CAPITOLO 1. INTRODUZIONE 4certo numero di livelli di Landau sara occupato. La variazione dell'intensita delcampo magnetico varia la degenerazione dei livelli e quindi il numero totale dilivelli occupati (detto numero di occupazione). Proprio il numero di occupazioneha permesso di catalogare all'interno del QHE l'e etto Hall quantistico intero equello frazionario. Il problema si facevapiu complesso.Varie teorie sono state proposte per descrivere la sica del problema; per cercaredi testarle si e incominciato a pensare ad un modo per sondare i fenomeni presentiall'interno di un sistema bidimensionale di elettroni usando qualcosa che avvessein sostanza la medesima \sensibilita" e quindi le medesime dimensioni. La tecnicalo permette e quindi si utilizzano i sistemi a doppio strato ( o bi-layer). Si trattadi due piani di elettroni posti a distanza nanometrica con contatti separati inmodo da poter ad esempio far passare corrente in uno dei due strati prelevando latensione sull'altro [3].E in questo modo che si scopre il Coulomb Drag ossia il trascinamento di elet-troni dovuto all'interazione di Coulomb [3]. Il fenomeno si rivela nell'insorgere diuna tensione su un layer quando si fa scorrere corrente nell'altro. Il trasferimentodi momento da elettroni di un layer a quelli sull'altro costituisce il meccanismobasilare attraverso cui il drag insorge (si vedano [4],[5] per la prima esposizioneteorica). In un layer gli elettroni scorrono in regime di corrente stazionaria. Tra-sferendo momento ad altri elettroni sul layer vicino sollecitano in quest'ultimo unmovimento di carica. Il secondo layer e pero un circuito aperto: un accumulo dicarica negativa ad un estremo fara insorgere un campo elettrico equilibratore equindi ad una di erenza di potenziale fra i due bordi opposti. La resistivita didrag (ossia il rapporto fra la tensione in un layer e la corrente nell'altro) misuratae dell'ordine dell'Ohm. La corrente iniettata e invece dell'ordine del A.Oggetto della mia tesi e lo studio teorico del Coulomb drag in assenza e inpresenza di campo magnetico utilizzando sia un formalismo semiclassico sia unopuramente quantistico. Vengono riassunti ed elaborati risultati presenti in lette-ratura estendendone ove opportuno l'ambito di applicazione, cercando inoltre ditrovare indizi per una risposta al quesito proposto da un fenomeno (il cosiddettodrag negativo) ancora incompreso nell'ambito della fenomenologia del Coulombdrag [6].Esistono anche apparati piu complessi detti multilayer con i quali altre pro-prieta del sistema di base o anche nuovi fenomeni mesoscopici legati alla strut-
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE 5tura complessiva potranno essere scoperti. Anche il semplice gas di elettronibidimensionale lascia ancora molti punti interrogativi.1.2 Apparato teoricoI sistemi bidimensionali di elettroni, componenti fondamentali delle strutture cheprendiamo in considerazione nel nostro studio, sono composti da un numero dielettroni che si aggira attorno ai 107 109. Trovandoci in presenza di un enormenumero di gradi di liberta, tratteremo il sistema con le tecniche della meccanicastatistica.Dal punto di vista classico ciascuno dei due layer viene descritto con una fun-zione di distribuzione [7]: essendo operativamente impossibile conoscere lo stato ditutte le particelle che compongono il sistema ci si accontenta di de nire la frazionedi esse che occupa una determinata porzione dello spazio delle fasi. La conoscenzadi questa funzione consente di calcolare proprieta medie del sistema e di ricavareleggi statistiche. Se e impossibile seguire la dinamica dei singoli elettroni (anche aprescindere dalla indeterminazione quantistica) epero esprimibile la legge che go-verna la dinamica della loro funzione di distribuzione. Tale legge, detta equazionedel trasporto di Boltzmann, costituisce il punto di partenza della nostra analisi [8].In primo luogo deduciamo la soluzione dell'equazione di Boltzmann in approssima-zione di tempo di rilassamento (RTA) [9]. In particolare mettiamo in evidenza cheper calcolare la soluzione stazionaria in RTA di un sistema uniforme di Fermionie suÆciente conoscere la soluzione del moto classica e il principio di esclusione diPauli. Alla forza collisionale si fa corrispondere nell'equazione del moto un teminedi smorzamento proporzionale all'inverso del tempo di rilassamento e si calcolala soluzione stazionaria: la soluzione dell' equazione di Boltzmann (almeno nellimite di piccola perturbazione) e la distribuzione di Fermi-Dirac centrata pero sulmomento d'equilibrio classico.Nota la soluzione per layer isolati si imposta il sistema di equazioni di Bol-tzmann accoppiate che descrive la dinamica del doppio strato. Le caratteristichefondamentali del sistema complessivo in regime stazionario permettono di "indovi-nare" la soluzione di tale sistema che, tuttavia, non costitisce la vera incognita delproblema. Nostro obiettivoe la determinazione della resistivita di drag ossia (ri-cordandosi che il sistema e bidimensionale) il rapporto fra la tensione in un layer e
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE 6
la corrente nell'altro. Si risolve la dinamica del layer in cui scorre la corrente comese l'altro non ci fosse (le correzioni sarebbero di ordine superiore nell'interazionetra i layer) mentre per l'altro, nel quale non puo scorrere corrente perche il circuitoe sostanzialmente aperto, si impone la soluzione d'equilibrio.Il risultato interessante [13] e una equazione del trasporto per il sottosistema al-l'equilibrio che presenta nel termine di forza il campo elettrico equilibratore mentrenel termine collisionale il campo elettrico che sostiene la corrente nell'altro layer.Si puo gia intravedere la relazione lineare fra la corrente in un layer e la tensionenell'altro che permette di calcolare la resistivitadidrag. Sviluppando l'equazionesi perviene all'espressione esplicita. In essa vi sono due elementi fondamentali: ilpotenziale di interazione e la suscettivita generalizzata.In prima approssimazione il potenziale che si potrebbe considerare e quellocoulombiano, ma importanti correzioni vengono introdotte dallo schermaggio trat-tato secondo lo schema di Thomas-Fermi [14]. Il problema viene analizzato indettaglio costruendo la soluzione esplicita sia per layer di spessore in nitesimo che nito. La suscettivita generalizzata viene calcolata esplicitamente e se ne forniscel'espressione analitica della componente immaginaria (parte rilevante nella trat-tazione della risposta lineare) a temperatura nulla suggerendone la struttura atemperatura diversa da zero.A livello classico si da una soluzione anche del caso con campo magneticodiverso da zero. Se ne evidenziano i forti limiti: la discretizzazione dei livellienergetici inevitabilmente presente puo essere trascurata solamente se le energietermiche in gioco eccedono fortemente la spaziatura tra ilivelli di Landau.Dal punto di vista quantistico si utilizza il formalismo delle matrici-densita ap-plicato nel contesto della seconda quantizzazione [11]. Si descrive il doppio stratocome un sistema di elettroni indipendenti perturbato da una interazione coulom-biana. La hamiltoniana e composta di una parte di singola particella (particellalibera e potenziale esterno generato dalle impurezze) e una di interazione a due cor-pi (interazione coulombiana). Il grado di liberta relativoaiduelayer si introducecome pseudospin e l'assenza di tunneling fra i layer viene letta come la conserva-zione di tale grandezza. Se si agisce su un sistema all'equilibrio termodinamico conuna debole perturbazione e si considera la risposta lineare a tale perturbazione siottiene la cosiddetta formula di Kubo [10],[14]. Se la grandezza di cui si analizzala risposta lineare elacorrente, la formula di Kubo fornisce una espressione della
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE 7conducibilita del sistema.Si considera lo sviluppo no all'ordine perturbativo dominante nell'interazionecoulombiana (il secondo nel limite di corrente continua) della conducibilita. Cellu-la fondamentale del calcolo e il correlatore corrente-densita-densitache per la suarappresentazione diagrammatica, viene anche detto funzione triangolare [15],[16].La presenza di impurezze che sicamente introducono dissipazione garantendo lastazionarieta del sistema, contrariamente al caso classico dove veniva sostanzial-mente compendiata in una costante di rilassamento temporale, trova un posto nellatrattazione microscopica. Le impurezze sono rappresentate da un potenziale ester-no somma di tanti potenziali centrali localizzati in modo casuale sugli ipoteticicentri di scattering la cui posizione non e nota a priori. Da questo potenziale cen-trale dipendono la self-energia che veste le tre funzioni di Green che compongonole funzioni triangolari e anche le correzioni di vertice.Il secondo ordine perturbativo e l'approssimazione di elettroni indipendentisono superati attraverso la sostituzione delle due linee di interazione coulombianache legano le due funzioni triangolari tramite un potenziale eÆcace calcolato inrandom phase approximation. E' interessante notare che entro certi limiti talepotenziale coincide con il potenziale classico ottenuto attraverso una equazione diPoisson autoconsistente. Esistono anche altri modi per sviluppare la formula diKubo attraverso ad esempio la memory-function [17],[18] ma che conducono poialla medesima formula per la resistivita. Con metodi analoghi, anche se complicatidalla presenza dei livelli di Landau, si e calcolata la conducibilita di drag (e quindila resistivita) anche in presenza di forti campi magnetici [19].1.3 Apparato sperimentaleLe nanostrutture a doppio strato sono sottili deposizioni alternate di semicondut-tori diversi[2]. La banda di conduzione dell'eterostruttura cos formata presentadei pozzi in corrispondenza dello strato di semiconduttore con la banda di condu-zione piu bassa. In queste buche di potenziale gli elettroni rimangono con naticostituendo dei sistemi bidimensionali. I semiconduttori utilizzati possono esseread esempio GaAs e AlGaAs. Gli spessori degli strati di semiconduttore hannodimensioni dell'ordine della decina di nanometri: in un esperimento tipico[6] conun sistema a doppio strato i due quantum well hanno la dimensione di 20nm e
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE 8sono posti ad una distanza di 22:5nm. Le dimensioni laterali caratteristiche dellediverse deposizioni sono invece dell'ordine del millimetro. Per questo motivo glielettroni con nati nelle eterostrutture sono piani di elettroni e lo spessore di questipiani e trascurabile. La distanza fra i due piani di elettroni che costituiscono unananostruttura a doppio strato e calibrata in modo tale che sia confrontabile con ladistanza media degli elettroni in ciascuno strato. La densita elettronica si aggiraattorno ai 109 1011 cm 2. Gli elettroni con nati su questi piani hanno inoltre unaforte mobilita2:5 106cm2=V s e li rende assimilabili al modello di gas di elettronilibero bidimensionale. Le temperature alle quali vengono condotti gli esperimentisono dell'ordine del Kelvin. Dalla la bassa densita di elettroni si evince che talitemperature sono tuttavia confrontabili con la temperatura di Fermi del sistema.La tecnica permette di dotare gli strati di contatti con i quali iniettare correnteo prelevere tensione indipendentemente su ciascun layer. Molti fenomeni legati altrasporto di elettroni possono essere studiati utilizzando delle strutture descritte,in particolare il tunneling fra i layer, l'e etto Hall quantistico oppure il Coulombdrag.
AlGaAs AlGaAs
GaAs
banda di valenza
banda di conduzione
Figura 1.1: Rappresentazione di un pozzo quanticorealizzato con una eterostruttura: inascissa vieladirezione di deposizione degli strati, in ordinata c'e l'energiadibanda. Hoindicato con una linea tratteggiata la prima funzione d'onda del pozzo.
Capitolo 2Formalismo di Boltzmann2.1 Soluzione dell'equazione di Boltzmann:moto classico e principio di PauliL'equazione di Boltzmann per un sistema di particelle ha la forma1: @@t + pm rr + F rp f = @f@tcoll (2.1)Calcolare la soluzione dell'equazione di Boltzmann per un dato sistema sicopuo essere un compito molto gravoso. Introducendo alcune approssimazioni si puotuttavia ottenere con poca fatica se non la soluzione dell'equazione di erenziale atutti i tempi almeno un certo numero di informazioni. In primo luogo e utile dareuna forma precisa e semplice al temine collisionale: adotteremo la approssimazionedi tempo di rilassamento (RTA).@f@tcoll = f f0 (2.2)dove e il cosiddetto tempo di rilassamento. Il senso dell'identi cazione della ap-prossimazione con la particolare forma del termine collisionale si ottiene scrivendol'equazione di un sistema uniforme e in assenza di campi di forze esterne. In RTAla funzione di distribuzione si rilassera su quella di equilibrio esponenzialmente1Per la deduzione vedi ad esemipo [8] 9
CAPITOLO 2. FORMALISMO DI BOLTZMANN 10con un tempo caratteristico pari esattamente a . In realta la nostra attenzionesara rivolta sempre a sistemi non solamente uniformi ma anche stazionari: in talicondizioni scompaiono dal membro di sinistra la derivata temporale e il gradientespaziale, sempli cando ulteriormente l'equazione.Per calcolare la soluzione stazionaria in RTA di un sistema uniforme di Fermionie suÆciente conoscere la soluzione del moto classica e il principio di esclusione diPauli. Se infatti alla forza collisionale si fa corrispondere nell'equazione del motoun termine di smorzamento di peso 1= ,siveri ca che la soluzione stazionaria dell'equazione di Boltzmann sara la distribuzione di Fermi-Dirac centrata sul momento2d'equilibrio.Nell'ipotesi che la funzione di distribuzione sia uniforme nelle posizioni e cheil termine collisionale si possa esprimere in RTA, l'equazione di Boltzmann hal'aspetto: F rkf = f f0 : (2.3)La presente sezione sara dedicata allo studio di questa equazione di erenzialee della sua soluzione diretta e tramite equazione del moto classica. Analizzeremole varie situazioni con diversi campi di forze.2.1.1 Solo termine di smorzamento:L'equazione di Boltzmann ha una forma semplicissima:0= f f0 (2.4)e la soluzione e evidentemente f(k)=f0(k) .L'equazione classica per il moto di una particella sotto l'azione di una sempliceforza frenante si scrive, per i momenti:dkdt = k (2.5)2Si intende per \momento" l'espressione m _x~ . Alcuni autori [2]chiamano questa quantita mo-mento meccanico per distinguerlo dal momento canonico. Non essendoci ambiguita non faremodistinzioni continuando per brevitaachiamare semplicemente momento il momento meccanico
CAPITOLO 2. FORMALISMO DI BOLTZMANN 11e ammette come soluzione all'equilibrio, ossia praticamente dopo alcune unita tem-porali , la quiete della particella. Volendo rappresentare quindi l'andamento diuna distribuzione classica di particelle nello spazio dei momenti osserveremmo unaprogressiva contrazione della "nube" iniziale sull'origine e questo indipendente-mente dall'insieme delle condizioni iniziali delle singole particelle. E la traduzionedel fatto che l'unica forza presente e dissipativa e quindi (se le particelle sono suf- cientemente diluite da poter trascurare qualsiasi interazione fra di loro ) l'energiadel sistema (puramente cinetica) tende a zero nel tempo.
spazio dei momenti spazio dei momenti
Soluzione quantistica (Fermioni)Soluzione classicaFigura 2.1: Soluzione classica e quantistica a confronto: il principio si esclusione diPauli \sostiene" la bolla quantisticaNella gura 2.1 si puo gia vedere la di erenza con la soluzione quantistica(per Fermioni) del problema: il principio di esclusione di Pauli impedisce aglielettroni di collassare sulla soluzione nulla e l'e etto complessivo sara quello dellaformazione di una bolla di elettroni di raggio kF centrata nell'origine dello spaziodei momenti. Il supporto della distribuzione sara quello descritto solamente allatemperatura assoluta T = 0 K. A temperatura nita infatti la distribuzione diFermi-Dirac ha la ben nota espressione:f0(k)= 21 + exp[+ (k )] (2.6)dove e il potenziale chimico e il coeÆciente due a numeratore e stato scritto conriferimento ad elettroni.
CAPITOLO 2. FORMALISMO DI BOLTZMANN 122.1.2 Campo elettrico con smorzamento:Veniamo ora al caso in cui gli elettroni siano soggetti alla forza derivata da uncampo elettrico uniforme. L'equazione di Boltzmann assume allora la forma:
qE rkf = f f0 (2.7)E necessaria un'ulteriore sempli cazione dell'equazione: si considerano semplice-mente e etti lineari nel campo elettrico. Nel termine di sinistra si puo sostituirealla distribuzione incognita quella all'equilibrio e arrivare cosi alla soluzione:f(k)=f0(k) q E rkf0(k) (2.8)Classicamente l'equazione di moto del generico elettrone si arricchisce dellaforza derivante dal campo elettrico e ha quindi la forma:dkdt = qE k (2.9)Sempre dopo alcune unita temporali , la soluzione si stabilizza in k = q E indi-pendentemente dalle condizioni iniziali. Ancora una volta possiamo rappresentarecon un disegno la progressiva tendenza all'equilibrio della particella:Nuovamente dal disegno ( gura 2.2) si possono ricavare ulteriori informazioni:sia nel caso classico sia in quello quantistico i sistemi di riferimento sono doppi euno traslato rispetto all'altro, precisamente di q E . Nei sistemi di riferimentotraslati (quelli primati per intenderci) le gure coincidono con quelle del puntoprecedente. Matematicamente si puo riprodurre la medesima situazione attraversouna trasformazione di Galilei: k0 = k q E . In questa nuovavariabile l'equazioneritorna ad essere quella del caso 1. Quelle argomentazioni conducono quindi allaconclusione del problema e consentono di a ermare:f 0(k0)=f0(k0) (2.10)ossia:
CAPITOLO 2. FORMALISMO DI BOLTZMANN 13
Soluzione classica Soluzione quantistica (Fermioni)
spazio dei momenti spazio dei momenti
Figura 2.2: Si noti che a meno di una traslazione degli assi di riferimento questa gurae identica alla precedente.
f(k)=f0(k q E) (2.11)e, considerando che e soltanto una piccola perturbazione, in ne:f(k)=f0(k) q E rkf0(k) (2.12)2.1.3 Campo magnetico con smorzamento:Il campo magnetico entra nella equazione di Boltzmann nel termine di forza. Informula: qmc(k B) rkf = f f0 (2.13)La distribuzione all'equilibrio di Fermi-Dirac e una soluzione di questa equazionedi erenziale, almeno nel limite in cui l'energia dell'elettrone che vi compare siaquadratica nei momenti. Infatti in tal caso, come si puo facilmente veri care,il gradiente sui momenti della distribuzione risulta essere parallelo al momentostesso.L'equazione classica per i momenti si scrive:
CAPITOLO 2. FORMALISMO DI BOLTZMANN 14
dkdt = qmc(k B) k : (2.14)L'unita temporale continuaagovernare l'equilibrio. Dopo alcuni (rigorosamenteparlando nel limite t!1) il sistema sara stazionario e dunque la derivata tem-porale nel termine di sinistra dell'equazione si annullera. L'equazione di erenzialesi trasforma in quella algebrica:k
(k B)=0 (2.15)dove per brevita si e indicato con
il rapporto q =mc.Facendo uso del tensore diLevi-Civita si puo riscrivere matricialmente l'equazione e ottenere:
(Æij
ijkBk)kj =0 (2.16)Tale equazione ammette solamente soluzione banale perche l'operatore lineare inparentesi tonda e invertibile avendo determinante non nullo: 1
B3
B2
B3 1
B1
B2
B1 1 =1+
2(B21 +B22 +B23): (2.17)Ma allora si riutilizza il fatto che se la soluzione classica euncollasso nell'origine,quella quantistica fermionica puo essere soltanto la Fermi-Dirac d'equilibrio.2.1.4 Campo elettrico e magnetico con smorzamento:Nel caso in cui il campo elettrico e magnetico siano entranbi accesi l'equazione diBoltzmann prende la forma:hqE + qmc(k B)i rkf = f f0 (2.18)Sottolineo che il campo elettrico e piccolo, mentre per il campo magnetico vi ela sola limitazione ~!c << kBT che permette di rimanere in approssimazione
CAPITOLO 2. FORMALISMO DI BOLTZMANN 15semiclassica. In quest'ultimo caso non e evidente la soluzione. Si puo tuttaviaformulare l'ipotesi che essa abbia la forma:f = f0 q G rkf0 (2.19)dove G rappresenta l'incognita del nostro problema. Implicitamente sto richie-dendo che G sia piccolo (lineare in E) e indipendente da k. Inserendo questaposizione nell'equazione sopra si ottiene, trascurando i termini non-lineari in E,un'equazione algebrica per G:hqE + qmc(k B)i rkf0 hqE + qmc(k B)i rkq (G rkf0)=qG rkf0qE rkf0 qmc(k B) rkq (G rkf0)=qG rkf0qE rkf0 qmc(k B) rkq @f0@ (G rk) = qG rkf0qE rkf0 q2 mc (k B) rk@f0@ (G rk)+@f0@ rk(G rk) = qG rkf0E rkf0 q mc(k B) @f0@ rk(G rk) = G rkf0E rkf0 q mc @f0@ (B rk(G rk)) k = G rkf0E rkf0 q mc @f0@ (B (G rk)rk) k = G rkf0E rkf0 q c (B (G rk)rk) rkf0 = G rkf0Ho riportato molti passaggi aÆnche risultino evidenti le approssimazioni introdotteper giungere a: E q mc(B G)=G (2.20)Scritta in componenti questa equazione ha un aspetto familiare:Ei =(Æij
ijkBk)Gj (2.21)
CAPITOLO 2. FORMALISMO DI BOLTZMANN 16L'operatore lineare in parentesi tonda equelloincontrato nella sezione precedente.Poiche ne conosciamo gia il determinante e quindi l'invertibilita, possiamo a er-mare che esiste unica la soluzione del sistema sopra scritto in forma matriciale. Sideve dunque calcolare l'inversa della matrice:
(A 1)ij = 11+
2jBj2 Æij +
ijkBk +
2BiBj (2.22)che, applicata al vettore Ej , si puo scrivere in notazione compatta:G = E +
(E B)+
2(E B)B1+
2jBj2 (2.23)Tutte le ipotesi fatte su G (che esistesse, che fosse lineare in E, e in ne che fosseindipendente da k) sono soddisfatte e la soluzione dell'equazione di Boltzmann puoessere scritta: f = f0 q E +
(E B)+
2(E B)B1+
2jBj2 rkf0 (2.24)L'equazione classica di moto in presenza di un campo elettrico e di un campomagnetico -costanti e uniformi- e di una forza dissipativasiscrive, nei momenti:dkdt = qE + 1mc(k B) k (2.25)La soluzione stazionaria per tempi lunghi e quella della ormai nota equazionealgebrica:
q E = k
(k B) (2.26)La soluzione si calcola facilmente da quella per G:k1 = q E +
(E B)+
2(E B)B1+
2jBj2 (2.27)
CAPITOLO 2. FORMALISMO DI BOLTZMANN 17Ancora una volta la soluzione classica viola il principio di Pauli. Dall'esperienzamaturata ai punti due e tre sappiamo, tuttavia, che se si riuscisse con una trasfor-mazione di Galilei ad eliminare il campo elettrico (totale: anche quello generatodal campo magnetico in un sistema di riferimento in moto rispetto ad esso), inquel sistema di riferimento la soluzione sarebbe la distribuzione di Fermi-Dirac,essendo allora la soluzione classica il collasso nell'origine. Poniamo k0 = k+q : laforza risultante che agisce sulla particella nel nuovo sistema di riferimento e:F 0 = qE + 1mc((k0 q)B k0 q == qE 1mc(q B)+ qq + 1mc(k0 B) k0 == qE0 + 1mc(k0 B0) k0 (2.28)Di conseguenza la condizione d'annullamento del campo elettrico E 00=E0 = E 1mc(q B)+ qq q E = q mc(q B)+q (2.29)e risolta dal momento q:q = q E +
(E B)+
2(E B)B1+
2jBj2 (2.30)Come si poteva intuire q = k1. Lo stesso risultato e stato raggiunto al punto1.1 con il solo campo elettrico. Nel sistema primato la soluzione, come gia detto,e la distribuzione di Fermi-Dirac quindi:f 0(k0)=f0(k0)f(k)=f 0(k + q)=f0(k + q) (2.31)ossia: f(k)=f0(k) q E +
(E B)+
2(E B)B1+
2jBj2 rkf0(k) (2.32)
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