Difficoltà nell’apprendimento delle abilità logico-matematiche

INTRODUZIONE La seguente tesi si propone di approfondire le difficoltà specifiche che 
possono essere riscontrate in età evolutiva nell’apprendimento in 
ambito logico-matematico. Infatti, nonostante negli ultimi anni siano 
stati fatti molti studi sui disturbi dell’apprendimento, le difficoltà nel 
calcolo e nel problem solving rappresentano un tema ancora poco 
conosciuto dal punto di vista riabilitativo e sul quale esistono ben poche 
trattazioni che ne riportino un quadro completo e organico. 
Si è dunque tentato di fornire un’analisi il più possibile completa 
sull’argomento. A tal fine si è raccolto e rielaborato il materiale presente 
in letteratura, integrandolo, soprattutto per quanto riguarda la 
riabilitazione, con elementi derivanti dall’esperienza personale di 
tirocinio. 
Si è potuto infatti approfondire meglio l’aspetto riabilitativo grazie alla 
possibilità di assistere al trattamento di alcuni casi clinici che 
presentavano difficoltà nell’apprendimento delle abilità logico-
matematiche. 
Inoltre, l’attività di tirocinio effettuata è stata rilevante non solo perché 
ha permesso di comprendere meglio le sfaccettature di un disturbo 
sempre più frequente nell’età evolutiva, ma anche perché ha fornito un 
esempio concreto di possibilità di intervento. 
Ricercare gli strumenti per aiutare i bambini con difficoltà 
nell’apprendere significa affrontare un problema attuale che incide 
negativamente sulla costruzione delle conoscenze ed influisce sullo 
sviluppo della personalità di questi soggetti.  
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1. APPRENDIMENTO DELLA CONOSCENZA 
ARITMETICA Solo negli ultimi anni è aumentato, nella letteratura internazionale, 
l’interesse per questo tema e recentemente sono stati fatti studi 
nell’ambito della neuropsicologia cognitiva per quanto riguarda 
l’apprendimento delle abilità matematiche.
In sintesi, da questi sono emerse due conclusioni: i bambini in età pre-
scolare possiedono competenze circa i numeri molto superiori a quanto 
non ipotizzasse Piaget; numeri e calcoli costituiscono un dominio 
cognitivo articolato e complesso che non va confuso con le sue 
applicazioni formali come la risoluzione di problemi.
Infatti si può ritenere che i sistemi dei numeri e del calcolo siano la base 
su cui in seguito verranno applicate le abilità logico-matematiche per la 
risoluzione di problemi.
Le indagini psicologiche hanno spostato l’interesse dal numero, 
presentato tradizionalmente come concetto astratto da utilizzare in 
determinati contesti, alle modalità mentali che sviluppano le intuizioni 
numeriche. La ricerca psicologica ha infatti dimostrato che, come 
nasciamo predisposti all’intelligenza verbale, allo stesso modo possiamo 
dire di avere una predisposizione anche per un’intelligenza numerica: 
capacità di intelligere, capire, ragionare e interpretare i fenomeni 
attraverso la quantità e il complesso sistema cognitivo dei numeri.
Dovendo dunque rivolgere l’attenzione ai processi cognitivi specifici che 
sono alla base della costruzione della conoscenza numerica e del calcolo 
è importante prima capire in che modo questi si sviluppano fin dalla 
nascita. 
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1.1 Sviluppo dell’intelligenza numerica Per comprendere meglio l’importanza dei risultati raggiunti dalla 
riflessione psicologica contemporanea, risulta utile partire dai principali 
modelli di riferimento teorico, in cui emerge il dibattito che concerne il 
rapporto tra conoscenza numerica e le altre competenze cognitive.
1.1.1 Rapporto tra conoscenza numerica e le altre competenze 
cognitive 
Le prime fondamentali teorie cognitive riguardo l’elaborazione del 
concetto di numero le ritroviamo in Piaget, il quale sostiene che vi è un 
rapporto inscindibile tra l’evoluzione di competenze numeriche nelle 
abilità di pensiero e le strutture  d’intelligenza generale. Secondo Piaget, 
l’apprendimento del sistema numerico è determinato dall’adeguato 
sviluppo di abilità intellettive generali. In particolare ritiene che la 
conoscenza numerica si evolva e si strutturi nel momento in cui 
l’intelligenza passi dal livello del pensiero concreto irreversibile e 
preoperatorio al livello del pensiero concreto reversibile e delle 
operazioni logiche.
Grazie a tale passaggio il nostro pensiero giunge alla padronanza di 
operazioni logiche (che consentono di essere abili nel coordinare in vario 
modo i dati seguendo nessi di diverso genere logico) e operazioni spazio-
temporali (capacità di collegare in svariati modi  dati di ordine spaziale, 
temporale e spazio-temporale).
Con le operazioni logiche il bambino può utilizzare nozioni come quelle 
di classe, serie, e di numero. Con le operazioni spazio-temporali è in 
grado di attribuire un valore invariante ai rapporti spaziali di ordine 
topologico e di ordine metrico (distanza, lunghezza, area, volume) o a 
certe quantità fisiche come la quantità della sostanza, il peso, la durata, 
la velocità. 
D’altra parte, Piaget evidenzia come il bambino debba padroneggiare 
proprio le operazioni logiche di classificazione e seriazione per poter 
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comprendere appieno il significato del numero, il che non avviene prima 
dei 5-6 anni. Nei periodi precedenti a questo stadio è incapace di 
ragionare in modo logico, poiché è vincolato esclusivamente ai dati 
percettivi. Questo comporta che la capacità che il bambino ha in età 
pre-scolare di produrre la sequenza verbale dei numeri, non è indice di 
saper contare. L’apparente abilità di conteggio è in realtà un’attività 
senza significato, priva di valore cognitivo, appresa in seguito 
all’imitazione di quanto fanno gli adulti. I bambini di 2-3 anni, infatti, 
non si rendono ancora conto che ad ogni parola-numero corrisponde un 
oggetto, e che ad ogni numero corrisponde una determinata quantità. 
Da queste affermazioni deriva l’ipotesi su come avviene la costruzione 
della conoscenza detta PRICIPLES AFTER : “le conoscenze, i principi 
verrebbero dopo, sarebbero una costruzione successiva all’ esperienza 
del bambino” (Biancardi, 1995).
Molti studi successivi hanno però trovato degli elementi di debolezza nel 
modello piagetiano, soprattutto in relazione alla scansione degli stadi di 
sviluppo delle abilità numeriche.
Robbie Case (2000), sostenendo la presenza di schemi primitivi innati, 
ha portato una svolta nell’ approfondimento della ricerca sullo sviluppo 
della conoscenza numerica.
L’idea fondamentale alla base del modello psicologico di Case è che nella 
mente del bambino vi siano dei potenti schemi organizzatori, 
denominati “strutture concettuali centrali”, che costituiscono reti di 
concetti e relazioni che sottostanno alla maggior parte dei compiti che il 
bambino deve apprendere. 
La comprensione del senso del numero si sviluppa quando due degli 
schemi primitivi si consolidano. Uno verbale, digitale e sequenziale, che 
fornisce al bambino l’abilità di compiere le prime operazioni di 
conteggio; l’altro spaziale e analogico che gli permette di individuare 
situazioni di numerosità relativa (sono di più/sono di meno) e di 
operatività concreta (aggiungere/togliere). 
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L’interconnessione di queste due strutture concettuali crea un nuovo 
schema: una linea mentale del conteggio su cui, applicando il più e il 
meno, il bambino si sposta muovendosi in avanti o indietro.
In seguito il bambino impara, tramite le rappresentazioni delle proprietà 
numeriche, a differenziare unità, decine e centinaia, e a comprendere le 
relazioni esistenti all’ interno del sistema numerico.
Molte ricerche, per rispondere agli interrogativi circa lo sviluppo nel 
bambino della capacità di riconoscere le quantità relative a eventi e 
fenomeni, sono partite dalle dimostrazioni di numerosi studi 
sperimentali basati sull’osservazione delle competenze di animali e 
neonati (Thomas e Chase, 1980; Washburn e Rumbaugh, 1991). 
Due psicologi americani (Antell e Keating, 1983), utilizzando la “tecnica 
dell’abituazione-disabituazione”, hanno dimostrato che anche in animali 
(topi e scimpanzé) e neonati possiamo trovare delle competenze 
numeriche: sembra che siano in grado di discriminare tra diverse serie 
di elementi in base alla loro numerosità.
Ad esempio gli scimpanzé riuscirebbero a compiere semplici operazioni 
di transcodifica dal sistema di notazione arabico a quello pittografico, e 
a individuare il numero arabico corrispondente a una certa numerosità.
Bimbi di 10/12 mesi sarebbero in grado di riconoscere le variazioni di 
quantità (n+1 o n-1) di insiemi di 3-4 elementi; all’età di 2 anni e mezzo 
riuscirebbero a  fare delle induzioni su piccoli insiemi di 2 o 3 elementi.
Contrariamente alle ipotesi di Piaget, un bimbo a pochi mesi di vita è 
già sensibile alla quantità ed è capace di categorizzare il mondo che 
vede e sente in termini di numerosità. Questo succede perché nasce con 
la capacità di formarsi una rappresentazione della numerosità di un 
insieme di oggetti, e di memorizzarla, nel breve termine, e di 
richiamarla.
Gelman e Gallistel (1992), rifacendosi ai risultati di questi studi, sono 
giunti ad ipotizzare che le basi stesse della competenza numerica 
umana si possono trovare nei meccanismi preverbali per il calcolo e nel 
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ragionamento aritmetico che la specie umana condivide con altre specie 
animali.
Questi riscontri sperimentali permettono inoltre di presumere, in 
maniera piuttosto attendibile, l’esistenza di una competenza numerica 
non verbale mediata da una rappresentazione mentale della quantità. 
Possiamo parlare in opposizione all’orientamento piagetiano di ipotesi 
PRINCIPLES BEFORE , che riconosce l’esistenza di principi cognitivi 
innati alla base dell’evoluzione delle diverse abilità implicate nella 
comprensione e nella rappresentazione del mondo. E dunque anche alla 
base della costruzione della conoscenza numerica vi è un’abilità innata, 
che consente di stimare e di esprimere giudizi di numerosità.
Secondo Gallistel e Gelman (1992) i bambini prescolari danno risposte 
apparentemente povere nel dominio cognitivo relativo al numero non 
tanto perché hanno una struttura ancora inadeguata, ma piuttosto per 
un’incapacità ad utilizzare abilità che di fatto possiedono già, perché 
innate. Un’ulteriore dimostrazione dell’ipotesi innatista sono le 
filastrocche dei numeri che, anche se non sono correttamente associate 
a un set di riferimento, sono segno che i bambini riconoscono il 
significato cognitivo del contare, identificando i numeri come base per 
l’enumerazione.
Le competenze logico-matematiche innate che questi bambini devono 
possedere per poter interagire con numeri e calcoli vengono definite 
come il rapporto tra processi di “astrazione numerica” e “ragionamento 
aritmetico”. I processi di astrazione numerica sono processi operatori 
che procedono attraverso operazioni di tipo sintattico di quantificazione 
e rappresentano gli effetti della manipolazione di un set nei vari modi 
possibili. Il ragionamento aritmetico si basa invece su processi 
estimatori che procedono attraverso un percorso analogico di 
approssimazione.
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1.1.2 Rapporto tra abilità verbali e abilità numeriche 
Un’altra importante questione, su cui le ricerche di oggi focalizzano 
l’attenzione e che costituisce argomento di dibattito, è il rapporto tra 
abilità verbali e abilità numeriche. Che relazione c’è tra il linguaggio e i 
numeri? 
Per esprimere i numeri, e le quantità che essi rappresentano, noi 
utilizziamo delle parole, che come tutti i segni linguistici hanno un 
rapporto convenzionale con il significato che sottintendono. I processi di 
quantificazione non hanno bisogno per svilupparsi di competenze che 
dipendono dalle abilità di conteggio, cioè la capacità di elaborazione del 
numero non è legata solo allo sviluppo di abilità di processazione 
linguistico-simbolica. Alla base vi è l’attivazione di una 
rappresentazione mentale della quantità numerica di tipo analogico, 
NON verbale, che ci permette di compiere operazioni cognitive di 
quantificazione.
Questa rappresentazione mentale avviene grazie alle capacità specifiche 
del subitizing (riconoscimento visivo intuitivo di quantità) e della stima 
di grandezze (Dehaene, 1992). 
Il subitizing è quel meccanismo che interviene ad esempio nel momento 
in cui di fronte ad un insieme costituito da n elementi siamo in grado di 
riconoscere immediatamente e senza ricorrere a veri e propri 
meccanismi di conteggio verbale, la quantità precisa degli elementi. 
Questo vale però per insiemi costituiti da pochi elementi (massimo 4-6 
nei soggetti adulti). Infatti se aumentiamo la quantità aumenta anche 
l’imprecisione nella risposta.
Si ritiene che per le numerosità più grandi non ci avvaliamo più del 
subitizing ma di un altro meccanismo: la stima di grandezze, che 
diventa il processo di riconoscimento di quantità maggiori di 6-7 
elementi; e che ci permette di fornire risposte poco accurate e precise.
Dunque la comprensione e la rappresentazione mentale della 
numerosità non è necessariamente mediata da codici verbali. 
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Successivamente nel percorso evolutivo il bambino creerà un lessico 
specifico, parole-numero, per poter definire ogni numerosità con una 
parola , che andrà ad occupare una posizione precisa nella retta 
numerica.
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1.2 Ipotesi specifiche di sviluppo e acquisizione della 
conoscenza numerica 1.2.1 Primi apprendimenti relativi al numero                   
Come sopra detto secondo l’ipotesi innatista, il bambino in età 
prescolare ha delle competenze preverbali per cui riconosce il significato 
cognitivo del contare perché possiede già determinate abilità innate. Ma 
per poter avere la piena competenza dei meccanismi implicati nella 
conta, dovrà imparare ad utilizzare queste abilità. Il bambino dovrà 
imparare a codificare le quantità attraverso il sistema verbale dei 
numeri mettendo in relazione i concetti-numero con le parole-numero. 
Ogni parola-numero non si riferisce a significati univoci, ma a proprietà 
di insiemi di elementi. Per questa ragione non sarà facile per il bimbo 
acquisire il significato corretto di ogni parola-numero, che dovrà 
dedurre tra molti significati logicamente possibili.
Il delicato passaggio tra le competenze preverbali e l’acquisizione della 
capacità effettiva di contare è stato descritto da Gelman e Gallistel 
(1978) con la Teoria dei principi di conteggio . Tale teoria è fondata sulla 
convinzione che, tra le competenze preverbali, vi sono alcuni principi 
innati che guidano l’acquisizione delle parole-numero e consentono 
l’evolversi del concetto di numero nell’acquisizione delle procedure di 
calcolo. I principi impliciti nella conta sono:
a. il principio della corrispondenza biunivoca  , secondo cui per 
ogni oggetto dell’insieme contato deve essere utilizzata una sola 
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 N.d.A. La spiegazione di questi fenomeni è stata portata avanti da Gelman e Gallistel (1992) ed è 
un’ulteriore prova della probabile esistenza di una base innata e di una predisposizione negli 
apprendimenti relativi ai numeri.
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etichetta numerica (parola-numero). Si possono distinguere 
dunque due categorie: item da contare e item già contati;
b. il principio dell’ordine stabile  , si riferisce alla capacità nel 
contare di rispettare un determinato ordine di enunciazione 
(ordine ripetibile);
c. il principio della cardinalità  , per il quale l’ultimo numero 
utilizzato rappresenta e contiene tutti gli oggetti contati, cioè la 
loro numerosità.
I bambini apprendono dal linguaggio le parole-numero e le sistemano 
nella loro lista innata di “etichette-numero mentali”: uno, due, tre… quindici… cinquanta… Iniziano a padroneggiare tali principi verso i 2-3 anni, e verso i 5 anni la 
maggioranza dei bambini ne ha pieno possesso. 
Attorno ai 2 anni appare il concetto di corrispondenza biunivoca , 
senza che sia stata necessariamente già acquisita la sequenza corretta 
dei vocaboli-numero. Per fare un esempio, un bambino, dovendo 
distribuire dei giocattoli a degli amichetti, darà un oggetto ad ogni 
persona. Anche quando imparerà la sequenza delle parole che 
esprimono i numeri tenderà a indicare uno a uno gli oggetti che conta. 
Ma se, ad esempio, il bambino distribuisce equamente degli oggetti 
utilizzando in modo corretto la strategia “uno a te, uno a me…”, non  è 
in grado di capire che alla fine risulterà che tutti possiedono la stessa 
quantità di oggetti. Solo a 4 anni la strategia verrà applicata in maniera 
chiara al conteggio.
Il principio di cardinalità sarà l’ultimo ad essere acquisito. Spesso i 
bambini di 3 anni e mezzo san dire l’ultima parola del conteggio come 
numero degli oggetti contati. Ma ciò succede perché imitano il 
comportamento dell’adulto, e non perché comprendono davvero che il 
contare fornisce la numerosità dell’insieme. Se infatti poi chiediamo loro 
quanti siano gli oggetti che hanno appena contato, è probabile che si 
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mettano a contarli di nuovo; molti credono che le parole-numero siano 
semplici etichette attaccate agli oggetti.
La Teoria dei principi di conteggio evidenzia nuovamente come la 
competenza numerica non verbale abbia un ruolo fondamentale nello 
sviluppo della competenza verbale. E’ proprio la competenza innata di 
riconoscimento non verbale della quantità a consentire, fornendo la 
base dei principi impliciti, lo sviluppo dei meccanismi di conteggio 
verbale. Secondo Gelman e Gallistel (1992), il ruolo di schema di 
riferimento svolto dal meccanismo non verbale, viene reso possibile 
dall’isomorfismo e dalla similarità della struttura formale delle 
grandezze non verbali e delle parole-numero. Le due forme di 
rappresentazione sono distinte, ma allo stesso tempo interrelate. 
Pensano cioè che imparando a contare si formi una “mappatura 
bidirezionale” tra le grandezze non-verbali (che rappresentano la 
numerosità) e le parole-numero. E’ tale mappatura bidirezionale che 
consente l’uso e la specificità sia dei meccanismi analogici di 
quantificazione non verbale, sia dei meccanismi verbali di conteggio. Il 
saper passare da un meccanismo all’altro non ne esclude la specificità, 
ma non ne esclude neanche la reciproca relazione. Anzi la determina 
proprio grazie agli stessi processi di sviluppo. Infatti, secondo i due 
studiosi, i bambini giungono a padroneggiare le complesse competenze 
alla base di meccanismi del conteggio verbale proprio attraverso quella 
stessa spinta, impressa dallo sviluppo, che consente inizialmente ai 
neonati di possedere competenze innate di riconoscimento non verbale 
delle quantità.
Tra i principi che vengono rispettati nell’operazione di contare, se ne 
possono aggiungere altri due: 
- il principio dell’irrilevanza dell’ordine  : una determinata etichetta 
numerica può venire assegnata a qualunque oggetto. I bambini 
quando iniziano le loro procedure di conteggio non considerano 
rilevante l’item dal quale partire;           
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- il principio di astrazione  : la procedura di conteggio può essere 
applicata ad ogni cosa.
In letteratura quella di Gelman e Gallistel (1992) non è la sola posizione 
teorica riscontrabile sulla questione. Anche Fuson (1991) ha analizzato 
il modo in cui il bambino impara ad associare i significati alle parole-
numero e ha dato importanza alle competenze innate (che lei definisce 
“competenze concettuali”). Ma nella Teoria dei contesti diversi (Fuson, 
1988) riconosce il valore attribuito alle strutture innate come uguale e 
non primario rispetto alle competenze apprese, che sono da considerarsi 
indispensabili quanto quelle innate; e riconosce l’importanza 
dell’interazione costante che avviene tra le due. Secondo questa teoria, i 
principi di conteggio e di calcolo hanno una struttura innata e specifica, 
tuttavia affinchè vengano utilizzati nel modo corretto e competente, il 
bambino dovrà vivere molti momenti di apprendimento. Con  ripetuti 
esercizi, per imitazione, e attraverso l’interazione con l’ambiente il 
bambino gradualmente svilupperà e formerà la propria conoscenza del 
numero. E’ componente fondamentale perciò la relazione con ciò che lo 
circonda, tenendo in considerazione che le situazioni in cui vengono 
utilizzati i numeri possono essere le più diverse, nonostante i semanti 
(le quantità corrispondenti ai numeri) siano sempre gli stessi. Infatti 
possono esserci differenze sostanziali nei significati e nell’uso dei 
numeri.
A questo proposito sono state fatte ricerche (Lucangeli e Tressoldi, 
2002) che hanno raccolto le risposte di bambini italiani alle domande: 
“ Cosa sono i numeri? A cosa servono i numeri secondo te? ”. Alcune delle 
risposte sono state:
   
   R. (5 anni e 2 mesi): “ I numeri sono fatti per dire uno due tre, e poi non   sbagliare fino a dieci o fino e dove sai tu. ”                                     
   L. (5 anni): “Sono che ti servono quando hai i soldini o le bambole… ”   T. (5 anni): “ Sono numeri scritti o detti a voce. O anche sulle dita, uno 
   per  uno ci si conta. ”     
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S.(5 anni e 2 mesi): “ I numeri piccoli servono a contare, i numeri grandi   a  scrivere a scuola. ”   D.(5 anni): “ I grandi ci fanno molte cose. Di più che i bambini. Infatti ci 
   fanno anche la spesa .” Come risulta da questi esempi, spesso i bambini, nel corso 
dell’apprendimento, sono in grado di individuare vari aspetti che sono 
implicati nel numero: aspetti semantici (che riguardano le quantità che 
essi rappresentano), aspetti lessicali (i numeri si dicono, si 
scrivono,ecc.), aspetti funzionali di conteggio e calcolo (i numeri servono 
a…). 
L’integrazione di tali aspetti e dei vari significati del numero, secondo 
Fuson (1991), avviene quando il bambino riconosce che ogni parola-
numero rappresenta e contiene tutte le unità precedenti compresa sé 
stessa e, in secondo luogo, quando comprende che ogni unità ha valore, 
nella serie numerica, di “più uno” in relazione all’unità precedente e 
“meno uno” in relazione all’unità successiva.
Nell’acquisizione della conta vi sarà in particolare l’integrazione di tre 
concetti numerici: 
  a) la sequenza numerica , che prevede la differenziazione delle parole 
che indicano numeri e l’apprendimento del loro ordine in sequenza. Nei 
bambini inizia l’utilizzo competente di questi concetti a 3 anni, 4 anni e 
procede a intervalli, fino agli 8, 9 anni ( la sequenza corretta 
inizialmente arriverà fino alla parola 10, poi 20, 80, 100 nei periodi 
successivi). 
  b) la corrispondenza uno a uno tra le parole-numero e gli elementi di 
un insieme, la cui acquisizione è spesso accompagnata da alcuni errori 
tipici. Gli errori “parola-indicazione”, dove il bambino indica un oggetto 
pronunciando più parole-numero, oppure indica senza pronunciare 
alcuna parola; e gli errori “indicazione-oggetto”, in cui c’è coordinazione 
tra conteggio e indicazione, ma l’indicazione è imprecisa, viene saltato 
un oggetto o viene toccato più volte. Si possono notare anche errori più 
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generali: quando il bambino pur avendo terminato di contare, 
ricomincia a indicare gli oggetti già contati. Riscontrare  queste diverse 
tipologie di errori dimostra che i bambini possono avere delle difficoltà 
nell’ integrare l’indicazione e il conteggio vero e proprio. 
  c) il valore cardinale dei numeri , per cui vale ciò che è stato 
precedentemente detto circa il terzo principio della Teoria dei principi di 
conteggio di Gelman e Gallistel. 
In sintesi, secondo il modello di Fuson, possiamo distinguere almeno 
cinque livelli evolutivi per descrivere la costruzione e l’integrazione dei 
concetti numerici. Inoltre le risposte dei bambini italiani, esito delle 
indagini di Lucangeli, possono aiutare a descrivere le varie fasi:
1.la sequenza di numeri è usata come stringa di parole (Luca, 4 
anni: “ Uno, due, sette, quattro, cinque, tre, venti ”);
2. le parole-numero vengono distinte, ma usate in sequenza 
unidirezionale in avanti, prodotta a partire dall’uno (Alberto, 4 
anni e 6 mesi: “ Uno, due, tre, quattro, cinque e poi non so bene 
bene ”);
3. la sequenza può essere prodotta a partire da un numero 
qualsiasi della serie stessa governata dalle relazioni numeriche di 
subito, prima, dopo, ecc. (Sara, 5 anni: “Subito vicino a cinque c’è 
sei e poi sette e otto e poi fino a venti te li dico tutti giusti ”);
4.le parole-numero della sequenza sono trattate come entità 
distinte che non devono più ricorrere a elementi concreti di 
corrispondenza biunivoca (Lucia, 5 anni e 3 mesi: “ Quattro è più 
di tre. Cinque è di più di quattro ”);
5.la sequenza è usata come catena bidirezionale , sulla quale e 
attraverso la quale operare in diversi modi (Mattia, 6 anni e 5 
mesi: “Sette, otto, nove, dieci, …, venti, diciannove, diciotto, … ”).
Questa evoluzione mostra come vi sia una continua interazione tra 
competenze cognitive e apprendimenti significativi.
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