria della corda.
`
Ebenesottolineareancheche,senella
corda si ha un’onda stazionaria, quando il suono si propaga al mezzo di trasmissioneche
` el’aria,inquest’ultimasihaun’ondaviaggiante.
Figura 1.6: Primi 8 armonici del DO2
16
1.3.2 Sovrapposizione di onde
Torniamo per un momento alla formulazione matematica di un’onda viaggiante. Sup-
poniamo di sovrapporre (sommare)due onde progressive che differisconosolo per la fase
δ:
α(x,t)=y
0
sin(kx−ωt)+y
0
sin(kx−ωt+δ)
Utilizzandoleformulediprostaferesi(4.17)edinparticolarelaprimadiesse. Ponendo
in esse p:=(kx−ωt)eq :=(kx−ωt+δ)siha:
α(x,t)=2y
0
cos
−
δ
2
sin
2kx−2ωt+δ
2
=2y
0
cos
−
δ
2
ampiezza
sin
kx−ωt+
δ
2
dove abbiamo usato il fatto che cos(−δ/2) = cos(δ/2). Quindi, α(x,t)=0quando
cos(δ/2)=0 , ovvero quando δ = π(1+2n)conn intero qualsiasi. L’ampiezza massima
si ha invece quando cos(δ/2)=1, ovvero quando δ=4nπ,conn sempre intero qualsiasi.
Tale ampiezza, dipendente da y
0
edaδ,` ecostante.
In una corda ad estremi fissati, si ha una sovrapposizione di onde progressive e di
onde regressive, date dalla riflessione delle prime:
α
P
(x,t)+α
R
(x,t)=y
0
sin(kx−ωt)+y
0
sin(kx+ωt)
Utilizzandoancoraleformule(4.17),inparticolarelasettimadiesse, ponendop:=kx
e q :=ωt,siha:
α
P
(x,t)+α
R
(x,t)=y
0
[sin(kx−ωt)+sin(kx+ωt)]=2y
0
sin(kx)cos(ωt)( 1 . 2 )
ove si notachiaramente che il fattoredipendente dallospaziox` eseparato dal termineche
dipende dal tempo t in quanto uno `enell’argomentodelsenomentel’altro` enell’argo-
mento del coseno. Ci` osignificacheinundeterminatopuntox dello spazio, l’ampiezza di
oscillazione sar` acostanteinogniistantetemporalet:inparticolareinalcunipuntiessa
sar` asemprenulla(nodi),mentreinaltrisar` asempremassima(ventri).Nell’ondaviag-
giante invece, ciascun punto x passa attraverso tutte le ampiezze di oscillazione. Infatti
si ha sin(kx−ωt)=1perkx−ωt=π/2+2nπ con n intero qualsiasi, da cui:
x =
ωt
k
+
1
2
+2n
π
k
=vt+
1
2
+2n
π
k
mentre sin(kx−ωt)=0perkx−ωt=nπ con n intero qualsiasi, da cui:
x =
ωt+nπ
k
=vt+
nπ
k
Nell’onda stazionaria (1.2) si ha invece che sin(kx)=0quandox = nπ/k∀t.Datoc h e
questo vale per ogni tempo, qui si avr` asempreunnodo.D’altraparte,percos( ωt)=0,
ovvero per t =π/ω(1/2+n)l’ampiezza` enullainognipuntox della corda.
Iventrisihannoinvecepersin( kx)=1,ovveroper:
kx=
π
2
+2nπ→x=
π
2k
(2n+1)
.
17
Confrontiamo questo risultato con quello ottenuto alla (1.1) nel paragrafo 1.3.1 per
una corda ad estremi vincolati. Osservando la Tabella 1.1, i nodi erano nelle posizioni:
0,
L
n
,
2
n
L,···,
n−1
n
L, L
Ivincoliperl’armonicafondamentalesono:α(0,t)=0∀t ed α(L,t)=0∀t.Laprima
delle due risulta sempre soddisfatta, infatti nella (1.2) per x=0sihasin( x)=0.Per
quanto riguarda la seconda condizione, si ha:
2y
0
sin(kL)cos(ωt)=0⇔ sin(kL)=0⇔kL=nπ
da cui, ricordando che k=2π/λ,
2π
λ
L =nπ⇔ λ =
2L
n
che `epropriol’espressione(1.1)trovatapoc’anzi,doven,oltrecheilnumerodeiventri,
` eanchel’ordinedellearmoniche.
Ora, l’onda emessa, ha una frequenza temporale pari a f =ω/(2π)ed` eanche
f
n
=
v
λ
n
=
n
2L
v =
n
2L
τ
µ
(1.3)
di modo che la (1.2) si scrive:
α
n
(x,t)=2 y
0
sin
2πxn
2L
cos
2π
n
2L
τ
µ
=
=2 y
0
sin
nπ
L
x
cos
nπ
L
τ
µ
t
(1.4)
conninteroqualsiasi,dovesinotachelafrequenza trasmessadallacordaall’ariadipende
dal termine in coseno. Riportiamo pi` usottoun’esempioapplicativo.Sitrattaquindidi
una famiglia di onde, dipendenti da n.Sidicecheilfenomeno` e quantizzato,poich´ eesso
pu` oassumeresolodeterminateconfigurazionidiscrete,dipendentiappuntoda ll’interon.
Esempio
Supponiamo di avere una corda di acciaio con le seguenti caratteristiche:
-densit` a ρ=7850kg/m
3
;
-diametrod=0,3mm(=0 ,0003 m);
-lunghezzaL=0,65m (come in una chitarra);
-tensioneτ=98,1N(corrispondentea10kgp).
Si trovano le seguenti quantit` a: la sezione della corda sar` aparia:
S =
πd
2
4
=7,0686·10
−8
m
2
µ =
m
L
= ρ·S=5,54883802·10
−4
kg/m
Si trova quindi, per la frequenza fondamentale:
f =
1
2L
τ
µ
=323,437Hz
18
n f
n
Nota
1 323,437 MI4
2 646.875 MI5
3 970.312 SI5
4 1293.749 MI6
5 1617.187 SOL#6
6 1940.624 SI6
7 2264.061 DO#7
8 2587.499 MI7
9 2910.936 FA#7
10 3234.373 SOL#7
Tabella 1.2: Frequenze armoniche in una corda di chitarra
materiale ρ E
Acciaio 7850 1,15 – 2,15 · 10
11
Ottone 8746
Argento 10490
Nichel 8908 2,15 · 10
11
Rame 8940 1,20 – 1,50 · 10
11
Alluminio 2712 7–8· 10
10
Titanio 4500 8,50· 10
10
–1,30· 10
11
Tungsteno 19600
Tabella 1.3: Caratteristiche di alcuni materiali
che corrisponde circa ad un MI4. La pulsazione ω ` eparia2032 ,21660746Hz. Se avessi
voluto un LA4 (f=440Hz),aparit` adilunghezza,diametroedensit` adellacorda,avrei
dovuto avere una tensione di:
τ=4L
2
f
2
µ=181,549N
pari a circa 18,5 kg.
Vi sonoper` oanchelealtrefrequenzearmoniche,dovuteaimodinormalidivibrazione
della corda. Ricordando la (1.3), avremo ad esempio quelle riportate nella Tabella 1.2
ove sono indicate anche le note (approssimate).
`
EcomodoriportareinTabella1.3lecaratteristichedidensit` a ρemodulodiYoung
E di alcuni materiali.
Si presenta anche il caso, meno frequente in musica, di una corda fissata ad un solo
estremo (tale circostanza ` eper` oimportantenellelaminesonore,comeleanceelebarre
vibranti). Non approfondiremoquesti ultimicasi per non esulare dal tema delle accorda-
ture che si ` edecisodiesemplificaresustrumentiacordaadestremivincolati(chitarra,
violino, pianoforte). Nel caso quindi di corda con un solo estremo fisso (Figura 1.7) si
possono fare le seguenti considerazioni.
Il modo fondamentale, in questo caso, `ecostituitodaun’ondaperlaqualeentrola
lunghezza L si trova 1/4dilunghezzad’onda.Infatti,adun’estremit` adellacordaci
deve essere necessariamente un nodo, mentre all’altra estremit` adeveesserciunventre.
Il secondo modo normale prevede che in L vi siano 3/4dilunghezzad’onda,ilterzo5 /4
ecos ` ıvia.Indefinitiva,lelunghezzed’ondapossibilisono:
19
Figura 1.7: Corda vincolata ad un solo estremo
λ
m
=
4L
m
(1.5)
con m intero dispari.Questaequazioneassomigliaalla(1.1),maquilelunghezzed’onda
sono raddoppiate e, soprattutto, sono possibili solo modi normali dispari, ovvero armo-
niche dispari. L’equazione completa dello spostamento assume quindi la forma, tenendo
conte che ` esempref =v/λ
m
:
α(x,t)=2y
0
sin
mπ
2L
x
cos
mπ
2L
τ
µ
t
(1.6)
che va confrontata con la (1.4).
1.3.3 Tubi sonori
Considerazioni del tutto analoghe a quelle fatte nei paragrafi 1.3, 1.3.1 e 1.3.2 si
possonofareanche nel casoditubi sonori,qualilecanne d’organoed ifiati. Anche quisi
instauranoondestazionarie,inquestocasolongitudinali nellacolonnad’ariacheoccupa il
volumeintero della canna. In posizionifisse vi saranno zone nodali e zone ventrali. Non ci
sisoffermer` api` uditantosullatrattazionediquestifenomenimairisultatiaffermanoche,
nell’ipotesi che la lunghezza della canna sia molto maggiore del suo diametro (L>>d ),
la canna chiusa ad un’estremit` asicomportacomelacordavincolataadunsoloestremo,
vistanel paragrafoprecedente e quindi la lunghezza d’onda sar` aλ
n
=4L/mconm intero
dispari. La velocit` a` edatainquestocasodallarelazione:
v =
γP
ρ
(1.7)
dove γ `eilrapportofraicalorispecificiapressionecostante( c
P
)eavolumecostante
(c
V
), pari per l’aria a 7/5. Si deduce che:
f
n
=
m
4L
γP
ρ
(1.8)
Una questione notevole che `ebenesottolineare` echenelcasodivibrazionediuna
colonna d’aria, come avviene nei tubi sonori, quando si parla di ventri e nodi bisogna
distinguere se ci si riferisce allo spostamento oscillatoriodelle molecole d’aria oppure alla
pressione locale. Infatti i ventri di spostamento corrispondono ai minimi di pressione,
viceversa inodi dispostamento corrispondonoai massimidi pressione. I ventridi oscilla-
zionesonoquindi nodi di pressioneeviceversa. Peruna canna tappata,incorrispondenza
20
dell’estremo chiuso si ha un nodo di oscillazione ma un ventre di pressione, mentre per
una canna aperta si ha esattamente il contrario.
Esaminiamoora il caso di una canna aperta in entrambele estremit` a,come potrebbe
essere una canna d’organo ad anima. Alle due estremit` asihannonecessariamentedei
ventri, e i modi normali di oscillazione si calcolano di conseguenza.
Figura 1.8: Estremit` anonvincolate
Esaminando la figura 1.8, si nota quanto segue. Entro la lunghezza L,nelmodo
fondamentale,trovapostomezzalunghezzad’onda;nelsecondomodoun’interalunghezza
d’onda, poi successivamente 3/2, 2, 5/2dilunghezzad’ondaecos ` ıvia.Indefinitivale
lunghezze d’onda possibili sono pari a:
λ
n
=
2L
n
con n intero qualsiasi. Tale espressione `eidenticaalla(1.1):sitrattasolodiun’onda
traslata. Quindi una canna aperta in entrambe le estremit` asicomportaesattamente
come una corda vincolata ai due estremi.
In tutti i casi precedenti abbiamo considerato l’ampiezza y
0
costante per i vari modi
normali di oscillazione. Nella realt` ataleampiezzasicomportadiversamente,edinpar-
ticolare decresce al crescere del numero d’ordine delle armoniche. Tale fatto si deduce
matematicamente tramitel’analisi di Fourier, che qui non tratteremo.
1.3.4 Battimenti
Abbiamo gi` avisto,nelparagrafo1.3.2,lacombinazionedidueondecondiversafase
nonch´equelladiun’ondaprogressivaediunaregressiva(riflessa).Affronteremoquiil
caso pi` ugeneraledidueondeconfrequenzedifferenti.Lacombinazioneditaliondeda
luogo a fenomeni complessi e nonsi esaurisce nellasomma matematicadelledue funzioni
che le rappresentano, poich´ eentraingioco,adesempio,ancheilloroprodotto.L’analisi
dei fenomeni di interferenza fra onde si riveler` adiestremaimportanzanellostudiodelle
diverse accordature, in quanto tale sovrapposizione `elaprincipaleresponsabiledelle
dissonanze che si riscontrano nell’esecuzione di due o pi` usuonisimultanei,comeavviene
negli accordi.
Analizziamo dapprima il caso di pura sovrapposizione additiva. Supponiamo di ave-
re due onde sinusoidali monocromatiche (cio` econun’uniconumerod’ondaedun’unica
pulsazione definiti) di diversa pulsazione e di diverso numero d’onda. Supponiamo solo
per semplicit` acheleampiezzesianouguali.Lasommasar` aallora:
α
1
(x,t)+α
2
(x,t)=y
0
sin(k
1
x+ω
1
t)+y
0
sin(k
2
x+ω
2
t)
21
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