2
Gi� agli inizi dello scorso decennio i contributi di alcuni studiosi indicarono la
possibilit� di progettare strutture innovative, interruttori, partitori e filtri, in grado di
lavorare direttamente sul segnale luminoso, per realizzare reti interamente ottiche ad
alte prestazioni. Il punto di partenza era per tutti l�applicazione del concetto di banda
fotonica proibita.
Il dispositivo a banda fotonica proibita (photonic bandgap, PBG) � una struttura
fisica con elevate caratteristiche di regolarit� spaziale, spesso realizzata secondo strati di
dielettrico che si alternano lungo una direzione ben precisa, la cui regolarit� impone al
segnale che la attraversa, ottico nel nostro caso, di subire riflessioni e trasmissioni tali
da ricomporsi in modo distruttivo o costruttivo a seconda della frequenza considerata. Il
riferimento al segnale ottico non � casuale: la teoria che soggiace al modello PBG �
infatti mutuata dall�elettronica quantistica applicata alla diffrazione e ai processi di
scattering degli elettroni nei dispositivi a stato solido. La possibilit� offerta dalle
equazioni fondamentali di Maxwell di descrivere fenomeni a meno di fattori di scala nel
dominio spazio-frequenza ha permesso di passare per analogia dalla descrizione
elettronica a quella fotonica. Anche nei PBG allora si parla di bande ammesse o
proibite: i fotoni responsabili della conduzione di segnale possono interagire o meno
con la struttura e determinare un diagramma a bande come nel caso elettronico.
Attraverso lo sfruttamento di queste bande localizzate in regioni di frequenza ben
precisa, � possibile costruire dei veri e propri canali di trasmissione.
� inoltre possibile estendere il principio di regolarit� della struttura alle tre
dimensioni dello spazio, ottenendo un dispositivo la cui maschera in frequenza opera
selettivamente su direzioni stabilite dall�orientazione della struttura stessa: si ha cio� un
partitore di segnale ottico, con geometrie differenti in funzione della realizzazione del
reticolo periodico.
Il carattere innovativo delle strutture PBG ha dapprima incontrato difficolt� di
tipo realizzativo, determinate dalle dimensioni micrometriche delle strutture: �
illuminante il lavoro di Yablonovitch del 1991, in cui la realizzazione di una struttura a
reticolo spaziale regolare � avvenuta su dimensioni millimetriche, e quindi per
frequenze alle microonde, laddove la realizzazione micrometrica avrebbe richiesto
3
tecnologie non ancora mature. Dieci anni dopo la tecnologia permette di realizzare
reticoli dielettrici tridimensionali estremamente regolari, secondo modalit� dette
autoassemblanti, in cui cio� attorno a nuclei gi� realizzati si favorisce la crescita di
cristalli sintetici che presentano la medesima regolarit� spaziale. La sfida quindi si
sposta sul terreno della regolazione esterna della struttura.
� possibile, cio�, fornire il dispositivo PBG di caratteristiche di tuning pilotabili
dall�esterno?
La risposta al quesito � proprio l�argomento della presente tesi: l�applicazione
dei cristalli liquidi alla realizzazione di strutture PBG capaci di regolazione mediante
pilotaggio esterno dell�orientazione dei cristalli stessi.
La tesi si articola nel seguente modo.
Il primo capitolo espone alcuni elementi teorici utili ad una esauriente
comprensione del modello fisico-matematico delle strutture PBG: viene mostrato il
metodo di analisi attraverso la matrice di trasferimento (TMM) nel caso mono-, bi- e
tridimensionale. Il secondo capitolo approfondisce il concetto di banda fotonica proibita
con maggiore attenzione alle caratteristiche che ne rendono efficiente un suo utilizzo in
ambito ingegneristico: vengono trattate natura, prestazioni, esempi e tecnologie
produttive dei PBG. Il terzo capitolo rappresenta, il carattere innovativo del presente
lavoro: si introduce, nello studio dei dispositivi PBG, l�uso di materiali quali i cristalli
liquidi. Il quarto capitolo mostra, con utili confronti su dati ormai disponibili in
letteratura, le verifiche eseguite sui software preparati in ambiente MATLAB per le
strutture PBG scelte. Il quinto capitolo vede l�applicazione dei cristalli liquidi alle
strutture PBG quali dielettrici a indice di rifrazione variabile dall�esterno, e quindi
pilotabile: dati sperimentali ottenuti mediante simulazioni al calcolatore completano la
sezione. In ultimo le conclusioni a cui il presente lavoro � giunto, evidenziando i punti
di novit� esposti e sottolineando le possibili applicazioni future. In appendice, infine,
oltre ad utili complementi a quanto esposto nei capitoli precedenti, si d� largo spazio
alla descrizione del codice software scritto in ambiente Matlab per simulare una
generica struttura PBG mono-, bi- e tridimensionale. Vengono pertanto riportati i listati
dei programmi, con corredo di opportuni commenti.
4
CAPITOLO 1
Propagazione elettromagnetica in mezzi stratificati
1.1 Introduzione.
Affrontiamo in questo capitolo la presentazione della teoria di base per
l�interpretazione dei fenomeni di trasmissione e riflessione del segnale ottico associati
alle strutture dielettriche stratificate secondo una, due e tre dimensioni spaziali.
Partendo dalla fondamentale teoria dell�elettromagnetismo di J.C.Maxwell e dalle
equazioni che ne prendono il nome [1]:
)()()(
)()()(
)()(
0)(
)()(
)()()(
)()(
rHrrB
rErrD
rjrJ
rB
rrD
rJrDjrH
rBjrE
×=
×=
−=⋅∇
=⋅∇
=⋅∇
+=×∇
−=×∇
µ
ε
ωρ
ρ
ω
ω
(1.1a~1.1g)
si passa alla descrizione delle strutture monodimensionali, bidimensionali e
tridimensionali e all�applicazione delle equazioni gi� scritte nel caso di regolarit�
spaziale. Viene messo in evidenza l�approccio della matrice di trasferimento, Transfer
Matrix Method (TMM), nel caso monodimensionale, nel caso bidimensionale e nel caso
tridimensionale.
5
1.2 Elementi di teoria della propagazione in mezzi stratificati.
Il mezzo stratificato periodico pi� semplice da immaginare � quello costituito da
due strati di dielettrico con differente indice di rifrazione n
i
, in modo da presentare un
profilo d�indice sulla direzione predominante z di tipo:
∆<<
<<
=
zdn
dzn
zn
2
1
0,
)( (2.1)
con n(z+∆)=n(z), ad indicare la periodicit� del profilo di ampiezza ∆ [2]. La struttura
assume perci� la rappresentazione riportata in Fig.1.1.
Fig.1.1. Rappresentazione schematica di una struttura periodica stratificata monodimensionale: parametri
geometrici e ampiezze complesse dei campi nel periodo costituito dalla cella elementare
riconoscibile dal pedice n [2].
6
La distribuzione di una generica componente di campo pu� essere scritta nella
forma:
xjk
x
ezEzxE )(),( = (3.1)
Strato per strato, � possibile esprimere la componente di campo come somma di
due contributi, onda piana incidente e onda piana riflessa; i due contributi costituiscono
le componenti di un vettore colonna a termini complessi:
)(
)(
i
n
i
n
b
a
(4.1)
dove n � il pedice relativo al periodo, i il dielettrico.
La componente di campo risulta allora:
xjknzjki
n
nzjki
n
xiziz
eebeazxE )(),(
)()()()( ∆−−∆−
+= , (5.1)
con
,
2
2
xiiz
kn
c
k −
=
ω
i=1,2. (6.1)
I vettori colonna sono dipendenti l�un dall�altro, mediante le condizioni al
contorno, sia per i modi TE che per i modi TM. Per il modo TE si ha (Fig.2.1):
7
).()(
,
),()(
,
1122
1122
22
22
12
2111
11
n
djk
n
djk
zn
djk
n
djk
z
n
djk
n
djk
n
djk
n
djk
n
jk
n
jk
znnz
n
jk
n
jk
nn
beaejkdecejk
beaedece
decejkbajk
deceba
zzzz
zzzz
zz
zz
−=−
+=+
−=−
+=+
−−
−−
∆∆−
−−
∆∆−
−−
(7.1)
Le quattro equazioni in (7.1) sono suscettibili di una rappresentazione matriciale
del tipo:
−
=
−
−
=
−
−
−
−
−
∆∆−
∆∆−
−
−
n
n
djk
z
z
djk
z
z
djkdjk
n
n
djkdjk
djkdjk
n
n
jk
z
z
jk
z
z
jkjk
n
n
b
a
e
k
k
e
k
k
ee
d
c
ee
ee
d
c
e
k
k
e
k
k
ee
b
a
zz
zz
zz
zz
zz
zz
11
11
22
22
22
22
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
11
11
(8.1)
Con opportune manipolazioni algebriche si ottiene:
=
−
−
n
n
n
n
b
a
DC
BA
b
a
1
1
(9.1)
Gli elementi della matrice sono i seguenti:
8
,sin
2
1
cos
,sin
2
1
,sin
2
1
,sin
2
1
cos
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
2
1
1
2
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
++=
−=
−−=
+−=
−
−
δδ
δ
δ
δδ
z
z
z
z
z
z
djk
z
z
z
z
z
djk
z
z
z
z
z
djk
z
z
z
z
z
z
djk
k
k
k
k
k
jkeD
k
k
k
k
k
jeC
k
k
k
k
k
jeB
k
k
k
k
k
jkeA
z
z
z
z
(10.1)
dove δ =∆ -d e i coefficienti (A,B,C,D) sono funzione di k
x
. La matrice in (9.1) � la
matrice di trasferimento della cella elementare, che lega le ampiezze dell�onda incidente
a
n-1
e riflessa b
n-1
sullo strato di una cella unitaria alle ampiezze corrispondenti sullo
strato della cella successiva. Poich� la matrice in questione lega campi su due superfici
equivalenti col medesimo indice di rifrazione n, essa � a determinante unitario:
AD-BC=1 (1.1)
� opportuno osservare che la matrice di trasferimento che lega le ampiezze dei
campi nel secondo mezzo differisce da quella scritta in (9.1).
Entrambe le matrici per� hanno la stessa traccia, che porta utili informazioni
sulla struttura a bande della cella elementare [2].
Per i modi TM, i coefficienti (A,B,C,D) risultano differenti:
9
,sin
2
1
cos
,sin
2
1
,sin
2
1
,sin
2
1
cos
2
1
2
2
1
2
2
2
1
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
1
1
2
2
1
2
1
1
1
1
++=
−=
−−=
+−=
−
−
δδ
δ
δ
δδ
z
z
z
z
z
z
djk
TM
z
z
z
z
z
djk
TM
z
z
z
z
z
djk
TM
z
z
z
z
z
z
djk
TM
k
k
k
n
n
k
k
n
n
jkeD
k
k
k
n
n
k
k
n
n
jeC
k
k
k
n
n
k
k
n
n
jeB
k
k
k
n
n
k
k
n
n
jkeA
z
z
z
z
(12.1)
Ricordiamo che tra i possibili vettori colonna associabili alla struttura periodica,
solo uno di essi risulta indipendente dagli altri. � pertanto possibile fissare, ad esempio,
il vettore colonna delle ampiezze dello strato con indice n
1
della cella elementare con
pedice 0. Ogni altro vettore di pedice n � esprimibile mediante la seguente:
−
−
=
0
0
b
a
AC
BD
b
a
n
n
n
(13.1)
Resta implicita la possibilit� di esprimere anche i vettori delle ampiezze nel
mezzo con indice n
2
.
Possiamo adesso affrontare la periodicit� della struttura applicando il teorema di
Floquet-Bloch, riportato in Appendice 1.
Un�onda che si propaga in un mezzo periodico � descritta dall�espressione della
forma:
xjkjKz
KK
x
eezEzxE )(),( = (14.1)
10
dove E
K
(z) � periodico, di periodo ∆ . Il pedice K indica che la funzione E
K
(z) dipende
anche da K, che prende il nome di numero d�onda di Bloch. La soluzione del problema
della propagazione in un mezzo periodico si traduce nella ricerca di E
K
(z) e K.
Mediante la (5.1) e la condizione di periodicit� della struttura, si pu� affermare
che sussiste la seguente relazione:
=
∆−
n
n
jK
n
n
b
a
e
b
a
DC
BA
(15.1)
Il fattore di fase e
-jK∆
� l�autovalore della matrice di trasferimento ABCD e
risulta pertanto [2]:
() ()1
2
1
2
1
2
−
+±+=
∆−
DADAe
jK
(16.1)
Gli autovettori corrispondenti agli autovalori ottenuti mediante la (16.1) sono:
−
=
∆−
Ae
B
b
a
jK
0
0
(17.1)
a meno di fattori moltiplicativi. Si pu� pertanto affermare che le onde di Bloch valutate
attraverso la (17.1) sono gli autovettori della matrice di trasferimento con autovalori
e
-jK∆
forniti dalla (16.1).
I due autovalori cos� calcolati sono reciproci, dovendo sussistere la (11.1). La
(16.1) fornisce inoltre la relazione di dispersione tra ω , k
x
e K per la funzione d�onda di
Bloch:
11
()
+
∆
=
−
DAkK
x
2
1
cos
1
),(
1
ω (18.1)
Le pulsazioni per cui |�(A+D)|<1 corrispondono a K reali e perci� a onde di
Bloch propagative, mentre le pulsazioni per cui |�(A+D)|>1 corrispondono a K dotati di
parte immaginaria, a onde di Bloch evanescenti. Sono proprio queste ultime regioni le
cosiddette bande proibite del mezzo periodico [2].
Si pu� allora scrivere la funzione d�onda di Bloch in modo generico per il mezzo
ad indice n
1
nella cella elementare n-sima:
() ()
( )
()
[ ]
jKznzjKnzjknzjkjKz
K
eeebeaezE
zz
∆−−∆−−∆−
+=
11
00
)( (19.1)
con a
0
e b
0
forniti dalla (17.1).
Nelle Fig.2.1 e 3.1 sono riportate le strutture a bande per un generico mezzo
periodico stratificato, sia per il modo TE che per il modo TM. Da notare come nel modo
TM, in virt� della condizione di Brewster sull�angolo ϑ
B
, l�ampiezza della banda
proibita si riduca a zero.
12
Fig.2.1. Struttura a bande per il modo TE. Il grafico evidenzia le curve di dispersione ottenute secondo la
(18.1). Le regioni colorate sono le bande ammesse [2].
Fig.3.1. Struttura a bande per il modo TM. Il grafico evidenzia le curve di dispersione ottenute secondo la
(18.1). Le regioni colorate sono le bande ammesse. La linea tratteggiata segna la condizione di
Brewster [2].
13
Si consideri adesso la struttura rappresentata in Fig.4.1.
Fig.4.1. Struttura periodica finita con mezzo dielettrico iniziale e finale uguali. I termini a
0
b
0
a
N
rappresentano nell�ordine l�ampiezza dell�onda incidente, riflessa alla prima interfaccia,
trasmessa dall�ultima interfaccia [2].
Essa consiste di N celle elementari costituite da strati di dielettrico alternati in
modo da presentare lo stesso dielettrico all�inizio e alla fine della catena [2].
Definiamo il coefficiente di riflessione
0
0
0
=
=
N
b
n
a
b
r (20.1)
Sussiste attraverso la (13.1) la seguente relazione:
=
N
N
N
b
a
DC
BA
b
a
0
0
(21.)
14
� possibile esprimere la potenza N-sima di una matrice unimodale mediante la
seguente formula:
()
()
∆
∆−
−
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆−
−
∆
∆
=
K
KN
K
NK
D
K
NK
C
K
NK
B
K
KN
K
NK
A
DC
BA
N
sin
1sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
1sin
sin
sin
(22.1)
con K dato dalla (18.1) [2].
Il coefficiente di riflessione � ottenuto in maniera immediata dalle (20.1) e
(22.1). Per il nostro scopo � utile definire la riflettanza prendendo il modulo quadro del
coefficiente di riflessione:
2
2
2
2
sin
sin
∆
∆
+
=
NK
K
C
C
r
N
(23.1)
Il termine |C|
2
� esprimibile mediante la riflettanza di una singola cella
elementare, cio� |C|
2
=|r
1
|
2
/(1-|r
1
|
2
). Poich� nella struttura in esame il termine |r
1
|
2
� molto
pi� piccolo di 1, si ha che nella (23.1) il termine dominante l�andamento in funzione di
ω risulta essere il secondo termine a denominatore. Tra due qualsiasi bande proibite ci
sono esattamente N-1 zeri di riflettanza. I massimi relativi cadono al centro delle bande
proibite, per cui ci sono N-2 lobi secondari nello spettro di riflettanza, tutti
nell�inviluppo della curva |C|
2
/(|C|
2
+(sinK∆ )
2
) [2].
Agli estremi delle bande proibite, laddove K∆ =mπ , la riflettanza ha valore
|C|
2
/(|C|
2
+(1/N)
2
), mentre nelle bande proibite, laddove K∆ =mπ +jK
i
∆ , essa diventa
15
2
2
2
2
sinh
sinh
∆
∆
+
=
i
i
N
NK
K
C
C
r (24.1)
per grandi valori di N il secondo termine a denominatore della (24.1) converge a zero in
modo esponenziale. Segue che la riflettanza nelle bande proibite � prossima ad 1.
Una struttura di questo tipo, con un elevato numero di periodi, e quindi con
prestazioni molto interessanti per quanto riguarda la riflettanza, viene anche chiamata
riflettore alla Bragg [2].
Nelle due figure 5.1 e 6.1 � rappresentata la riflettanza in funzione della
pulsazione normalizzata e per diversi valori dell�angolo di incidenza dell�onda, sia per il
modo TE sia per il modo TM. Il numero di periodi di cui � costituita la struttura alla
Bragg � di N=15, disposti secondo l�asse z. Nelle altre due direzioni, la struttura �
indefinita. Anche qui � interessante notare come, in corrispondenza dell�angolo di
incidenza di Brewster nel modo TM, fornito dalla relazione k
x
=(ω /c)n
2
sinφ
B
, non ci sia
onda riflessa. Ci� � dovuto al tendere a zero del termine |C|
2
[2].
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