Criteri di cluster validity nella classificazione fuzzy di array di dati a due e tre vie

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di tipo LR  di Dubois e Prade e, nella parte finale vi è la descrizione e la 
formalizzazione del Principio di Estensione come strumento fondamentale per istituire 
un calcolo delle variabili fuzzy. 
 
1.1 Origini della Logica Fuzzy 
Nei primi anni sessanta lo scienziato iraniano Lofti A.Zadeh, Preside del Dipartimento 
di Ingegneria Elettrica dell’Università di Berkeley , molto noto per i suoi contributi alla 
teoria dei sistemi, cominciò ad avvertire che le tecniche tradizionali di analisi dei sistemi 
erano eccessivamente ed inutilmente accurate per molti dei problemi tipici del mondo 
reale. L’idea di “grado d’appartenenza”, concetto divenuto poi la spina dorsale della teoria 
degli insiemi fuzzy, fu da lui introdotta nel 1964, e ciò portò in seguito, nel 1965, alla 
pubblicazione di un suo primo articolo intitolato “Fuzzy sets” in cui egli ripropone l’idea 
di una logica multivariata in grado di allargare il tradizionale concetto di logica binaria (o 
bivariata) che diviene un caso particolare di questa nuova teoria, ed alla nascita della 
logica fuzzy. Il concetto di insieme fuzzy, e di logica fuzzy, suscitò numerose critiche da 
parte del mondo accademico 3. 
Una delle maggiori critiche che incontra la logica fuzzy è quella di essere una “ 
probabilità mascherata ”. Per dimostrare che ciò non è vero, distinguiamo tra i concetti 
di “casualità” e  di “fuzziness”. La casualità si riferisce all’incertezza circa l’appartenenza 
di un oggetto ad un insieme non fuzzy (e ciò rientra nel ragionamento bivalente). La 
fuzziness si riferisce a quel genere di imprecisione associata ai gradi intermedi tra la 
completa appartenenza e la non appartenenza ad una logica quindi ad infiniti 
valori. In ciò la logica fuzzy rappresenta un ottimo strumento di gestione della 
polivalenza e della vaghezza del linguaggio naturale, pur ammettendo una struttura 
formale che ne permette una successiva rappresentazione numerica. 
Nei suoi primi anni di vita la logica fuzzy non ebbe molti consensi considerando che 
anche i suoi pochi sostenitori non erano in grado di mostrarne nessuna applicazione. 
                                                 
3
 Venticinque anni dopo la pubblicazione dell’articolo lo stesso Zadeh afferma che: la tradizione 
cartesiana del rispetto per ciò che è quantitativo e preciso e il disprezzo per ciò che è qualitativo e 
impreciso è troppo radicata per essere abbandonata senza resistenza L’assunto di base di questa 
tradizione è stato espresso da Lord Kelvin (uno tra i più imminenti intelletti del diciannovesimo secolo) 
nel 1883. Egli afferma che “ nelle scienze fisiche un primo essenziale passo nella direzione di apprendere 
una qualche materia è quello di trovare principi di calcolo numerico e metodi praticabili per misurare 
alcune quantità ad essa connesse. Spesso affermo che quando puoi misurare quello di cui stai parlando 
ed esprimerlo in numeri, allora conosci qualcosa su di esso; ma se non puoi misurarlo, se non puoi 
esprimerlo in numeri, la tua conoscenza è di un tipo insoddisfacente: potrebbe essere l’inizio della 
conoscenza , ma nei tuoi pensieri sei appena approdato allo stato di scienza, di qualunque questione si 
tratti” (Zadeh 1990,  pp. 95-96 ). 
 
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Il primo prototipo di un’applicazione della logica fuzzy si ebbe nel 1974 ad opera di E. 
H. Mandani che sviluppò in Gran Bretagna il primo sistema di controllo di un 
generatore di vapore basato sulla logica fuzzy. Da allora gli studi degli impieghi della 
fuzziness si sono moltiplicati soprattutto in Giappone dove, probabilmente per ragioni 
economiche, le idee di Zadeh hanno incontrato meno resistenza. 
La più famosa applicazione fuzzy è stata la realizzazione, nel 1987 di un sistema 
automatizzato per il controllo operativo dei treni metropolitani della città di Sendai, 
dove accelerazioni e frenature sono ottenute in modo molto più morbido che se 
affidate all’intervento umano. 
La logica fuzzy mette in discussione e modifica il concetto di “ Logica Binaria”, secondo 
il quale i predicati possono assumere solo due stati (i.e vero e falso). Questa logica è alle 
basi del funzionamento dei calcolatori tuttavia essa può essere imprecisa e non aderente 
alla realtà che presenta molteplici sfaccettature. 
Attraverso l’approccio fuzzy è possibile:  
o trattare adeguatamente ogni tipo di informazione imperfetta; 
o descrivere le incertezze e la complessità di alcuni sistemi; 
o descrivere le ambiguità relative ad un fenomeno (economico, sociale, 
fisico,….); 
o catturare la vaghezza di termini linguistici in espressioni del linguaggio naturale. 
Dal punto di vista matematico, la vaghezza di un concetto viene formalizzata 
definendo le funzioni di appartenenza che esprimono una misura della similarità 
dell’oggetto considerato, ad una certa classe di riferimento. 
 
Se consideriamo, ad esempio, il mercato borsistico è evidente che i titoli con prezzo 
molto basso hanno un’elevata probabilità di essere venduti ricavandone scarso profitto, 
l’esatto contrario accade per i titoli con un prezzo molto elevato. Quindi per queste due 
categorie di titoli non esiste dubbio intorno alla loro funzione di appartenenza (avremo 
un valore della funzione di appartenenza prossimo allo zero nel primo caso , e prossimo 
ad uno nel secondo caso), mentre per i titoli quotati con un prezzo intermedio la 
funzione di appartenenza diventa più “vaga”. Nell’approccio fuzzy quest’inconveniente 
viene risolto definendo un’opportuna funzione di appartenenza che indica in che misura 
un titolo appartiene alla classe dei “titoli da vendere”. Per un titolo con prezzo 
intermedio, che a seconda delle circostanze può essere giudicato sia vendibile che 
acquistabile da parte di un operatore, la funzione di appartenenza assumerà un valore 
 - 12 -
pari a 0,5. La logica fuzzy non attribuisce ad un evento la sola condizione di “vero” o 
“falso”  ma associa a quello stesso evento una vasta gamma di condizioni! 
 
 
1.2 Aspetti matematici 
1.2.1 Insiemi classici (Coppi, R., 2003) 
Nella teoria degli insiemi classici, dato un “Universo” di elementi , che indichiamo con 
X , un suo sottoinsieme ( )XA ⊆  è definito tramite la sua funzione caratteristica: 
( ) Xx
Axse
Axse
xA ∈∀



∉
∈
=
0
1
µ  
Se l’oggetto x  è un membro del sottoinsieme A  si hanno due alternative: l’elemento 
Ax ∈  oppure l’elemento Ax ∉  (“tertium non datur”). Su questa base si fonda la 
logica classica di tipo “dicotomico”. 
(“vero/falso”, “accade/non accade”) con il relativo “Principio di Non Contraddizione” 
( )∅=∩ AA . 
Gli insiemi con funzioni caratteristiche a due valori vengono chiamati insiemi ordinari 
o semplicemente insiemi; un insieme per il quale la funzione di appartenenza assume 
solo questi due valori viene chiamato “crisp” (la teoria degli insiemi classica studia gli 
insiemi crisp). Gli insiemi classici ammettendo solo i due valori di appartenenza estremi: 
0 e 1, non appartenenza e completa appartenenza possono essere considerati come un 
caso particolare di insiemi fuzzy. 
Figura 1: Funzioni di appartenenza relativi a due insiemi classici 
                 
0
0,2 
0,4 
0,6
0,8
1
1,2
0 1 2 3 4 5
( )xAµ  
x  
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 1 2 3 4 5
 
( )xBµ
 
x  
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Le funzioni Aµ  e Bµ  definiscono due insiemi classici o crisp. Il primo insieme è 
composto da un unico punto, il numero 3, il secondo da tutti i numeri reali 
nell’intervallo chiuso [2,4]. 
1.2.2 Insiemi fuzzy 
Il principio fuzzy afferma che “tutto è questione di misura”. 
“Nel mondo reale tutto è questione di misura, non esiste solo il bianco o il nero ma ci 
sono anche le sfumature. La scienza tratta questi chiaroscuri come se fossero solo 
bianchi o neri.  
Il paradosso è che la scienza ha contribuito a creare un mondo meno preciso 
approssimando o trascurando alcuni concetti. Basti pensare alla logica Aristotelica 
bivalente che ammette solo due valori di verità: vero o falso, bianco o nero, tutto o 
niente e si riduce ad assumere A o Non-A. Einsten aveva tratto le sue conclusioni sul 
chiaroscuro della logica fuzzy:  
“nella misura in cui le leggi della matematica si riferiscono alla realtà sono certe. e nella misura in cui 
sono certe, non si riferiscono alla realtà”. 
La scienza descrive il mondo attraverso degli enunciati che non sono interamente veri o 
interamente falsi, non sono bivalenti, ma polivalenti, la loro verità totale sta nella via di 
mezzo, nei grigi chiaroscuri fuzzy”.(Kosko) 
Partendo dalla definizione di insieme fuzzy, introdotta dallo scienziato iraniano Lotfi 
A.Zadeh nel suo articolo  “Fuzzy sets” (1965): 
“un insieme fuzzy è una classe di oggetti con un continuum di gradi di appartenenza. Tale insieme è 
caratterizzato da una funzione di appartenenza (caratteristica) che assegna ad ogni oggetto un grado di 
appartenenza compreso tra zero ed uno.” 
Consideriamo uno spazio di punti X  con un generico elemento Xx∈ , ovvero 
{ }xX = , un insieme fuzzy indicato con A~  è caratterizzato da una funzione di 
appartenenza che indichiamo con ( )xA~µ  che può assumere solo valori arbitrari nell’ 
intervallo [0,1]. In simboli: 
( ) [ ] XxxA ∈∀∈ ,1,0~µ  
 - 14 -
Il valore ( )xA~µ  esprime il “grado di appartenenza” di x  in A
~
. Quindi più ( )xA~µ  è 
vicino all’unità, più alto è il grado di appartenenza di x  in A
~
. 
Figura 2: Funzioni di appartenenza relativi a due insiemi fuzzy 
 
Le  funzioni Cµ  e Dµ  descrivono due insiemi fuzzy. Il primo insieme formalizza 
espressioni linguistiche del tipo “intorno a 3” , “vicino a 3” ., “approssimativamente 3”. 
Quindi potrebbe essere anche visto come un numero fuzzy. Il secondo insieme può 
essere visto come un intervallo fuzzy. 
 
1.2.3 Proprietà degli insiemi fuzzy 
Gli insiemi classici ammettendo solo i due valori di appartenenza estremi: 0 e 1, non 
appartenenza e completa appartenenza possono essere considerati come un caso 
particolare di insiemi fuzzy pertanto le proprietà e le operazioni nell’ambito della teoria 
degli insiemi ordinari possono essere estese alla teoria degli insiemi fuzzy. Tra le 
definizioni più importanti ricordiamo: 
o L'insieme fuzzy A~  si dice vuoto ⇔  la sua funzione di appartenenza ( )xA~µ  è 
uguale a zero, Xx∈∀  
o Due insiemi fuzzy A~  e B~  si dicono uguali ( BA ~~ = ) ( ) ( ) Xxxx BA ∈∀=⇔ ,~~ µµ . 
o Il complemento di un insieme fuzzy A~  si indica A~  e viene definito da:  
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 1 2 3 4 5
 
( )xCµ  
x  
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 1 2 3 4 5
 
x  
( )xDµ  
 - 15 -
 ( ) ( ) Xxxx
AA
∈∀−= ,1 ~~ µµ  
o A
~
 è contenuto in (o è sottoinsieme di) B~  ⇔ la funzione di appartenenza di A~  
è minore della funzione di appartenenza di XxB ∈∀~ .Ovvero : 
( ) ( ) XxxxBA BA ∈∀≤⇔⊆ ,~~ ~~ µµ  
o  L’unione di due insiemi fuzzy A~  e B~  con le funzioni di appartenenza ( )xA~µ  e 
( )xB~µ  è un insieme fuzzy C
~
 che scriveremo come BAC ~~~ ∪=  la cui funzione di 
appartenenza ( )xC~µ  è connessa a quelle di A
~
 e B~  attraverso : 
  ( ) ( ) ( )[ ] Xxxxx BAC ∈∀= ,,max ~~~ µµµ  
in forma abbreviata:  
( ) ( ) ( )xxx BAC ~~~ µµµ ∨=  dove ∨  è l’operatore unione. 
L’unione gode della proprietà associativa ovvero:  
( ) ( ) CBACBA ~~~~~~ ∪∪=∪∪  
Un modo alternativo di definire la proprietà dell’unione è: “ l’unione di A~  e B~  è 
l’insieme fuzzy più piccolo che contiene sia A~  che B~ . Ovvero se D~  è un qualsiasi 
insieme fuzzy che contiene sia A~  che B~ , allora contiene anche l’unione di A~  e B~  ”. 
o L'intersezione di due insiemi fuzzy A~  e B~  con funzioni di appartenenza ( )xA~µ  e 
( )xB~µ  è un insieme fuzzy C
~
 che scriveremo come BAC ~~~ ∩=  la cui funzione di 
appartenenza ( )xC~µ  è connessa a quelle di A
~
 e B~  attraverso: 
( ) ( ) ( )[ ] Xxxxx BAC ∈∀= ,,min ~~~ µµµ  
 in forma abbreviata: 
( ) ( ) ( )xxx BAC ~~~ µµµ ∧=  dove ∧  è l’operatore intersezione. 
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Un modo alternativo per definire la proprietà dell’intersezione è: “l’intersezione di A~  
e B~  è l’insieme fuzzy più grande che contiene sia A~  che B~ ”.Come l’unione anche 
l’intersezione gode della proprietà associativa. 
Cosi come avviene per gli insiemi ordinari (Teoria degli insiemi classica), gli insiemi 
fuzzy A
~
 e B~  sono disgiunti se =∩ BA
~~ ∅   
 Con le operazioni di unione, intersezione e complemento, molte delle identità  definite 
per gli insiemi ordinari vengono estese agli insiemi fuzzy come le Leggi di De Morgan e 
le Leggi distributive: 
BABA
BABA
~~~~
~~~~
∪=∩
∩=∪
 Leggi di De Morgan 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )BCACBAC
BCACBAC
~~~~~~~
~~~~~~~
∪∩∪=∩∪
∩∪∩=∪∩
   Leggi Distributive 
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1.2.4 Operazioni algebriche sugli insiemi fuzzy 
Oltre alle operazioni di unione e intersezione, si possono stabilire numerosi altri modi 
di formare combinazioni di insiemi fuzzy e metterli in relazione l’un l’altro. Tra i più 
importanti ricordiamo: 
o Il prodotto algebrico di A
~
 e B~  indicato con BA ~.
~
 è definito in termini di funzioni 
di appartenenza di  A
~
  e B~  attraverso   
( ) ( ) ( ) BABAconXxxxx BABA
~~~~
,. ~~~
.
~ ∪⊂∈∀= µµµ  
La somma algebrica di A~ eB~  indicata con BA ~~ +  è definita come: 
( ) ( ) ( )xxx BABA ~~~~ µµµ +=+  
con la condizione che  ( ) ( ) Xxxx BA ∈∀≤+ ,1~~ µµ  
o La differenza assoluta di A
~
 e B~  indicata con BA ~
~
−  è definita come: 
( ) ( ) ( ) Xxxxx BABA ∈∀−=− ,~~~~ µµµ  
o La combinazione convessa4 degli insiemi fuzzy arbitrari A~ , B~  e Λ~  si indica  con 
( )Λ~;~,~ BA  e viene definita dalla relazione: 
( ) Λ∀Λ+Λ=Λ ~,~~~~~;~,~ BABA  
In termini di funzioni di appartenenza: 
( )
( ) ( ) ( ) ( )][ ( ) Xxxxxxx BABA ∈∀−+= ΛΛΛ ~~~~~;~,~ .1. µµµµµ  
Una proprietà base della combinazione convessa di A~ ,B~  e Λ~  è espressa da : 
( ) BABABA ~
~~
;
~
,
~~~ ∪⊂Λ⊂∩  
                                                 
4
 Negli insiemi ordinari con una combinazione convessa di due vettori  f e g si intende una combinazione 
lineare di  f e g  del tipo ( )gf λλ −+ 1  in cui  10 ≤≤ λ . 
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Un insieme fuzzy A~  è convesso ⇔  
[ ( ) ] ( )[ ( )] [ ]1,0,,1 212~1~21~ ∈∀∈∀≥−+ λµµλλµ XxxxxMinxx AAA  
Una proprietà base degli insiemi fuzzy è espressa dal  seguente teorema dimostrato in 
Appendice: 
Teorema: “Se A~  e B~  sono convessi, lo è anche la loro intersezione”. 
o Il supporto supp( A
~
) di un insieme fuzzy A~  è il sottoinsieme crisp di X  tale che 
( ) 0~ >xAµ  
supp( A
~
) = ( ){ }0sup ~ >∈ xXx
A
µ   ∈∀x supp( A~ ) 
o Un insieme fuzzy A~  si dice normalizzato se esiste almeno un x  tale che:  
( ) Xxx
A
∈∀= ,1~µ  
o Si definisce altezza si un insieme fuzzy A~  il valore: 
( ) ( )xAh
A
Xx
~sup
~
µ
∈
= . 
Un insieme fuzzy A~  si dice sub-normale  se ( ) 1~ <Ah   
o Si definisce nucleo di un insieme fuzzy A~  il sottoinsieme crisp di X  tale 
che ( ) 1~ =x
A
µ   
Nucleo( A
~
)= ( ){ }1~ =∈ xXx
A
µ  
 - 19 -
 
1.2.5 α-tagli (Dubois 1980) 
Ogni insieme fuzzy può essere caratterizzato da una famiglia di insiemi crisp chiamata α-
taglio con [ ]1,0∈α .L’α-taglio dell’insieme fuzzy A~  è definito da:  
( ){ }αµα ≥∈= xXxA A~,  
L’ α-taglio forte dell’insieme A~  indicato con αA  è l’insieme crisp : 
( ){ }αµα >∈= xXxA A~,  
Nel caso in cui 0=α , l’α-taglio forte dell’insieme A~  è il supporto di A
~
. 
La funzione di appartenenza di un insieme fuzzy A~  può essere espressa in termini di 
funzioni caratteristiche degli α-tagli secondo la formula: 
( )
][
( )( )
][
( )xxx AAA αα αµµαµ
αα 1,01,0
sup,minsup
∈∈
==  
dove:  
( )


 ∈⇔
=
altrimenti
Ax
xA
0
1 α
α
µ  
Essendo gli α-tagli insiemi crisp, tale rappresentazione consente di stabilire un legame tra 
insiemi fuzzy e insiemi classici. La rappresentazione attraverso gli α-tagli permette di 
al
t
ez
za
 
nucleo 
supporto 
( )x
A
~µ  
1 
     0 
 - 20 -
estendere molte proprietà della teoria classica nell’ambito fuzzy. Questo avviene quando 
la proprietà classica è soddisfatta da ciascun α-taglio dell’insieme fuzzy considerato. 
1.2.6 Quantità, intervalli e numeri fuzzy 
L’universo di riferimento sul quale vengono costruiti gli insiemi fuzzy è il campo reale 
R .Si definiscono in tal caso le seguenti entità fuzzy: 
a) Quantità fuzzy Q~ , definita come un arbitrario insieme fuzzy su R : 
][ 1,0:~ →RQµ  
b) Intervallo fuzzy I
~
, definito come una quantità fuzzy convessa, che soddisfa 
Ryw ∈∀ ,  con yw <  e ][ ywz ,∈∀  la condizione: 
( ) ( ) ( ){ }ywz
III
~~~ ,min µµµ ≥  
c) Numero fuzzy C~ , definito come un intervallo fuzzy tale che: 
o è dotato di un supporto compatto; 
o C~µ  è una funzione semicontinua superiore; 
o ha un unico valore modale ( unico massimante della funzione di appartenenza, 
che indichiamo con C dove RC ∈  ). 
 Il numero fuzzy C~  costituisce una rappresentazione della nozione: “intorno ad C ” o “ 
approssimativamente C ”. 
 
Numero fuzzy Intervallo fuzzy  
1 
x  0 
 - 21 -
1.2.7 Numeri fuzzy di tipo LR 
“Tutto è questione di misura. Anche i numeri? I numeri sono il ,suggello della precisione. Possiamo 
rendere fuzzy anch’essi?.....anche i numeri sono fuzzy. Noi lavoriamo continuamente con i numeri 
fuzzy, e se sono fuzzy i numeri, tutto lo è” (Bart Kosko). 
Un numero fuzzy di tipo LR  è definito da una particolare funzione di appartenenza in 
cui sono coinvolte le funzione L  ed R  che rappresentano la forma sinistra e destra di 
tale numero fuzzy. 
Dubois e Prade (1988) definiscono i numeri fuzzy di tipo LR  nel modo seguente:  
( )LRCCC βα ,,,
~
21=  
dove: 
1C  e 2C R∈  sono i parametri che indicano il centro sinistro e il centro destro del 
numero;  
α e β  +∈ R  rappresentano l’ampiezza sinistra e destra. 
Se RL =  e βα =  il numero fuzzy è detto simmetrico e può essere indicato come: 
( )RCCC α,,
~
21=  
 Graficamente un generico numero fuzzy di tipo LR  è rappresentato: 
 
I numeri fuzzy di tipo LR  si distinguono in 1LR  ed 2LR  
a) Un numero fuzzy di tipo 1LR  è indicato con  
x  
2C  
R  
1C  
L  
α  β  
1 
0 
 - 22 -
( )
11
,,
~
LRCC βα=  
Dove C  è l’unico parametro che caratterizza il valore medio di C~ . 
La funzione di appartenenza di un numero fuzzy 1LR  è: 
( )
( )( )
( )( )


>≥−
>≤−
=
0,,/
0,,/
~
ββ
αα
µ
CxCxR
CxxCL
xC  
 Dove L  ed R  sono funzioni decrescenti da +R  a [ ]1,0  che soddisfano: 
( ) ( ) ( ) ( )xRxRxLxL −=−= ,  
( ) ( ) 10,10 == RL  
( ) ( ) ( ) ( ) 1,000,11 <∀>>>∀<< xxRexLxxRexL  
( ) ( ) 0101 == ReL   
Se le funzioni L  ed R  hanno la seguente forma: 
( ) ( )


 ≤≤−
==
altrimenti
xsex
xRxL
0
101
  (1.2.7.1) 
si ha un numero fuzzy triangolare e la funzione di appartenenza è: 
( )






>≥
−
−
>≤
−
−
=
0,,1
0,,1
~
β
β
α
αµ
CxCx
CxxC
xC  
Numero fuzzy triangolare 
 
x  β  α  C  
1 
0  
( )xC~µ