Edoardo Giona Tesi di Laurea
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Nel Capitolo 4 viene esteso, sulla base dei risultati dei capitoli precedenti, un metodo,
basato sull’uso di Support Vector Machine, precedentemente sviluppato in [1] [2], per la
stima della direzione di arrivo di onde elettromagnetiche a banda stretta, tenendo in conto
il mutuo accoppiamento fra gli elementi e con una particolare attenzione agli effetti del
rumore sull’accuratezza della stima.
Nel Capitolo 5 sono presentati i risultati del numerici ottenuti. Si considera in particolare il
confronto tra le capacità di predizione delle direzioni di arrivo di onde elettromagnetiche
nel caso in cui si tenga conto del mutuo accoppiamento in fase di addestramento o meno,
per una o due onde incidenti in presenza o meno di rumore sui dati.
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CAPITOLO 1
1. RICEZIONE DI ONDE ELETTROMAGNETICHE CON
ANTENNA A DIPOLO FINITO
Nel presente lavoro, si considera la ricezione di onde elettromagnetiche piane mediante
l’uso di schiere lineari uniformi di dipoli. Il primo passo della trattazione è quindi quello di
studiare il comportamento di un singolo dipolo, nel caso in cui riceva un’onda
elettromagnetica piana.
Consideriamo un dipolo di lunghezza l, come rappresentato in Figura 1.1.
Figura 1.1 Antenna a dipolo di lunghezza finita
La densità di corrente sulla superficie del dipolo è approssimativamente data da [7]:
0
() sin
2
l
I zzI k z
§·
§
¨¸
©¹
&&
(1.1)
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dove:
x
0
I è l’ampiezza massima della corrente.
x
2
k
S
O
è il numero d’onda.
x l è la lunghezza del dipolo.
L’ampiezza della corrente ai terminali del dipolo è data da:
0
0
0sin
2
in
z
kl
IIz I I
§·
¨¸
©¹
(1.2)
In condizioni di campo lontano si ha che il campo elettrico prodotto da un dipolo ha solo la
componente lungo ș, la quale è esprimibile come [7]:
0
cos cos cos
22
(, , )
2 in
jkr
kl kl
Ie
Er j
r
T
T
TI K
S
ªº
§·§·
¨¸¨ ¸
«»
©¹©¹
¬¼
(1.3)
dove
P
K
H
è l’impedenza caratteristica del mezzo.
1.1 Impedenza di ingresso
L’impedenza di ingresso di un’antenna è un parametro importante che deve essere noto in
fase di progetto al fine di garantire condizioni di adattamento con la linea di trasmissione
collegata all’antenna.
Per il calcolo dell’impedenza di antenna si fanno le seguenti ipotesi:
x Antenna eccitata da un campo elettrico uniforme
z
g
Ea che agisce in una piccola
regione di lunghezza b centrata in prossimità dei morsetti di ingresso (“gap”).
x Il raggio a del dipolo è piccolo rispetto a Ȝ e a l.
x Poichèbl ,
2
2
b
g gg
b
VEdzEb
³
è la tensione ai morsetti dell’antenna.
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Date le ipotesi precedenti, il campo elettromagnetico può essere determinato sostituendo
alla densità di corrente superficiale J
z
, una densità di corrente lineare I equivalente
localizzata lungo l’asse del dipolo.
Nel calcolo dell’impedenza di ingresso la corrente è una quantità incognita che deve essere
tale che il campo elettrico totale, inteso come somma del campo elettrico “incidente”
prodotto da
g
E e del campo elettrico “indotto” da
z
J sia tale che la sua componente
tangenziale si annulli in prossimità della superficie del dipolo.
Il procedimento che viene seguito per calcolare l’impedenza di ingresso consiste nei
seguenti passi:
1. Si assume una distribuzione di corrente incognita sull’asse del dipolo I(z) tale che
I(z) = 0 se
2
l
z r .
2. Si determina il potenziale vettore prodotto da I(z).
3. Si determina, sulla base del potenziale vettore calcolato al punto 2, il campo
elettrico lungo il dipolo.
4. Si impone la seguente condizione al contorno per la componente del campo
elettrico calcolata al punto 3:
;
22
0 ;
22
g
z
bb
Ezra
E
bl
zra
°
°
®
°
°
¯
(1.4)
e si risolvono le equazioni integrali per calcolare
I z .
5. La tensione applicata ai terminali vale
g g
VEb , pertanto si calcola l’impedenza di
ingresso del dipolo con la relazione
0
g
A
Eb
Z
I
.
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Figura 1.2 Radiazione da un dipolo di lunghezza finita
Il potenziale vettore risulta esprimibile come [8]:
0
2
0
2
,, ' '
4
l
jk R
z
l
e
Axyz Izdz
R
P
S
³
(1.5)
da cui si desume la seguente espressione per la componente tangenziale del campo elettrico
[8]:
0
2 2
0
0
2
00
2
1
''
4
l
jk R
z
l
e
Ek Izd
jz
P
ZH P S
§·
w
¨¸
w
©¹
³
(1.6)
A questo punto occorre imporre le condizioni al contorno, per ottenere l’equazione di
Pocklington [8]:
0
2 2
00
0
0
2
2
''
22
4
0 altrove
l
jk R
g
l
bb
jE z
e
kIzd
zR
ZH P
P
S
§·
w
°
®
¨¸
w
©¹
°
¯
³
(1.7)
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con ra , per cui
2
2
'R azz .
A questo punto si fa tendere b a zero, in modo tale che:
0
lim
gg gg
b
bE V E V zG
o
Ÿ (1.8)
Con questa approssimazione si arriva a definire l’equazione di Hallen [8]:
2
00
0
2
0
0 altrove
g
z
jVzz
kA
z
ZH P G §·
w
®
¨¸
w
©¹¯
(1.9)
Una soluzione dell’equazione, per /2 /2lzl , 0z z e ra , può essere scritta nella
forma:
1020
3040
cos sin 0
cos sin 0
z
CkzCkzz
A
CkzCkzz
®
!
¯
(1.10)
Per la continuità del potenziale in 0z , deve essere
13
CC . Per ricavare
2
C e
4
C , si
deriva l’espressione di A
z
:
0
04 02 00
0
z
g
dA
kC kC j V
dz
ZH P
(1.11)
Poiché l’antenna è simmetrica rispetto a 0z deve essere
24
CC , pertanto si arriva alla
seguente espressione per la componente tangenziale del potenziale vettore [8]:
00 0
sin cos
2
zg
j
AVkzCkzP
K
(1.12)
Sostituendo nella (1.5), si ottiene:
0
2
00
0
2
1
'' sin cos
42
l
jk R
g
l
ejC
I zdz V kz kz
RSKP
³
(1.13)
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L’equazione (1.13) può essere risolta in modo accurato con il metodo dei momenti [8]. In
alternativa, con la condizione (1.1), si può determinare una forma chiusa approssimata per
l’espressione dell’impedenza di ingresso [7]:
AA A
Z RjX (1.14)
dove [7]:
>@
2
1
ln( ) sin( ) (2 ) 2 ( )
2
2sin
2
1
cos( ) ln (2 ) 2 ( )
22
A
R Ckl klSiklSikl
kl
kl
kl C Ci kl Ci kl
K
S
®
§·
¯
¨¸
©¹
½
ªº
§·
¾
¨¸
«»
©¹
¬¼
¿
(1.15)
>@^
2
2
2()cos()2() (2)
4sin
2
2
sin( ) 2 ( ) (2 )
A
X Si kl kl Si kl Si kl
kl
ka
kl Ci kl Ci kl Ci
l
K
S
§·
¨¸
©¹
½
ªº
§·
°
¾«»
¨¸
©¹°
¬¼
¿
(1.16)
con:
x 0.5772C (costante di Eulero)
x
cos
()
x
y
Ci x dy
y
f
³
x
0
sin
()
x
y
Si x dy
y
³
In Figura 1.3 è rappresentata l’impedenza di ingresso di un dipolo di lunghezza
2
O
: i valori
di e
AA
R X sono calcolati nel caso in cui
2
10al
. Inoltre il calcolo delle funzioni eSi Ci
è ottenuto numericamente con discretizzazione dell’integrale a passo
6
10y
' .
Nella Tabella 1.1 sono riportati i valori dell’impedenza di ingresso di un dipolo per alcuni
valori di l particolarmente significativi e che verranno utilizzati successivamente nella
trattazione. Tali dati simulati sono coerenti con quelli presenti in letteratura [7] [8].
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-200
0
200
400
600
800
1000
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
I
m
p
e
d
e
n
z
a
d
i
i
n
g
r
e
s
s
o
[
O
h
m
]
Lunghezza del dipolo (in lunghezze d onda)
R
a
X
a
Figura 1.3 Impedenza di ingresso di un dipolo di lunghezza finita
Lunghezza del dipolo (in lunghezze
d’onda)
Valore di Z
A
1 ( 0.01)ll 1388 6450j
0.1l
34.3 - 219.9j
0.3l
16.7 - 132.8j
0.5l
73.2 42.5j
Tabella 1.1 Impedenza di ingresso calcolata numericamente
1.2 Ricezione di onde piane
Si supponga ora che k
&
sia il vettore di propagazione di un’onda piana uniforme incidente
sul dipolo di lunghezza finita e sia U
)&
il versore di polarizzazione del campo elettrico.
Il vettore di campo elettrico incidente si può esprimere quindi come [7] [8]:
cos
00
22
()
jk z jkz
E z Ee Ee
TI T
TI
UT UI
U
UU
˜
§·
¨¸
©¹
&
& &
)& )&
(1.17)
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Figura 1.4 Onda piana uniforme incidente su un dipolo di lunghezza finita
Con le ipotesi fissate in precedenza, in particolare avendo assunto che il dipolo sia sottile
(a << l ), il campo incidente, in prossimità del dipolo, risulta indipendente da I .
La tensione ai capi dell’antenna, indotta dal campo elettromagnetico incidente è data da:
2
2
1
'
l
OC
l
in
VEIdz
I
˜
³
)& &
(1.18)
dove
in
I è data nella (1.2), E
)&
è dato dalla (1.17) mentre I
&
è dato dalla (1.1), pertanto,
assumendo 0
I
U :
,
2
'cos
00
sin
2
0
'cos
00
2
2
'cos
0
0
1
sin ' '
2
sin
sin ' '
2
sin ' '
2
cos
sin
2
l
jkz
OC
l
in
jkz
l
IN
l
jkz
l
VEIkzezd
I
EI l
kze dz
I
l
kze dz
kl
E
kl
T
T
T
T
U
T
O
S
§·
§
˜
¨¸
©¹
§·
§
¨¸
©¹
§·
§
¨¸
©¹
§·
¨¸
©¹
³
³
³
)& &
cos
cos
22
.
sin
klT
T
ªº
«»
¬¼
(1.19)
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CAPITOLO 2
2. RICEZIONE DI ONDE ELETTROMAGNETICHE CON
SCHIERE LINEARI DI DIPOLI
Consideriamo una schiera di dipoli di lunghezza finita (Figura 2.1).
l
d
x
z
y
P = (x,y,z)
'T
I
I
&
'T
))&
r
&
Figura 2.1 Schiera lineare uniforme di dipoli
L’antenna a schiera è composta da N dipoli di lunghezza l equidistanziati fra di loro di una
lunghezza d.
Nel Paragrafo 1.1, si è ricavata l’impedenza di ingresso di un’antenna a dipolo di
lunghezza finita; quando i dipoli sono collocati in prossimità uno dell’altro, la
distribuzione di corrente su ciascuno di questi dipende dal campo irradiato da tutti gli altri.
L’impedenza mutua è calcolata con un procedimento analogo a quello usato per la
determinazione dell’impedenza di ingresso del singolo dipolo:
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