Effetti dell’azione sismica sui serbatoi cilindrici

Effetti dell’azione sismica sui serbatoi cilindrici 1. Introduzione 
 
1. INTRODUZIONE 
  
 La progettazione sismica di serbatoi contenenti liquidi si deve basare sulla 
conoscenza delle forze idrodinamiche che il fluido esercita sulla parete. 
Una valutazione accurata di queste forze richiede una corretta modellazione e analisi 
dinamica del sistema liquido-serbatoio, che rappresenta un problema di difficile 
soluzione; tuttavia la possibilità di utilizzare modelli meccanici ha portato una 
considerevole semplificazione. 
I modelli meccanici convertono il sistema liquido-serbatoio in un sistema equivalente 
composto da masse e molle. 
Utilizzando questo tipo di approccio, nell’analisi vengono impiegati numerosi altri 
parametri, quali: 
− la distribuzione delle pressioni sulla parete del serbatoio dovuta all’eccitazione 
sismica; 
− il periodo di oscillazione del serbatoio;  
− gli effetti dell’interazione fra suolo e struttura;  
− l’altezza massima dell’onda di slosh. 
Un modello meccanico essenzialmente sostituisce il sistema liquido-serbatoio con uno 
massa-molla, che semplifica notevolmente la valutazione delle forze idrodinamiche. 
In questi modelli la massa di fluido che si muove all’interno del serbatoio viene distinta 
in due componenti: una che si muove all’unisono con il serbatoio (componente 
impulsiva), l’altra che segue il moto di slosh (componente convettiva). 
 
I modelli meccanici sono stati sviluppati inizialmente per serbatoi rigidi; Housner 
(1963) fu il primo a proporre un modello per schematizzare il comportamento di 
serbatoi rigidi circolari e rettangolari. 
Nel 1978 Wozniak e Mitchell hanno generalizzato il modello di Housner ai serbatoi 
snelli . 
Successivamente Haroun e Housner nel 1981 e Veletsos nel 1984 hanno sviluppato 
modelli per i serbatoi flessibili. 
Una semplificazione al modello di serbatoio flessibile di Veletsos è infine stata proposta 
nel 2000  da Malhotra. 
 
 
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Effetti dell’azione sismica sui serbatoi cilindrici 1. Introduzione 
 
Le normative hanno in genere ripreso i modelli meccanici sviluppati per tradurli in 
indicazioni per l’analisi sismica dei serbatoi. 
Le norme statunitensi, fra cui la API 650, utilizzano il modello di Housner del 1963 con 
le modifiche apportate da Wozniak e Mitchell nel 1978. 
Le NZSEE guidelines (Nuova Zelanda) utilizzano per i serbatoi flessibili il modello di 
Housner del 1981. 
L’Eurocodice 8 indica il modello meccanico di Veletsos e Yang del 1977 come 
procedura accettabile per l’analisi di serbatoi rigidi circolari. 
Per quanto riguarda invece i serbatoi flessibili, sono presentati i modelli di Veletsos 
(1984), Haroun e Housner (1981), insieme alla procedura di Malhotra (2000). 
 
 
2
Effetti dell’azione sismica sui serbatoi cilindrici      2.Approcci teorici consolidati   
2. APPROCCI TEORICI CONSOLIDATI 
 
2.1 Procedura di Veletsos per serbatoi rigidi 
 
2.1.1.  Sistema considerato
  
 Quando la base di un serbatoio contenente liquido è soggetta ad un terremoto, le 
pressioni esercitate dal liquido sul serbatoio cambiano in intensità e distribuzione 
rispetto a quelle corrispondenti ad uno stato di equilibrio statico. 
 
Figura 2.1 - Sistema liquido-serbatoio oggetto di studio  
 
Gli incrementi risultanti nella pressione del liquido, noti come pressioni idrodinamiche, 
sono funzioni del tempo ed inducono sul comportamento del serbatoio effetti 
significativi. 
 
Per serbatoi soggetti ad azioni orizzontali, con superficie del liquido libera, una 
porzione del liquido lungo le pareti e il fondo si muove all’unisono con il serbatoio 
come una massa rigidamente attaccata, mentre la parte rimanente si muove in modo 
indipendente, dando vita ad oscillazioni di sloshing intorno ad un asse orizzontale 
ortogonale alla direzione del terremoto. 
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Effetti dell’azione sismica sui serbatoi cilindrici      2.Approcci teorici consolidati   
La parte del liquido che si muove insieme alle pareti del serbatoio è nota come massa 
impulsiva e sarà indicata con il simbolo m
i
, mentre la parte soggetta a moti di sloshing è 
nota come massa convettiva, m
c
.
 
 
 Pressione idrodinamica 
 
- Ipotesi del modello: 
 
L’analisi del sistema serbatoio-liquido richiede considerazioni sui movimenti sia 
della struttura che del liquido contenuto. Tipicamente si assume che il liquido sia 
incomprimibile, non viscoso, e il suo flusso sia irrotazionale e che tutti i movimenti 
della struttura e del liquido rimangano all’interno del campo di risposta elastico lineare. 
In particolare si assume che non ci sia separazione tra il liquido e il serbatoio. Il moto 
del liquido sotto queste ipotesi deve soddisfare l’equazione di Laplace soggetta alle 
appropriate condizioni al contorno lungo le pareti del serbatoio, la base  e la  superficie 
libera del liquido.  
Generalmente si esprime la soluzione dell’equazione di Laplace come la somma di due 
componenti denominate “impulsiva” e “convettiva”. La componente impulsiva della 
soluzione soddisfa le reali condizioni al contorno lungo il fondo e la parete del serbatoio 
e la condizione di pressione idrodinamica nulla alla quota z = H; essa non tiene conto 
degli effetti delle onde di superficie associate all’azione di sloshing del liquido. La 
componente convettiva della soluzione corregge le differenze fra le reali condizioni al 
contorno per z = H e la soluzione considerata nello sviluppo della soluzione impulsiva. 
 
2.1.3. Pressione idrodinamica sulle pareti 
 
Seguendo l’approccio utilizzato nel paragrafo precedente, il valore istantaneo 
della pressione idrodinamica esercitata su un arbitrario punto della parete del serbatoio, 
) , , ( t z p p θ = , è espresso come somma di una componente impulsiva, ) , , (
i i
t z p p θ = , e 
una componente convettiva ) , , (
c c
t z p p θ = , cioè: 
 ) , , ( ) , , ( ) , , (
c i
t z p t z p t z p θ θ θ + = (2.1) 
La componente impulsiva della pressione è data dal prodotto di una funzione di z, una 
funzione di θ e una funzione di t, cioè:        
 θ ρ θ cos ) ( ) ( ) , , (
0 i
R t x z c t z p
l
& & = (2.2) 
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Effetti dell’azione sismica sui serbatoi cilindrici      2.Approcci teorici consolidati   
La componente convettiva è data dalla somma dei prodotti di funzioni del tipo: 
  (2.3) () () [] θ ρ θ cos ) , , (
1
c
R t A z c t z p
l
J
J J ∑
∞
=
=
In queste espressioni, è l’accelerazione del terreno all’istante t, R è il raggio del 
serbatoio, 
) (t x & &
l
ρ è la densità del liquido contenuto, e  sono funzioni 
dimensionali di z che definiscono le distribuzioni assiali o verticali delle componenti 
della pressione,  sono le pseudoaccelerazioni dei j oscillatori SDOF corrispondenti 
a ognuno dei modi di vibrare. 
) (
0
z c ) (z c
J
() t A
J
Le equazioni precedenti dimostrano che sia le componenti di pressione che la risultante 
della pressione idrodinamica sulla parete, , variano in funzione dell’angolo 
i
p θ , come 
mostrato in figura 2.2.  
 
Figura 2.2 - Distribuzione della pressione idrodinamica lungo la circonferenza 
 
Il valore massimo della pressione si raggiunge lungo la direzione di applicazione della 
forzante. 
 
 - Componente impulsiva della pressione 
 
L’equazione (2.2) mostra che la variazione temporale della componente 
impulsiva della pressione è la stessa dell’accelerazione del terreno. Infatti, dato che un 
serbatoio rigido è soggetto agli stessi movimenti del terreno, la componente impulsiva 
 5
Effetti dell’azione sismica sui serbatoi cilindrici      2.Approcci teorici consolidati   
della pressione può essere considerata dovuta alla parte del liquido che vibra con le 
pareti del serbatoio come una massa rigidamente attaccata.  
La quantità e la distribuzione del liquido che partecipa in questo moto può essere 
determinata uguagliando l’intensità delle forze orizzontali indotte dalla massa 
“impulsiva” incognita con quelle dovute alla pressione idrodinamica effettivamente 
agente. Se ) (
0
z μ è il valore delle masse virtuali di liquido per unità di altezza del 
serbatoio, le forze di inerzia associate, ) ( ) (
0
t x z & & μ , sono legate alla pressione p
i
 dalla 
relazione: 
 θ θ θ μ d R t z p t x z cos ) , , ( ) ( ) (
i 0
∫
= & & (2.4) 
Utilizzando l’equazione (2.2), integrando l’espressione risultante e cancellando i termini 
comuni, si ottiene: 
  (2.5) 
l
R z c z ρ π μ
2
0 0
) ( ) ( =
dalla quale segue che la distribuzione di ) (
0
z μ è la stessa di , e che un valore di 
 significa che l’intero volume del liquido per unità di altezza si muove come 
una massa rigida insieme al serbatoio. L’andamento della funzione  è mostrato 
nella figura 2.3 seguente per diversi valori di H/R, dove H rappresenta l’altezza del 
liquido all’interno del serbatoio. 
) (
0
z c
1 ) (
0
= z c
) (
0
z c
 
 
Figura 2.3 - Variazione assiale del coefficiente di pressione  impulsiva c
o
(z) (da [28]) 
 
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La stessa informazione normalizzata rispetto al valore di per z = 0 è rappresentata  
in figura 2.4: 
) (
0
z c
 
Figura 2.4 - Distribuzione  assiale della pressione impulsiva sul muro (da [28]) 
 
È da notare che, indipendentemente dal valore di H/R, il massimo valore di si 
raggiunge alla base e che gli ultimi valori aumentano rapidamente con  H/R, 
avvicinandosi all’unità per serbatoi alti e stretti. Inoltre, più è snello il serbatoio e più 
uniforme è la distribuzione di . 
) (
0
z c
) (
0
z c
Da questo segue che l’intero volume nella parte inferiore di un serbatoio snello si 
muove come una massa rigidamente attaccata. 
Al contrario, in un serbatoio largo, solo una piccola frazione del liquido si comporta in 
questa maniera. 
I valori del coefficiente di pressione alla base, , sono elencati nella tabella 2.1 per 
diversi valori del rapporto H/R e le stesse informazioni sono riportate nel grafico di 
figura 2.5. 
) 0 (
0
c
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Tabella 2.1 - Coefficienti di pressione alla base  momento, massa effettiva di liquido e altezza associate 
per gli effetti impulsivi nei serbatoi rigidi (da [28]) 
 
 
Figura 2.5 – Variazione dei coefficienti di pressione impulsiva c
0
(0) e c’
0
(0) (da [28])  
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Effetti dell’azione sismica sui serbatoi cilindrici      2.Approcci teorici consolidati   
Per serbatoi con rapporti H/R molto piccoli conviene esprimere l’equazione (2.2) in 
termine dell’altezza del liquido contenuto cioè: 
 θ ρ θ cos ) ( ) ( ' ) , , (
0 i
H t x z c t z p
l
& & = (2.6) 
in cui  e sono collegate dalla relazione seguente: ) ( '
0
z c ) (
0
z c
 
H
R
z c z c ) ( ) ( '
0 0
= (2.7) 
I valori di  per z = 0 sono rappresentati dalla linea tratteggiata in figura 2.5. 
Quando H/R tende a zero,  tende a 0.742 e l’equazione (2.5) per 
) ( '
0
z c
) ( '
0
z c 0 = = θ z 
diventa: 
 
l
t x H t p ρ ) ( 742 . 0 ) , 0 , 0 (
i
& & = (2.8) 
 
Questo coincide con l’espressione della pressione idrodinamica esercitata dal liquido 
alla base di un parete rigida verticale sollecitata orizzontalmente. 
 
 
Figura 2.6 - Confronto tra le pressioni idrodinamiche in serbatoi di diverse proporzioni (le pressioni 
indicate rappresentano le componenti impulsive) (da [28]) 
 
 - Componente convettiva della pressione 
 
La funzione A
J
(t) rappresenta il valore istantaneo della pseudoaccelerazioni 
indotto dal terremoto in un oscillatore ad 1 g.d.l. avente la frequenza naturale e lo 
smorzamento del j-esimo modo di slosh. Lo smorzamento per questi modi è tipicamente 
assunto in un intervallo 0.1 1 % dello smorzamento critico e la j-esima frequenza 
naturale è determinata da:  
÷
 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
R
H
R
g
f
j j j
tanh
2
1
λ λ
π
 (2.9) 
nella quale g è l’accelerazione di gravità e 
j
λ ha i valori dati: 
      8112 . 1
1
= λ 3314 . 5
2
= λ 5363 . 8
3
= λ 
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Effetti dell’azione sismica sui serbatoi cilindrici      2.Approcci teorici consolidati   
Dato che la risposta dei sistemi con periodo lungo è tipicamente caratterizzata da 
oscillazioni di periodo lungo, le funzioni di pseudoaccelerazione A
J
(t) e la componente 
convettiva della pressione sulla parete saranno in genere governate da oscillazioni di 
periodo più grande di quelle dell’accelerazione del suolo. 
  
Il valore di picco di A
J
(t) è indicato con A
J 
ed è determinato dallo spettro di risposta 
attraverso una frequenza  e il valore di smorzamento associato 
j
f
j
ζ . 
 
I valori di A
J
(t) associati ai modi convettivi più elevati sono sensibilmente maggiori di 
quelli relativi ai primi tre modi che sono quelli che si prendono di solito in 
considerazione. Tuttavia la massa eccitata nei modi di vibrare superiori al terzo è 
talmente piccola che gli effetti complessivi sulla risultante delle azioni convettive sono 
trascurabili. 
 
 
Tabella 2.2 - Coefficienti di pressione alla base, momento, massa effettiva di liquido e altezza associate 
per gli effetti convettivi nei serbatoi rigidi (da [28]) 
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2.1.4. Tensioni e forze sulla parete del serbatoio 
 
Gli sforzi sulla parete del serbatoio possono essere determinati attraverso una 
analisi statica, utilizzando il massimo valore della pressione idrodinamica determinato. 
Data la distribuzione non uniforme della pressione, un’analisi rigorosa è generalmente 
di complessa realizzazione, in modo particolare per serbatoi con parete di spessore 
variabile. 
Per un’analisi dettagliata si dovrebbe utilizzare la teoria dei gusci (Kumar, 1981); 
tuttavia, per gli scopi progettuali che ci prefiggiamo, non è necessaria una valutazione 
dello stato di sforzo di tutta la parete e possono essere valutati i massimi valori degli 
sforzi assiali, di taglio e radiali. 
Questi sforzi, per una sezione immediatamente al di sopra della base, nei casi in cui i 
serbatoi siano rigidi e con parete di spessore costante, vengono  calcolati 
approssimativamente tramite l’utilizzo della teoria delle travi ordinarie. 
 
Se con 
max
p si indica il massimo valore della pressione sulla parete (idrodinamica + 
idrostatica), si può determinare il valore dello sforzo radiale attraverso la nota formula: 
 
h
R p
max
max ,
=
θ
σ (2.10) 
dove h rappresenta lo spessore della parete del serbatoio.  
Così, se Q
max
 rappresenta il massimo valore del taglio alla base, 
max
τ è determinato da: 
 
Rh
max
S
max
max
Q 1
A
Q
2
π
τ = = (2.11) 
dove A
S
 è l’area della sezione della parete. 
 
Infine, se con M
max
 si indica il massimo valore del momento ribaltante in una sezione 
immediatamente al di sopra della base, il valore dello sforzo assiale nella parete 
max , z
σ si 
ottiene dalla seguente espressione: 
 
h R
R
z 2
max max
max ,
M 1
I
M
π
σ = = (2.12) 
dove I è il momento di inerzia della sezione della parete rispetto ad un asse orizzontale 
passante per il baricentro della parete stessa. 
 
 
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 - Taglio alla base 
 
Il valore istantaneo del taglio alla base, Q(t), si ottiene integrando la componente 
orizzontale della pressione idrodinamica sulla superficie bagnata del serbatoio. 
Esprimendo questa pressione nelle sue componenti impulsiva e convettiva, facendo uso 
delle equazioni (2.2) e (2.3), si ottiene: 
  (2.13) ) ( ) ( Q
J
1
J 0 t
t A m t x m
J
∑
∞
=
+ = & &
con  m
0
 (massa impulsiva) porzione della massa totale del liquido che si muove insieme 
con il serbatoio, m
J
 (massa convettiva) porzione della massa totale del liquido associata 
al j-esimo modo di vibrare convettivo del liquido. 
 
 
 
Figura 2.7 - Componenti impulsive e convettive della massa del liquido (da [28]) 
 
Una volta stabilite le masse impulsiva e convettive si può determinare il massimo valore 
del taglio alla base combinando i valori di picco delle due componenti: 
  
 []
∑
∞
=
+ =
1
2
J J max 0 t
Q
J
A m x m & & (2.14) 
 
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 -  Momento alla base 
 
Una chiara distinzione deve essere fatta fra il momento M(t) indotto su una 
sezione del serbatoio immediatamente al di sopra della base e M’(t) agente sulla 
fondazione. 
Il primo è dovuto alle pressioni esercitate sulla parete del serbatoio e viene utilizzato per 
calcolare il massimo sforzo normale nella parete e per dimensionare i dispositivi di 
ancoraggio. 
L’altro tiene conto del contributo delle pressioni sulla base del serbatoio ed è usato per 
progettare la fondazione.  
Per semplicità si è scelto di considerare solamente il primo modo convettivo; 
naturalmente possono essere fatte  valutazioni più approfondite utilizzando per la 
componente convettiva le considerazioni fatte del paragrafo precedente: 
 
1 1 1 max 0 0 max
M A h m x h m + = & & (2.15) 
dove h
0
 (altezza impulsiva) rappresenta l’altezza alla quale deve essere applicata la 
componente impulsiva del taglio. Allo stesso modo h
1
 (altezza convettiva del primo 
modo) è l’altezza alla quale deve essere applicata la componente convettiva del taglio. 
 
L’incremento del momento dovuto alla pressione esercitata sulla base è dato 
dall’espressione: 
M Δ
 
1 1 1 max 0 0 max
M A h m x h m Δ + Δ = Δ & & (2.16) 
 
Il momento totale sulla fondazione, M’
max
, si ottiene come somma dei precedenti: 
 
 
1 1 1 max 0 0 max
' ' M' A h m x h m + = & & (2.17) 
nella quale: 
   
0 0 0
' h h h Δ + =  e        
1 1 1
' h h h Δ + = 
 
Per serbatoi con H/R piccolo, e  possono superare l’altezza del liquido; ciò 
significa che in questo caso il contributo della pressione sul fondo è preponderante 
rispetto a quello della pressione sulle pareti. 
0
' h
1
' h
 
 
 
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