Equazione di Korteweg-deVries: teoria ed applicazioni

 2
in una dimensione spaziale ed una temporale, dove η è l'innalzamento della superficie 
al di sopra del livello d'equilibrio dell'acqua ∝, α è una costante arbitrariamente 
piccola relativa al moto uniforme del liquido, x è la coordinata lungo il canale, g è 
l'accelerazione di gravità, e σ = ∝³/3 – T∝/ρg , dove T è la tensione capillare 
superficiale e ρ è la densità.  
La (1) prende il nome di equazione di Korteweg-deVries e regola la propagazione di 
onde moderatamente piccole in acque poco profonde. Tale equazione ha come 
soluzioni onde permanenti, tra cui sono comprese le onde solitarie. Con l'aiuto della 
(1), essi dimostrarono che "though sinusoidal waves become steeper in front when 
advancing, other types of waves may behave otherwise." Uno specifico caso fu " a 
new type of long stationary wave", una soluzione d'onda periodica regolare che essi 
chiamarono onda cnoidale. 
Nonostante questa prima derivazione dell'equazione KdV, bisogna attendere il 1960 
prima di trovare una nuova applicazione della (1) nello studio delle onde 
idromagnetiche in collisione libera, condotto da Gardner e Morikawa. Ciò fu 
sorprendente, dal momento che in generale tale equazione descrive la propagazione 
unidirezionale di onde di ampiezza piccola ma finita in un mezzo dispersivo non 
lineare. Da quel momento fiorirono molteplici applicazioni della (1) anche in contesti 
differenti ([2] e [3]): Kruskal e Zabusky mostrarono che la (1) regola le onde 
longitudinali che si propagano in un reticolo costituito da masse uguali connesse da 
molle non lineari, il cosiddetto problema di Fermi-Pasta-Ulam; Berezin, Karpan, 
Washimi e Taniuti applicarono l'equazione KdV alle onde ione-acustiche in un 
plasma freddo; Wijngaarden scoprì che la (1) descriveva anche le onde di pressione 
in una miscela di bolle di gas liquido; Naraboli mostrò che tale equazione governa le 
onde nelle bacchette elastiche; Shen la ricavò in uno studio sulle onde d'acqua 
tridimensionali;  Leibovich infine mostrò che essa descriveva la componente assiale 
della velocità di un fluido ruotante all'interno di un tubo.  
Notiamo che riscalando e traslando le variabili dipendenti e indipendenti nella (1), 
possiamo eliminare le costanti fisiche; anzi con tali trasformazioni possiamo inserire 
 3
nella (1) qualsiasi coefficiente desiderato. Da ciò segue che l'equazione di Korteweg-
deVries avrà diverse formulazioni tutte correlate alla (1) mediante tali tipi di 
trasformazioni e dunque tutte a buon diritto chiamate equazioni di Korteweg-deVries. 
Ad esempio, mediante le seguenti trasformazioni: 
 
che è la formulazione dell'equazione KdV da me analizzata quasi ovunque in questa 
tesi, fatta eccezione per lo studio delle soluzioni asintotiche (Cap.3 Par.2) dove ho 
utilizzato la formulazione seguente: 
 
 
Ci sono anche trasformazioni che lasciano invariata la (3) e la (4): tali equazioni sono 
infatti invarianti per ogni arbitraria traslazione in x ed in t, dal momento che queste 
variabili compaiono esclusivamente nelle differenziazioni, inoltre, poiché tutte le 
derivate sono d'ordine dispari, cambiando segno sia ad x che a t le equazioni (3) e (4) 
non vengono alterate; infine notiamo che la (3) è un'invariante galileana, cioè rimane 
invariata dalla seguente trasformazione: 
 
dove c è una costante arbitraria. 
Diamo ora la seguente definizione: 
3)(                                                                                                  0uuu6u
:diventa (1) la
2)(                                                        
3
1
2
1
u        , 
x
x       ,t 
g
2
1
t
xxxxt
=+−
α−η−=′
σ
−=′
σ
=′
λ
)4(                                                                                                  0uuu6u
xxxxt
=++
(5)                                                    c
6
1
t)u(x,)t,x(u         ,ct xx         ,t t +=′′′−=′=′
 4
Definiamo equazione di evoluzione non lineare, un'equazione a derivate parziali del 
tipo: 
 
dove u rappresenta un campo scalare reale o complesso, funzione del tempo t e della 
variabile spaziale  x  con t  > 0 , – ∞ < x < ∞  ed i coefficienti di u, ux … sono 
funzioni di u. 
Determinare l'evoluzione temporale del campo u, significa conoscerne il 
comportamento al variare del tempo t dopo aver assegnato a t = 0 una particolare 
condizione iniziale u(x,0) e, se necessario, anche la derivata prima temporale di 
u(x,0). In genere si richiede alla soluzione del problema di soddisfare delle condizioni 
al contorno: 
 
Oltre all'equazione di Korteweg-deVries, abbiamo altre equazioni di evoluzione non 
lineari di particolare importanza in svariati campi della fisica; ricordiamo brevemente 
le seguenti: 
 
Molti dei risultati che otterremo per l'equazione di Korteweg-deVries nella presente 
tesi possono essere estesi alle equazioni evolutive non lineari sopra citate. Queste 
equazioni, oltre ad avere un indubbio valore dal punto di vista applicativo, hanno 
anche un notevole interesse matematico, in quanto sono equazioni esattamente 
integrabili con soluzioni solitoniche ed inoltre sono sistemi Hamiltoniani con infinite 
costanti del moto. 
 ),u,u(Fu   o   ),u,u(Fu xttxt ΚΚ ==
. )t(f)t,(u          oppure           )t(f)t,(u
x
=±∞=±∞
0uu2uiu   :                    (NLS)dinger oSchr di linearenon  equazione
usin uu   :                                    (SG)Gordon sine di equazione
0uuu6u   :    (mKdV) deVriesKorteweg di modificata equazione
2
xxt
xxtt
xxxx
2
t
=++
=−−
=+−−
&&
 5
Nel primo capitolo di questa tesi, verrà descritta l'onda solitaria e verranno introdotti i 
solitoni ed il loro particolare comportamento; saranno inoltre considerate  le leggi di 
conservazione dell'equazione di Korteweg-deVries e la dimostrazione dell'esistenza 
di infinite leggi di conservazione associate a tale equazione. Nel secondo capitolo 
saranno illustrate le caratteristiche peculiari della tecnica dello Scattering Inverso 
(IST), nonché un metodo di risoluzione alternativo per l'equazione KdV che evita 
completamente l'introduzione dei dati di scattering. Nel terzo capitolo verranno 
discusse le soluzioni solitoniche pure della (3), che si verificano quando il 
coefficiente di riflessione del problema di scattering è nullo: sarà data la forma 
esplicita di tale soluzione, una rappresentazione dell'associato problema di scattering 
in termini di autovalori e di autofunzioni ed una funzione generatrice per le densità 
conservate; inoltre saranno analizzate le soluzioni della (4) corrispondenti ad un 
coefficiente di riflessione diverso da zero: sono presentati risultati qualitativi per il 
comportamento asintotico di tali soluzioni. Nel quarto capitolo si discuterà l'uso delle 
trasformazioni di Bäcklund per generare nuove soluzioni della (3) partendo da quelle 
conosciute e per trovare il problema ad autovalori necessario per il metodo dello 
Scattering Inverso; verrà inoltre mostrato che l'equazione di Korteweg-deVries è un 
sistema Lagrangiano ed Hamiltoniano e verranno introdotti gli invarianti integrali.  
Nel quinto ed ultimo capitolo sarà introdotto un metodo di perturbazione al fine di 
semplificare le equazioni originali del moto nella maggior parte dei sistemi fisici e 
verranno analizzate cinque applicazioni dell'equazione di Korteweg-deVries che 
interessano varie aree della fisica; particolare attenzione meritano le onde di Rossby 
per il loro impiego nell'affascinante mondo dell'astronomia, le onde lunghe 
superficiali in acque poco profonde, giacché è stata questa la prima situazione che è 
stata modellata dall'equazione KdV, e le onde interne solitarie che influenzano 
significativamente l'ecosistema sottomarino e che pertanto possono contribuire alla 
comprensione di molti fenomeni sottomarini.  
 6
CAPITOLO 1 
 
 
§ 1.1. Onde solitarie e solitoni 
 
La prima proprietà interessante dell'equazione di Korteweg-deVries, è di avere come 
soluzioni onde permanenti, quali l'onda solitaria, chiamata " great wave of 
translation" da Russell, e l'onda cnoidale, che è una generalizzazione di Korteweg e 
deVries dell'onda sinusoidale. Questi tipi di onde sono stati ottenuti mentre si 
cercavano soluzioni della seguente forma: 
 
  
Sostituendo la (1.1.1) nella (3) ottengo la seguente equazione differenziabile 
ordinaria del terzo ordine in U: 
 
 
dove n è ancora una costante di integrazione. Una integrazione finale è possibile 
mediante il metodo della separazione delle variabili, che mi dà [3]: 
.1)1(1.                                                                                                )ctx(U)t,x(u −=
( )
.4)1(1.                                                                         n         mUcUU2U
:ottenendo , Uad rispetto nuovamente
 integro la e U2per  .3)1(1.  la  moltiplico  Ora  ne.integrazio  di  costante  una  è m dove
.3)1(1.                                                                                        0mcUU3U
:ottengo  U,ad rispetto enteimmediatam laIntegrando
.2)1(1.                                                                                             0UcU6U
232
2
=−−−′
′
=−−−′′
=′+−′′′
 7
 
dove C è la costante di integrazione finale. 
Una classe di soluzioni è costituita dalle onde cnoidali che sono onde uniformi e 
periodiche; più interessanti per il nostro studio sono invece le onde solitarie. 
A causa dell'invarianza galileana dell'equazione di Korteweg-deVries, assumeremo 
che U → 0 quando |x|→∞; allora l'onda solitaria è data dalla seguente relazione [3]: 
quando t = 0. Notiamo che un'onda solitaria si muove da sinistra verso destra ad una 
velocità a² che è proporzionale alla sua ampiezza. La formula empirica per la velocità 
dell'onda solitaria data da Russell è la seguente [3]: 
Tenendo in considerazione il riscalamento delle variabili e la trasformazione 
galileana, troviamo che la velocità effettiva dell'onda solitaria corrisponde ad una 
correzione del primo ordine della velocità dell'onda ⊕g∝ ed è data dalla seguente 
formula [3]: 
 
 
Considero ora due onde solitarie poste sull'asse reale in modo tale che l'onda più alta 
si trovi alla sinistra di quella più bassa : 
 
( ) .5)1(1.                                                               ctxC
nmUcUU2
dU
23∫
−±=+
+++
( )[ ]
 simmetrica ondadell' centro del  posizione la  è    xe arbitrario  parametroun    è  a  dove
.6)1(1.                                                                  taxx ahseca)t,x(u
0
2
02
122
2
1 −−−=
( )
. acquadell' equilibrio di livello del sopra di al ondadell' ampiezzal' è  dove
.7)1(1.                                                                                        gvelocità
max
max
λ
λ
η
η+=
.8)1(1.                                                             /gsolitaria ondadell' velocità max2
1 λη=
 8
 
 
Fig. 1 
 
Ciò mi assicura una interazione tra le due onde; infatti se fosse la più bassa a stare 
alla sinistra della più alta, non si verificherebbe alcuna interazione, ma le due onde si 
separerebbero semplicemente. Considerando questa come una condizione iniziale, il 
mio obbiettivo è di osservare l'evoluzione nel tempo di tali onde solitarie. Dal 
momento che l'onda più alta ha anche una velocità maggiore di quella più bassa, dopo 
un certo periodo di tempo l'onda solitaria avente ampiezza maggiore raggiungerà 
quella con ampiezza minore ed entrambe subiranno una interazione non lineare 
secondo l'equazione di Korteweg-deVries. Il risultato sorprendente è che le due onde 
emergono dall'interazione mantenendo completamente la loro forma e la loro 
velocità: l'unico effetto dell'interazione è uno spostamento della loro posizione 
rispetto al punto in cui si sarebbero dovute trovare in assenza di interazione: 
 
Fig. 2 
 
 9
Questa peculiarità delle onde solitarie non fu notata da Russell; i primi ad osservare 
tale fenomeno furono infatti Zabusky e Kruskal nel loro studio del problema di 
Fermi-Pasta-Ulam. Data la similarità del comportamento di tali soluzioni con quello 
delle particelle nei fenomeni di scattering, Zabusky e Kruskal attribuirono a tali onde 
speciali il nome di solitoni. D'ora in poi attribuiremo l'appellativo di solitone ad ogni 
onda localizzata non lineare che interagisce con un'altra arbitraria perturbazione 
locale recuperando asintoticamente la sua forma e la sua velocità iniziale ed 
eventualmente subendo uno spostamento di fase, unico effetto dell'avvenuta 
interazione; invece chiameremo onde solitarie, quelle onde sempre espresse dalla 
(1.1.6), ma che non interagiscono elasticamente tra loro. 
In generale, le condizioni iniziali per l'equazione di Korteweg-deVries, sono date da 
una parte solitonica che si muove da sinistra verso destra e da una parte oscillatoria 
dispersiva che si muove da destra verso sinistra: 
 
 
 
Fig. 3 
 
A causa della dipendenza della velocità dei solitoni dalla loro ampiezza, dopo un 
certo periodo di tempo avremo una successione (ordinata) di solitoni che si muovono 
da sinistra verso destra, con le ampiezze di ciascun solitone che aumentano 
costantemente andando da sinistra a destra; queste soluzioni che coinvolgono 
solamente solitoni, prendono il nome di soluzioni solitoniche pure.  
§ 1.2. Leggi di conservazione ed integrali del moto 
 10 
 
Un'altra proprietà di particolare interesse dell'equazione di Korteweg-deVries, è 
l'esistenza di un numero infinito di leggi di conservazione. Per legge di conservazione 
associata ad una equazione si intende una equazione della forma [4]: 
 
dove T, che è la densità conservata, ed X, che è il flusso di T, sono funzioni di x, di t, 
di u e delle derivate di u rispetto ad x.  
Se T è una funzione locale di u, cioè se il valore di T in un punto x dipende solamente 
dai valori di u in un intorno arbitrariamente piccolo di x, allora T è una densità 
conservata locale; se anche X è locale, allora la (1.2.1) è una legge di conservazione 
locale. In particolare, se T è un polinomio in u e nelle derivate di u rispetto ad x e non 
dipende esplicitamente da x o da t, allora T è detta una densità polinomiale 
conservata; se anche X è un tale polinomio, allora la (1.2.1) è detta una legge di 
conservazione polinomiale. Sarà questo il caso che tratteremo per la maggior parte in 
questo paragrafo. 
Una densità conservata è banale se T è una derivata di x per tutti i valori di u. La 
banalità nasce dal fatto che se T = dF/dx, allora dalla (1.2.1) si ha automaticamente la 
seguente legge di conservazione: 
 
nella quale le derivate rispetto a t nel flusso sono state eliminate dall'uso ripetuto 
dell'equazione di evoluzione. 
C'è una stretta relazione tra le leggi di conservazione e le costanti del moto; per 
esempio , se assumiamo o che u è periodico in x, o che u e le sue derivate rispetto ad 
x vanno a zero abbastanza rapidamente agli estremi di un qualche intervallo, allora 
ogni legge di conservazione polinomiale (1.2.1) ci dà immediatamente una costante 
di tipo conservativo locale: 
 
.1)2(1.                                                                                                         0XT
xt
=+
( ) ( ) .2)2(1.                                                                                                 0FF
xttx
=−+
.3)2(1.                                                                                                            dx TI ∫≡
 11 
 
E' da notare che ciò accade solamente sotto speciali condizioni. Comunque, anche 
senza l'uso delle leggi di conservazione, siamo in grado di ricavare costanti del moto. 
Le prime tre leggi di conservazione polinomiali dell'equazione di KdV sono le 
seguenti [3]: 
 
dove la prima è l'equazione di Korteweg-deVries scritta in forma conservativa, la 
seconda si ottiene moltiplicando l'equazione KdV per 2u e riscrivendo l'equazione 
così ottenuta in forma conservativa, ed infine la terza legge di conservazione si 
ottiene moltiplicando l'equazione KdV per 3u² − uxx ed effettuando opportune 
manipolazioni con le differenziazioni. Queste densità conservate possono essere 
interpretate rispettivamente come la massa, il momento e l' energia meccanica del 
sistema fisico descritto. Solamente queste prime tre leggi di conservazione si prestano 
ad una interpretazione fisica. Le prime quattro leggi di conservazione polinomiali 
furono trovate in rapida successione, tanto che i ricercatori cominciarono a pensare 
che ne esistessero infinite; tuttavia nell'estate del 1966 gli studiosi ritenevano che ne 
esistessero solamente nove, essendo questo il numero esatto di leggi di conservazione 
polinomiali fino a quel momento conosciuto; ma durante un soggiorno vicino a 
( )
( ) ( )
( ) ( ) .6)2(1.                                   0uuuuu6uu3uuu
.5)2(1.                                                                         0uuu2u4u
.4)2(1.                                                                                         0uu3u
x
2
xx2
1
xxxx
2
xxx
24
2
9
t
2
x2
13
x
2
xxx
3
t
2
xxx
2
t
=−+−+−++
=−+−+
=+−+
( )∑
=
+≡
∂
∂
≡
λ
λ
λΚ
0j
j2
1
j
jj
j
j
aa
1
a
0
aj1r
: x ad rispetto zionidifferenza
 delle numero  del  metà  della  e  u  fattori  dei  numero  del  somma  la  come   r,  rango
un  definirono  , termini talidi ciascunoPer   negativi.non  interi sono  a  e  
x
u
u dove
uuu 10
 12 
Peterboro, Ontario, Canada, Miura derivò la decima legge di conservazione 
polinomiale, e di lì a poco, Donald Stevens ideò un programma per computer grazie 
al quale calcolò l'undicesima densità polinomiale conservata, consistente di 
quarantacinque termini. Miura, Gardner e Zabusky nel loro articolo "Korteweg-
deVries equation and generalizations. II. Existence of conservation laws and 
constants of motion", pubblicato nel 1968 [4], definirono per una legge di 
conservazione polinomiale, X e T come una somma finita di termini della seguente 
forma : 
 
e dimostrarono che per ogni valore positivo del rango r, esisteva una legge di 
conservazione polinomiale con densità conservata non banale. Kruskal, Miura, 
Gardner e Zabusky nel loro articolo "Korteweg-deVries equation and generalizations. 
V. Uniqueness and nonexistence of polynomial conservation laws", pubblicato nel 
1970 [5], dimostrarono che le leggi di conservazione derivate nell'articolo sopra 
citato, erano le uniche in forma polinomiale ed inoltre svilupparono un algoritmo per 
ottenere le formule esplicite di esse.  
Enunciamo ora il seguente teorema (per la cui dimostrazione si fa riferimento a [3]): 
 
Notiamo che a causa dell'operatore addizionale che si trova nella (1.2.7), il teorema 
non è invertibile. La trasformazione (1.2.7) prende il nome di trasformazione di 
Miura; essa è analoga alla trasformazione di Hopf-Cole per l'equazione di Burgers, 
salvo che nel presente caso si passa da un'equazione non lineare ad un'altra, anch'essa 
non lineare. Tale trasformazione è il punto di partenza nel metodo dello Scattering 
Inverso per ottenere soluzioni esatte dell'equazione KdV ed inoltre è la chiave nella 
    . 0uuu6u  KdV di equazione'dell soluzione una è
)7.2(1.                                                                                                         vvu
: allora , 0vvv6  vKdV di modificata equazione'dell soluzione una è  vSe
xxxxt
x
2
xxxx
2
t
=+−
+=
=+−
 13 
dimostrazione di Gardner per provare l'esistenza di infinite leggi di conservazione 
polinomiali associate a tale equazione. Allo scopo di dare tale dimostrazione, 
generalizziamo la (1.2.7) mediante l'introduzione della seguente trasformazione di 
variabile: 
 
dove la specifica dipendenza dal parametro formale ε è stata scelta per ottenere i 
risultati desiderati. Inserendo le (1.2.8) nella seguente relazione: 
 
Nella (1.2.9) abbiamo trascurato tutti i numeri primi e si nota che la trasformazione 
galileana lascia inalterata l'equazione KdV. In virtù delle (1.2.8), la (1.2.7) diventa: 
che è la generalizzazione di Gardner della (1.2.7). 
Per risolvere la (1.2.9) ricorsivamente, w può essere espresso come una formale serie 
di potenze in ε con i coefficienti che sono funzioni di u e delle sue derivate rispetto ad 
x: 
 
ε
+′′ε≡
ε
+′′′≡
ε
+≡′≡′
2
1
)t,x( w)t,x(v
)8.2.1(                                                                                        
4
1
)t,x(u)t,x(u
t
2
3
xx          ,t  t
2
2
( )
:ottengo
vvv6v
x
v2uuu6u0
xxxx
2
txxxxt
+−





∂
∂
+=+−=
)10.2(1.                                                                                         w wwu 22
x
ε+ε+=
( ) )11.2(1.                        uuu uw ww);t,x(w
xx
22
x2
2
10
ΚΚ +−ε−ε−=+ε+ε+=ε
( )[ ] [ ]
.iw  ed  w     ,  dove
)9.2.1(                               wwwww6w w2
x
10
i
ii
i
ii2
1
xxxx
22
t
2
∑∑ ∂≡∂≡+≡
≡+ε+−





ε+
∂
∂
ε+=
NMNMR
SR
 14 
 
In virtù della (1.2.11), la (1.2.9) può essere riscritta nella seguente forma: 
 
 
dove la quantità tra parentesi quadra si può scrivere come una formale serie di 
potenze in ε. Risolvendo la (1.2.12) ricorsivamente, per ogni potenza di ε ottengo: 
 
che prende il nome di equazione di Gardner. 
Dalla (1.2.12) e dalla (1.2.13) segue che i coefficienti di ogni potenza di ε sono leggi 
di conservazione per l'equazione KdV, e siccome tali potenze di ε sono un numero 
infinito, si evince che sono infinite anche le leggi di conservazione associate a tale 
equazione. E' da notare che i coefficienti delle potenze pari di ε sono leggi di 
conservazione non banali, mentre i coefficienti delle potenze dispari di ε sono leggi 
di conservazioni banali.  
Generalizzando il discorso, considero la seguente classe di equazioni: 
( ) [ ] )2.12(1.                                                                                               w 10 SMε+=
( ) )3.12(1.                                                            0ww2w3ww
xxx
322
t
=+ε−−+=S
.14)2(1.                                                                                         0
x
u
x
u
u
t
u
r
r
p =
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
 15 
per la quale sono stati ottenuti i seguenti risultati nell'ambito delle leggi di 
conservazione [6]: 
(a) Se r è pari, allora esiste una sola legge di conservazione polinomiale, che è 
l'equazione stessa scritta in forma conservativa; 
(b) Se r è dispari, detto r = 2q+1  con q = 0, 1, … , allora ∀ p ≥ 0 esistono sempre 
almeno tre leggi di conservazione, nelle quali le densità conservate sono date 
dalle seguenti: 
 Quando p = 1 e q = 1, otteniamo l'equazione di Korteweg-deVries , che abbiamo 
discusso in precedenza. 
Quando p = 2 e q = 1, otteniamo l'equazione modificata di Korteweg-deVries, che 
in virtù delle relazioni (1.2.7) e (1.2.10), possiede anch'essa infinite leggi di 
2
xx2
12
x
26
4
2
x
4
3
2
2
1
vv v5vT
vvT
.16)2(1.                                                                                                        vT
                                                                                                      vT
++=
+=
=
=
( ) ( )( )
Κ 1, 0,n , 
x
u
T conservate densità
con  oneconservazi di leggi infinite avrà  dunque  e  lineare  è  equazionel' 0,  pPer 
one.conservazi di leggi infinite ha  vdi aledifferenzi funzione qualsiasi una
eparticolarin  one;conservazi di leggi infinite sempre ha che ,0vv vequazione
seguente la ottenereper   1u v variabilenuova una definire dobbiamo 0  qPer 
x
u
2p1p1uT
)15.2(1.                                                                                                        uT
uT
2
n
n
xt
p
2
q
q
q
2
12p
3
2
2
1
=





∂
∂
=
=
=+
+==






∂
∂
++−+=
=
=
+