Dinamica e controllo di satelliti in formazione

  
 
 
 
 
 
 
 
 
Capitolo 1 
 
Introduzione 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.1 Motivazioni 
 
Negli ultimi vent'anni il volo in formazione di satelliti è stato oggetto di una grande quantità di 
ricerche. Questo nuovo, rivoluzionario concetto consiste nel distribuire le funzioni svolte da un 
singolo grande velivolo spaziale su unità multiple, affinché esse possano cooperare per il corretto 
svolgimento della missione. Per tale motivo si parla anche di Distributed Satellite System (DSS).  
 
La necessità di mantenere la geometria desiderata, al fine di soddisfare requisiti scientifici, civili o 
militari, aumenta notevolmente la complessità del problema: si tenga in considerazione, infatti, che 
le maggiori difficoltà si incontrano nella realizzazione di un controllore che garantisca un moto 
relativo fissato entro intervalli di tolleranza limitati per l'errore di posizione. 
L'impiego di un cluster di satelliti, comunque, offre vantaggi molto significativi, che ne rendono 
particolarmente interessante l'utilizzo. Il più rilevante è legato alla possibilità di accrescere la 
risoluzione delle immagini della Terra e di altri corpi celesti attraverso l'impiego di tecniche 
interferometriche (si vedano, a tal proposito, le due applicazioni descritte nel paragrafo 1.2).  
 
Si consideri una qualunque osservazione ground-based. Ad essa sono associate forti limitazioni, 
causate sia da vincoli fisici che dalla presenza dell'atmosfera. Per superarle, la NASA ha realizzato 
l'Hubble Space Telescope, in orbita LEO (Low-Earth Orbit) dal 1990. Esso opera dalla banda del 
visibile a quella dell'infrarosso fornendo, a parità di apertura, una risoluzione dieci volte maggiore 
rispetto a quella di qualsiasi altra strumentazione a Terra. 
Le dimensioni fisiche di un generico payload, tuttavia, sono fortemente limitate dalle possibilità del 
lanciatore: il più grande diametro esterno mai portato in orbita è stato di 4.57 m (Ariane 5).  
L'impiego di strutture dispiegabili, comunque, consente di superare anche tale vincolo. A tal 
proposito esistono due differenti filosofie.  
La prima è ben sintetizzata dal Next Generation Space Telescope, che richiederà un'apertura di 
precisione del suo specchio sottile piano di 8 m di diametro. 
Capitolo 1 - Introduzione 
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La seconda, invece, fa proprio riferimento al concetto di volo in formazione. Per essa sarà 
necessario il dispiegamento di ottiche indipendenti molto più piccole della precedente, nella forma 
di un interferometro: le diverse unità saranno quindi combinate nella realizzazione di una 
piattaforma virtuale. Dal momento che la separazione tra le aperture può essere fatta molto più 
grande delle loro dimensioni, una Space Interferometer Mission consentirà  anche maggiori 
risoluzioni angolari. La più grande rete di osservazione attualmente disponibile, la Very-Long-
Baseline Array (VLBA), è distribuita sulla superficie terrestre.  
 
Nel seguito sono riassunti altri vantaggi associati all'impiego di sistemi distribuiti. 
1. Ridondanza dei componenti critici. È resa possibile dal fatto che i velivoli sono individualmente 
meno costosi, dal momento che ciascuno di essi eredita soltanto parte delle prestazioni di un 
unico grande satellite. 
2. Possibilità di espandere il cluster aggiungendo nuove unità. 
3. Riconfigurazione. La geometria della formazione può essere variata attraverso l'impiego di un 
sistema propulsivo, allo scopo di soddisfare requisiti di missione multipli, soprattutto nei casi in 
cui i vincoli di budget siano abbastanza stringenti.  
A differenza della VLBA, in tal modo si rendono anche disponibili baselines addizionali per     
ogni tipo di misura interferometrica. 
4. Ridondanza intrinseca. La rottura o il malfunzionamento di un satellite in un grande cluster non 
danneggia automaticamente l'intero sistema, dal momento che la missione può continuare con le 
unità rimanenti. La riparazione può avvenire tramite sostituzione del velivolo danneggiato o 
riconfigurazione dell'intera formazione. 
 
In definitiva, al miglioramento delle prestazioni si somma anche un incremento dell'affidabilità e 
dell'adattabilità complessive. 
È inoltre possibile conseguire una riduzione dei pesi e dei costi di lancio. 
 
 
 
1.2 Cenni storici e future missioni 
 
Nel seguito è stata tracciata una breve storia del volo in formazione di satelliti. L'attenzione è 
stata quindi rivolta a due missioni del prossimo futuro, l'Air Force Techsat 21 e la Laser 
Interferometry Space Antenna (LISA). La prima si svolgerà interamente nella sfera di influenza 
della Terra, mentre la seconda sarà operativa nel campo gravitazionale del Sole. 
In tal modo sarà possibile evidenziare qualche possibile applicazione e, nel contempo, cominciare 
ad intuire la reale natura del problema meccanico. 
 
Il concetto di velivoli spaziali orbitanti in close proximity non è nuovo. Si tenga presente, infatti, 
che il primo rendez-vous interorbitale della storia è stato compiuto da Gemini VI, il 15 dicembre del 
1965. Due anni più tardi, il 27 ottobre del 1967, i due satelliti sovietici Cosmos 186 e Cosmos 188 
eseguivano una manovra di docking in maniera completamente automatica, senza, cioè, la presenza 
di alcun uomo a bordo. Dal suo primo volo, lo Shuttle ha inoltre consentito la realizzazione di molti  
rifornimenti e trasferimenti di equipaggio. Nel giugno del 1983, sotto controllo manuale, esso ha 
anche fornito il primo esempio della storia di manovra di formation-keeping. Infatti, per verificare 
l'efficacia del suo braccio robotico (remote manipulator arm), è stata mantenuta una posizione 
relativa costante rispetto al satellite SPAS.  
 
Il 17 maggio del 2001 il volo autonomo in formazione è divenuto finalmente realtà. EO-1 (Earth-
Orbiting-1) si è mosso dietro Landsat7 per 60 secondi, percorrendo una distanza di circa 450 Km 
sulla propria traiettoria [1]. È stata così realizzata una dynamic formation: sebbene per un tempo 
Capitolo 1 - Introduzione 
 3
limitato, i due velivoli hanno proiettato la stessa traccia a Terra in presenza di drag atmosferico 
differenziale (Figura 1.1). 
 
Figura 1.1 - Illustrazione di Landsat7 e EO-1 in orbita. Foto NASA-GSFC 
 
 
Grazie al controllore tecnologicamente avanzato implementato a bordo dell'EO-1, è stato infatti 
possibile calibrare ed eseguire tutte le manovre orbitali necessarie al mantenimento di una 
separazione trasversale costante tra le due unità. Gli algoritmi di guida e controllo sono stati 
sviluppati da Folta e Quinn, due ingegneri aerospaziali del GSFC (Goddard Space Flight Center) di 
Greenbelt ed utilizzano i risultati del problema di Lambert dei due punti al contorno. Tale idea è 
stata poi inserita all'interno di un nuovo software di volo, che prevedeva l'acquisizione in tempo 
reale dei dati di navigazione provenienti dal GPS (Global Positioning System), il calcolo della 
posizione futura e, infine, la valutazione della spinta necessaria. Inoltre, entrambi i satelliti erano 
dotati di strumentazione per la cattura di immagini ad alta risoluzione della Terra, destinate allo 
studio delle evoluzioni climatiche future. 
Tale missione ha dimostrato la realizzabilità pratica del concetto di volo in formazione. 
 
I potenziali benefici che possono derivare dall'uso di un sistema cooperativo di satelliti hanno 
portato alla definizione di molti possibili programmi quali, ad esempio, Techsat 21, Terrestrial 
Planet Finder (TPF), LISA, Leonardo-BRDF. 
 
Lo studio di Techsat 21 [2] è stato iniziato dall'Air Force Research Laboratory (AFRL), con 
l'obiettivo di realizzare una copertura globale della Terra con minime interruzioni. 
A tale scopo sono stati considerati 35 clusters di 8 satelliti ciascuno, distribuiti in 7 piani orbitali ad 
800 Km di quota. Alla sua originale missione di rilevamento di targets in lento movimento, è stato 
aggiunto il requisito di geolocazione, che consentirà una rapida individuazione dei piloti dispersi. 
Al fine sviluppare le tecnologie necessarie, l'AFRL ha programmato un esperimento in volo su una 
formazione costituita da tre unità a prestazioni ridotte. Entro il 2010 è prevista la piena operatività. 
 
LISA [3] è un programma sostenuto congiuntamente dall'ESA e dalla NASA e sarà dedicato 
principalmente allo studio dei Super Massive Black Holes. 
Capitolo 1 - Introduzione 
 4
Tali corpi, la cui massa è compresa tra 10
6
 e 10
10
 volte quella del Sole, incurvano lo spazio-tempo al 
punto da generarne una singolarità: di conseguenza, essi sono separati dal resto dell'universo da un 
orizzonte degli eventi, la cui dimensione è data dal raggio di Schwarzschild R
S.
  La luce stessa, che 
si muove lungo le geodetiche del campo gravitazionale, rimane confinata all'interno del buco nero, 
in una sorta di  “censura cosmica”.  
La rilevazione dei ripples dello spazio-tempo generati dal movimento, dalla collisione e dalla 
fusione di black holes (Figura 1.2) consentirà anche una verifica della Teoria della Relatività 
Generale di Einstein, in virtù della quale gravitoni e fotoni si muovono alla stessa velocità. 
 Figura 1.2 - Warping dello spazio-tempo generato da un buco nero supermassivo  
 
 
Il conseguimento di tali obiettivi passa attraverso una misurazione della variazione delle distanze tra 
i satelliti membri della formazione ed il bilanciamento di tutte le perturbazioni interne ed esterne. 
Nelle loro orbite attorno al Sole, i tre velivoli LISA andranno a disporsi su traiettorie quasi circolari, 
leggermente inclinate rispetto al piano dell'eclittica (Figura 1.3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.3 - LISA 
Capitolo 1 - Introduzione 
 5
Ne risulterà un triangolo equilatero, il cui centro sarà ad 1 AU (Astronomical Unit) dal corpo 
centrale attraente ed i cui lati avranno una lunghezza pari a cinque milioni di chilometri. Inoltre, la 
sua rotazione sarà di aiuto per l'esatta localizzazione delle sorgenti massive. 
 
 
 
1.3  Organizzazione del lavoro 
 
Il lavoro è stato articolato in una fase iniziale di modellizzazione (capitoli 2 e 3), una di 
confronto e verifica dei sistemi dinamici linearizzati (capitolo 4) e, infine, nel progetto di un 
regolatore per la manovra di formation-keeping (capitolo 5). 
Segue una descrizione più dettagliata dei contenuti dei singoli capitoli. 
 
Nel capitolo 2 sono riportati i concetti fondamentali per il volo in formazione di satelliti. A 
partire dalla sua definizione, è stata stabilita una terminologia di riferimento e si sono  
individuate  possibili geometrie di moto relativo. Il problema del controllo orbitale, inoltre, è 
stato suddiviso in formation-keeping e formation-maneuvering e si sono fornite tre diverse 
strategie per la sua impostazione. 
 
Nel capitolo 3 sono presentati alcuni richiami di dinamica orbitale. In ambito non lineare è 
stato introdotto sia il problema Kepleriano che quello perturbato. Successivamente si è 
passati alla modellazione del reale campo gravitazionale terrestre, fornendo anche 
un'interpretazione geometrica dell'armonica zonale di secondo ordine, legata allo 
schiacciamento polare terrestre o flattening. I suoi effetti sono stati quindi confrontati con 
quelli dei principali disturbi presenti su un'orbita bassa. 
Dalla linearizzazione dell'equazione differenziale vettoriale associata al metodo di Encke [4, 
5, 6] sono stati unificati i modelli di Eulero-Hill [9] e Schweighart [18]. Per essi  sono 
riportate dimostrazioni, soluzioni e vincoli da imporre  sullo stato iniziale per ottenere una 
deriva ed un offset tangenziali nulli. 
 
Nel capitolo 4 sono state validate numericamente equazioni di Schweighart [18], 
riproducendo quanto fatto in [18]. Per ogni caso trattato, l'integrazione al passo dell'equazione 
delle perturbazioni ha consentito il calcolo dell'errore nelle tre direzioni del sistema orbitale 
del riferimento. I risultati ottenuti sono stati quindi confrontati con gli analoghi del sistema di 
Hill. Ciò è stato fatto sia per il moto assoluto che per quello relativo del cluster. In 
quest'ultimo caso, inoltre, si è reso necessario uno studio preliminare dello stato iniziale 
relativo che, in ambito non lineare, avesse gli stessi effetti di quello imposto sulle equazioni 
linearizzate. 
 
Nel capitolo 5 è stato affrontato il problema del formation-keeping: una projected circular 
orbit viene mantenuta tramite un linear-quadratic regulator (LQR) con retroazione dell'errore 
sullo stato. Tale procedimento  ricalca quello seguito in [23] da Sparks. Importanti differenze 
sono però costituite dal modello dinamico utilizzato, di Schweighart anziché di Hill, e dal tipo 
di azione propulsiva ipotizzata, continua anziché impulsiva. Inoltre, l'applicazione del 
controllo al sistema linearizzato ha  consentito una stima della legge di spinta e dei consumi 
giornaliero ed annuale. È anche discussa l'integrazione delle equazioni delle perturbazioni a 
catena chiusa, con particolare riguardo alla scelta delle condizioni iniziali. Un secondo 
regolatore è progettato con la tecnica dell'inseguimento della variazione del riferimento. 
   
 
Capitolo 1 - Introduzione 
 6
1.4   Letteratura di riferimento 
 
In questo paragrafo viene brevemente descritta la letteratura attualmente disponibile sui problemi 
di dinamica orbitale e controllo della formazione. Ulteriori indicazioni bibliografiche su geometrie e 
strategie di manovra saranno fornite nel capitolo 2. 
 
1.4.1 Modelli dinamici 
 
Lo studio del moto del cluster può essere eseguito sia con equazioni non lineari che con l'ausilio di 
sistemi linearizzati.  
 
Modelli non lineari 
 
Un'ampia trattazione dei modelli non lineari disponibili, assieme ad una valutazione degli effetti 
dello schiacciamento polare terrestre, è disponibile in [4, 5, 6]. 
Tramite l'imposizione di due vincoli, Schaub ed Alfriend [7] hanno determinato coppie di traiettorie 
invarianti sotto l'azione del flattening: esse sono caratterizzate da identici tassi di variazione dei 
nodi ascendenti e delle latitudini medie. Tuttavia, l'argomento del perigeo e l'anomalia media 
possono ancora divergere: si genera, pertanto, un'espansione o una contrazione del vettore posizione 
relativa, che deve essere contrastata. 
 
Vaddi, Vadali ed Alfriend [8] hanno utilizzato una tecnica di tipo perturbativo per il calcolo di una 
soluzione che tenga conto sia dell'eccentricità del riferimento che dei termini di secondo ordine del 
campo di Terra sferica. 
 
Modelli linearizzati 
 
Le equazioni usate da più tempo nella teoria del rendez-vous sono quelle di Eulero-Hill o       
Clohessy-Wiltshire [9, 10]. 
Yeh e Sparks [11] ne interpretano geometricamente la soluzione, specializzandola alla descrizione 
di alcune traiettorie relative di interesse pratico. In questo stesso lavoro viene formalizzato il 
concetto di legal path, che sarà richiamato nel capitolo 2.  
 
A partire dal semplice modello di Hill, sono stati fatti diversi tentativi per includere sia gli effetti 
dovuti all'eccentricità del riferimento che alla seconda armonica zonale del campo gravitazionale. 
 
Usando le equazioni di Lawden [12] per la descrizione del moto relativo in orbita eccentrica, Melton 
[13]  ha determinato la matrice transizione di stato, approssimando la soluzione con uno sviluppo in 
serie dell'eccentricità troncato al secondo ordine. Le condizioni iniziali per ottenere traiettorie 
relative limitate non sono di immediata valutazione e sono state ricavate da Inhalan e How [14]. 
Tillerson [15], tramite un cambiamento di variabili per i vettori posizione e velocità, ha calcolato la 
soluzione cercata in funzione di un'espressione integrale, utilizzando l'anomalia vera come variabile 
indipendente. 
Lo stato relativo è stato invece espresso esplicitamente in funzione del tempo da Broucke [16], il 
quale ha valutato spostamenti radiali e trasversali derivando il moto del riferimento ellittico rispetto 
ai suoi parametri orbitali. 
 
Qualora al modello di Hill venga aggiunta la seconda armonica zonale del campo gravitazionale 
esso diviene non lineare. 
Capitolo 1 - Introduzione 
 7
Per evitare ciò, Vadali, Vaddi ed Alfriend [17] hanno considerato un valore corretto per il moto 
medio e, congiuntamente, un termine forzante per la dinamica fuori dal piano, calcolato dalla deriva 
differenziale dei nodi ascendenti. 
Una migliore approssimazione è fornita dalle equazioni linearizzate di Schweighart [18].  
 
In [17] sono anche riportate delle espressioni che consentono la stima delle condizioni iniziali da 
imporre al sistema non lineare per ottenere una traiettoria relativa quasi-circolare sul piano 
orizzontale locale.  
 
1.4.2   Controllo 
 
Controllo non lineare 
 
Schaub ed Alfriend [19] hanno sintetizzato un controllore con retroazione degli errori sugli elementi 
orbitali medi. Tramite le equazioni planetarie di Lagrange, viene di volta in volta valutata l'entità 
degli impulsi da applicare. La loro direzione è scelta in modo tale da modificare principalmente una 
coppia di parametri, mentre il loro punto di applicazione massimizza l'efficienza delle manovre. 
Schaub,Vadali, Junkins,  Alfriend [20] e Naasz [21] utilizzano la teoria della stabilità alla Lyapunov 
per il calcolo di un'accelerazione propulsiva di tipo continuo. La retroazione è ancora sugli errori 
degli elementi orbitali medi o, in alternativa, delle coordinate cartesiane.  
 
Controllo lineare 
 
Kong [22] ha affrontato il problema del consumo di propellente associato al mantenimento di varie 
configurazioni. Ciascuna di esse viene fatta corrispondere ad un certo orientamento della Line of 
Sight (LOS). L'autore confronta i costi generati da un controllo tipo steady-state alternativamente 
sui followers o sul leader. L'approccio dinamico inverso è ovviamente possibile soltanto nel caso in 
cui non ci si trovi su un'orbita bassa. 
Sparks [23] ha progettato un regolatore lineare tempo discreto con retroazione dell'errore sullo 
stato. La legge di controllo è stata determinata applicando la formulazione LQ al modello di Hill e 
moltiplicando la matrice di guadagno di Kalman così determinata per lo scarto da compensare. Le 
equazioni planetarie di Lagrange hanno inoltre consentito la massimizzazione dell'efficienza delle 
manovre, permettendo la valutazione degli istanti più opportuni per l'erogazione della spinta in 
ciascuna delle tre direzioni. In tal modo, l'intervallo di campionamento diviene una frazione del 
periodo orbitale. 
 
Vadali, Vaddi ed Alfriend [17] hanno mostrato come a posizioni diverse sulla projected circular 
orbit corrispondano differenti incrementi nei valori dei parametri orbitali, valutati a partire dal 
centro del cluster. Per uniformare il consumo di propellente dei satelliti membri, viene proposta una 
continua modifica della fase iniziale. Il valore ottimale del tasso di variazione è determinato in 
prima approssimazione utilizzando un approccio dinamico inverso ed applicando i risultati ottenuti 
alla minimizzazione di una funzione di costo quadratico. Si è visto che questa subisce una riduzione 
del 33% rispetto al caso di assenza di rotazione.