Capitolo 1
pulsazione delle stelle. Infine nelle scienze atmosferiche essa dipende dalla
rivoluzione e rotazione della Terra e nell’econometria
3
dalla stagionalità.
In questo scenario si introducono i processi stocastici ciclostazionari i quali
hanno caratteristiche statistiche che variano periodicamente nel tempo. Ad
essi ci si riferisce anche con il nome di processi periodicamente correlati. I
primi contributi all’analisi delle proprietà generali dei processi stocastici
ciclostazionari si sono avuti grazie a studiosi russi.
I processi stocastici ciclostazionari in senso lato presentano la funzione di
autocorrelazione che varia periodicamente nel tempo. Le proprietà generali
di questi processi derivano dall’aver considerato l’espansione in serie di
Fourier, sotto opportune condizioni, della funzione di autocorrelazione. I
coefficienti della serie sono detti funzioni di autocorrelazione ciclica e sono
delle funzioni continue del parametro di ritardo, mentre le frequenze, dette
frequenze cicliche, sono multiple del reciproco del periodo di
ciclostazionarietà.
Nel dominio della frequenza i processi ciclostazionari sono caratterizzati da
spettri ciclici che sono le trasformate di Fourier delle funzioni di
autocorrelazione ciclica. Lo spettro ciclico ad una fissata frequenza ciclica
rappresenta la densità di correlazione tra due componenti spettrali del
processo che sono separate di una quantità pari alla frequenza ciclica. Nel
caso in cui le frequenze dell’espansione in serie di Fourier della funzione di
3
Econometria: branca dell’economia che utilizza la matematica e la statistica per indagare
sulle leggi e le relazioni quantitative dei fenomeni economici.
2
Capitolo 1
autocorrelazione non sono commensurabili, ossia se la funzione di
autocorrelazione è quasi periodica nel tempo, allora il processo viene
indicato come quasi ciclostazionario o equivalentemente processo quasi
periodicamente correlato.
Al contrario, i processi stazionari in senso lato hanno la funzione di
autocorrelazione indipendente dal tempo, legata solo al parametro di ritardo
e inoltre le componenti spettrali separate sono incorrelate.
Per descrivere la presenza di un fenomeno periodico nel meccanismo di
generazione dei dati si ha a disposizione una trattazione alternativa per la
quale i dati disponibili non sono modellati come una realizzazione di un
processo stocastico ma come una singola funzione del tempo. Pertanto una
serie temporale è caratterizzata da una ciclostazionarietà del secondo ordine
se esiste una trasformazione quadratica tempo invariante della serie
temporale che dà luogo a componenti additive sinusoidali di potenza finita.
Di ciò se ne discuterà in maniera dettagliata nei paragrafi [3.1], [3.2] e [3.3].
3
Capitolo 2
CAPITOLO 2
PROCESSI STOCASTICI
CICLOSTAZIONARI E QUASI
CICLOSTAZIONARI
2.1 PROCESSI ALEATORI CICLOSTAZIONARI E QUASI
CICLOSTAZIONARI A TEMPO CONTINUO
Si consideri un processo stocastico reale a tempo continuo { x(t,ω), t∈ ,
ω∈Ω } di cui si userà la forma abbreviata x(t) se essa non darà luogo ad
ambiguità. Il processo è definito su uno spazio di probabilità ( Ω, F , P )
dove Ω è lo spazio campione, ossia l’insieme di tutti i possibili risultati, F è
l’insieme degli eventi e P è la misura di probabilità definita sugli elementi di
F .
4
Capitolo 2
Un processo x(t) è definito ciclostazionario di ordine N in senso stretto se
la sua funzione di distribuzione dell’N_esimo ordine :
{}
11
, ...., ,
().( )()1 1
, ..., ,
11 1 1
)
() ( ) ()
N
xt xt xt N N
NN
F
Pxt xt xt
ττ
N
ξ ξξ
τ ξτξ
−
++ −
−−
ξ+ ≤+≤ ≤
(2.1)
è periodica in t con periodo T
0
:
10 10 0
...
11
, ...., ,
( )... ( ) ( ) 1 1
( ) ( ) ( ) , ...., ,
11
1
, ..., , ...,
11 1
)
,( ) ,( )
N
N
xt T xt T xt T N N
xt xt xt
NN
N
F
F
t
ττ
ττ
ξ ξξ
ξξξ
ττ ξξ
−
−
++ + + + −
++
−
−
−
=
∀∈ ∀ ∈ ∀ ∈
(2.2)
Il processo x(t) è detto ciclostazionario del secondo ordine in senso lato se
la sua media E{x(t)} e la funzione di autocorrelazione:
{ }
(, ) ( ) ()xRt Ext xtττ+ (2.3)
sono periodiche di periodo T
0
in t per ogni t
:
{ } { }
0
0
() (
(,)(,)
xx
Ext T Ext
Rt T Rt
)
τ τ
+=
+=
(2.4)
Se si assume che l’espansione in serie di Fourier di (, )
x
R t τ è convergente
uniformemente a (, )
x
R t τ possiamo scrivere:
(2.5)
0
0
/ 2(/ )
(, ) ( )
nT jnT
x
x
n
Rt R e
π
ττ
+∞
=−∞
=
∑
t
dove i coefficienti di Fourier sono:
0
0
0
0
/2
/ 2(/ )
/2
0
1
() (,)
T
nT jnTt
xx
T
RRte
T
π
ττ
−
−
∫
d (2.6)
Questi coefficienti sono detti funzioni di autocorrelazione ciclica mentre
{ }
0/
n
nT
∈
sono le frequenze cicliche e T
0
è il periodo di ciclostazionarietà.
5
Capitolo 2
E’ importante sottolineare che i processi stazionari in senso lato
rappresentano un caso particolare dei processi ciclostazionari. Infatti essi
presentano solo per n=0.
0
/
() 0
nT
x
R τ ≠
Si ritiene doveroso sottolineare che per scrivere la (2.5) è stata fatta ipotesi
di convergenza uniforme della funzione di autocorrelazione. Nelle
applicazioni pratiche i segnali che si considerano rispettano sempre tale
ipotesi. Può succedere però che per schematizzare fenomeni fisici si fa
ricorso a funzioni che non rappresentano esattamente i segnali in esame ma
che vengono utilizzati perché offrono maggiore semplicità di trattazione.
Per queste funzioni in generale non è assicurata più la possibilità di uno
sviluppo in serie di Fourier e diventa necessario disporre di criteri che
garantiscono la correttezza di tale sviluppo. Il criterio di Dirichlet è un
insieme di condizioni sufficienti che ci permettono di sviluppare in serie di
Fourier un generico segnale. Si riportano di seguito tali condizioni
relativamente ad un segnale generico x(t).
CONDIZIONI DI DIRICHLET
1.
0
0
/2
/2
()
T
T
xtdt
−
<∞
∫
vale a dire x(t) è assolutamente integrabile sul periodo
T
0
.
6
Capitolo 2
2. x(t) è continua o abbia al più un numero finito di discontinuità di prima
specie (salti di discontinuità) in un periodo.
3. )(tx
dt
d
esiste ∈∀t [ -T
0
/2 , T
0
/2 ] ossia x(t) è derivabile rispetto al
tempo nel periodo escluso al più un numero finito di punti dove però la
derivata destra e sinistra esistono e sono finite. Allora la serie di Fourier
converge al valore assunto dalla funzione x(t) nei punti in cui questa è
continua e alla semisomma dei limiti destro e sinistro nei punti in cui x(t)
presenta le eventuali discontinuità di prima specie.
Una formulazione equivalente della terza ipotesi del criterio risulta essere:
• se il segnale presenta un numero finito di massimi e di minimi nel
periodo.
Si può dimostrare che se x(t) è ciclostazionario con periodo T
0
, allora il
processo aleatorio z(t)=x(t+θ ) è stazionario in senso lato , dove θ è una
variabile aleatoria uniformemente distribuita in (0,T
0
) e statisticamente
indipendente da x(t). Deve essere provato che la media statistica è costante e
la funzione di autocorrelazione non dipende dai singoli istanti di tempo e
quindi dalla variabile temporale t, ma dalla variabileτ , che individua la
differenza tra gli istanti temporali. Si inizi a provare il primo punto, la
media:
,
[ ( )] [ ( )]
x
Ezt E xt
θ
θ= + (2.7)
7
Capitolo 2
{ }
()()
x
E xt f d
θ
θ θθ=+
∫
(2.8)
0
0
0
1
()
T
x
Ext
T
dθ θ
⎧ ⎫
=+
⎨ ⎬
⎩⎭
∫
(2.9)
Operando un cambio di variabili:
tε θ+
si otterrà:
0
0
1
()
tT
x
t
Ex
T
dε ε
+
⎧ ⎫
=
⎨ ⎬
⎩⎭
∫
(2.10)
Siccome la media statistica e l’integrale sono due operatori lineari è lecito
scambiarli di posto:
0
0
1
[()]
tT
x
t
Ex d
T
ε ε
+
=
∫
(2.11)
Per le ipotesi fatte il processo x(t) ha una media periodica di periodo T
0
e
dalla (2.11) si può notare che l’integrale si estende proprio su un periodo.
Pertanto la media del processo x(t+θ ) è costante. Si prenda ora in
considerazione la funzione di autocorrelazione:
[ ]
,
(, ) ( ) ( )
zx
Rt E xt xt
θ
τ θτ θ++ + (2.12)
{ }
()()()
x
Ext xt fd
θ
θ τθ=++
∫
θ (2.13)
0
0
0
1
()()
T
x
Extxtd
T
θ τθθ
⎧ ⎫
=++
⎨ ⎬
⎩⎭
∫
(2.14)
Si esegua lo stesso cambiamento di variabili fatto precedentemente:
8
Capitolo 2
tε θ+
e si inverta l’ordine tra l’integrale e la media:
[
0
(,)
0
1
()()
x
R
tT
x
t
Ex x d
T
ετ
]
ε τε
+
=+
∫
6447448
ε (2.15)
0
0
1
(,)
tT
x
t
R d
T
ε τε
+
=
∫
(2.16)
Come si può osservare si ha l’integrale su un periodo di una funzione
periodica. Pertanto l’integrale non dipende dagli estremi di integrazione,
ossia da t, quindi la funzione di autocorrelazione dipende soltanto dalla
variabile τ . E’ stato così provato che il processo è stazionario in senso lato
(SSL).
Si può ottenere una classe più generale di processi aleatori se la funzione di
autocorrelazione (, )
x
R t τ è quasi periodica in t per ogni τ . Una funzione
z(t) si dice quasi periodica se 0ε∀ > 0l
ε
∃ > tale che per ogni intervallo
(t
0 ,
t
0
+ l
ε
) 00(, )tt lετ ε∃∈ + per cui:
()()zt ztετ ε+ −< t∀ ∈ (2.17)
La quantità ετ è detta numero di traslazione di z(t) corrispondente ad ε .
Ogni funzione quasi periodica è limitata ed è il limite di una sequenza di
polinomi trigonometrici in t, uniformemente convergente:
2
()
jt
A
zt ze
α
πα
α∈
=
∑
(2.18)
9
Capitolo 2
dove A è un insieme numerabile, le frequenze Aα ∈ possono essere
incommensurabili e infine i coefficienti z
α
sono dati dalla seguente
relazione:
/2
2
/2
1
() lim ()
T
jt jt
t TT
zzte zte d
T
α
πα πα−−
=
−→∞
∫
t (2.19)
Tali funzioni sono dette quasi periodiche nel senso di Bohr oppure, in modo
del tutto equivalente, uniformemente quasi periodiche in t nel senso di
Besicovitch.
Un processo x(t) aleatorio, reale e a tempo continuo è detto quasi
ciclostazionario in senso lato (ACS: almost-ciclostazionary in wide sense),
se la sua funzione di autocorrelazione (, )xR t τ è una funzione quasi
periodica di t con le frequenze che non dipendono da τ . Essa assumerà tale
espressione:
2
(, ) ( )
x
j t
x
A
Rt R e
α πα
α
ττ
∈
=
∑
(2.20)
con:
/2
2
/2
1
() lim (,)
x
T
jt
x
TT
R Rt e dt
T
απ
ττ
−
−→∞
∫
α
(2.21)
che rappresenta la funzione di autocorrelazione ciclica alla frequenza ciclica
α e
{ }
:()0
x
AR
α
ατ∈ ≠. Dalla relazione precedente si ha che se x(t) è
un processo ACS, allora x(t) e la sua versione traslata x(t)
2jt
e
πα−
sono
correlate quando Aα ∈ . I processi quasi ciclostazionari in senso lato
vengono anche chiamati quasi periodicamente correlati. I processi
10
Capitolo 2
ciclostazionari in senso lato sono un caso particolare dei processi ACS e si
ottengono quando
{ }
0/
n
AnT
∈
≡
per qualche T
0.
In molti casi si parla di processi aleatori che esibiscono ciclostazionarietà
alla frequenza ciclica α se ()
x
R
α
τ 0≠ . Nel caso specifico la funzione di
autocorrelazione si può esprimere come segue:
2
(, ) ( ) (, )
x
jt
x
A
x
R tRer
απα
α
tτ τ
∈
=+τ
∑
(2.22)
in cui il termine ( , )
x
rtτ non contiene nessuna componente sinusoidale
additiva. Infatti se ne si fa la media temporale il risultato sarà nullo:
2
(, ) 0
x
jt
t
rt e
πα
τ
−
= α∀ ∈ (2.23)
Nel caso particolare in cui
0
lim ( , ) 0
x
t
rtτ
→
= allora x(t) è asintoticamente
quasi ciclostazionario.
Si consideri ora la caratterizzazione nel dominio della frequenza di processi
ACS del secondo ordine. Trasformando con Fourier x(t), si ottiene un nuovo
processo X(f) che assume tale forma:
2
() ()
jft
X fxte
π−
∫
d (2.24)
In questo caso si assume che la trasformata di Fourier esiste, almeno nel
senso delle distribuzioni., con probabilità 1. Usufruendo della (2.20) si
ottiene la funzione di correlazione spettrale:
{}
*
12 112
() () ()( )
x
A
EXf X f S f f f
α
α
δ α
∈
= −−
∑
(2.25)
11
Capitolo 2
Il supporto di quest’ultima funzione nel piano (f
1
,f
2
) è costituito da linee
parallele di pendenza unitaria. Si definisce poi lo spettro ciclico alla
frequenza ciclica α , anche detto funzione di densità di correlazione
spettrale:
2
() ()
jf
xxSf R e d
ααπτ
τ τ
−
∫
(2.26)
Questa funzione rappresenta la correlazione statistica mediata nel tempo,
con parametro di ritardo nullo, tra due componenti spettrali alle frequenze f
ed f-α . Per α =0 lo spettro ciclico rappresenta lo spettro di potenza o
funzione di densità spettrale .
0
()
x
Sf
Di seguito viene riportata la dimostrazione della (2.25):
*
12
[() ()]EX f X f = (2.27)
( )
{ }
1
*
22
() ()
jf jf
Exe d xe d
πλ πε
λ λε
−−
=
∫∫
(2.28)
{ }
12
22
()()
jf jf
E xxe e dd
πλ πε
λ ε
−
=
∫∫
λ (2.29)
Eseguendo il cambio di variabili:
t
t
λ τ
ε
⎧ +
⎨
⎩
si avrà:
{ }
12
2()2
()()
jft jft
Extxte ed
πτπ
τ τ
−+
=+
∫∫
(2.30)
Si può invertire l’operatore di media con quello di integrale:
112
22()
[( )()]
jf j fft
Ext xt e e dtd
πτ π
τ τ
−−−
=+
∫∫
(2.31)
12
Capitolo 2
11
22(
(, )
jf j fft
x
2
)
R te d e d
πτ π
τ
−−−
=
∫∫
t
2
)
(2.32)
=
11
22(2
()
jf j fftjt
x
A
R ee de d
πτ παπα
α
τ
−−−
∈
t
∑
(2.33)
)
A questo punto vengono scambiati di posto l’operatore di sommatoria con
quello di integrale in quanto entrambi lineari:
112
1
22(
(2.26) ( )
()
x
jf j ff t
x
A
dalla S f
R ede
α
πτ π αα
α
τ
−−−
∈
→=
=
∑
∫∫
144424443
d (2.34)
112
()( )
x
A
Sf f f
α
α
δ α
∈
=−
∑
(2.35)
Si è così giunti alla (2.25).
La densità di correlazione è data da:
{}
1/
/2
*
1/
/20
1
() limlim (,) (, )
f
T
x
T
fT
Sf EfX tfX tf d
T
α
α
∆ ∆
−∆→ →∞
=
∫
t− (2.36)
dove l’ordine dei due limiti non può essere invertito ed inoltre si ha:
(2.37)
/2
2
/2
(, ) ( )
tZ
jfs
z
tZ
Xtf xse ds
π
+
−
−
∫
13
Capitolo 2
2.2 PROCESSI ALEATORI CICLOSTAZIONARI E QUASI
CICLOSTAZIONARI A TEMPO DISCRETO
Si esamini un processo aleatorio a valori reali e a tempo discreto
{ }
(, ), ,xn nωω∈∈Ω , di cui si userà la notazione abbreviata x(n), se ciò
non causerà ambiguità. Il processo stocastico x(n) è quasi ciclostazionario
in senso lato del secondo ordine se la sua funzione di autocorrelazione è
una funzione quasi periodica nel parametro a tempo discreto n:
{ }
(, ) ( )()
x
Rnm Exn mxn+
%
(2.38)
Quindi si avrà:
2
(, ) ( )
jn
xx
A
Rnm R me
α πα
α∈
=
∑
%
%
%
%
%
(2.39)
e si definisce la funzione di autocorrelazione ciclica alla frequenza ciclica
α
%
:
2
1
() lim (,)
21
N
j n
xx
N
nN
Rm Rnme
N
α πα−
→∞
=−
+
∑
%%
%
(2.40)
con
[ [
{ }
1/2,1/2 : ( ) 0
x
AR
α
α∈− ≠
%
% %
%
m che è un insieme numerabile. Si può
osservare che la funzione di autocorrelazione ciclica ( )
x
R m
α%
%
è periodica in
α
%
con periodo 1. Quindi la somma nella (2.39) può essere estesa
all’insieme
[ [
{ }
1
0,1 : ( ) 0
x
ARm
α
α∈
%
% %
%
≠. Si provi adesso che la ( )
x
R m
α%
%
è
periodica in α
%
con periodo 1:
14
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