Credit spreads, crash di mercato e volatilità

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CAPITOLO 1 
REALIZED VOLATILITY 
 
L’analisi e la misura della volatilità hanno attirato un gran interesse negli 
ultimi anni, soprattutto da quando è aumentata la disponibilità di dati a nostra 
disposizione.  
In presenza di dati ad alta frequenza uno dei problemi principali riguarda 
appunto la stima della volatilità dei rendimenti di un’attività finanziaria. 
Lo studio dei dati ad alta frequenza è una delle attuali tendenze della finanza, 
che consiste nell’osservazione dei dati registrati in tempo reale. 
 A differenza degli studi tradizionali, nei quali si tende a considerare dati 
misurati a intervalli equispaziati, nel caso dell’alta frequenza si registra ogni 
singola transazione (e anche richiesta di transazione), che avviene sul 
mercato. 
 La possibilità di sfruttare questa enorme mole di informazioni costituisce un 
indubbio vantaggio come testimoniano le numerose applicazioni di stime 
econometriche ricavate da tali dati. Tali applicazioni si riflettono su una gran 
parte della teoria finanziaria: dal prezzaggio delle opzioni, alla previsione 
della volatilità infragiornaliera, dal calcolo del Var (Value at risk)  alla 
gestione della liquidità. 
Per ciò che concerne la stima della volatilità, una tecnica frequente consiste 
nella stima di quest’ultima,  attraverso la somma dei rendimenti al quadrato. 
Il nostro interesse verterà quindi sulla stima della variazione quadratica 
dall’osservazione dei prezzi delle attività finanziarie che nel campo dei 
derivati è definita volatilità storica. 
L’importanza della variazione quadratica nell’economia finanziaria è 
comunemente riconosciuta.
9 
 
Il maggior contributo proviene esplicitamente dai lavori paralleli di Black and 
Scholes (1973) e Merton (1973), i quali presentarono che i prezzi delle 
opzioni sono una funzione dell’asset price volatility. 
È  ben noto che lo studio della volatilità storica viene nettamente distinto da 
quello della volatilità implicita a cui ci si riferisce per il prezzaggio delle 
opzioni e che ci porta alla definizione dello “ smile effect”. 
 
 
          1.1Analisi storica della volatilità 
 
La volatilità storica è stata oggetto di una notevole attenzione in ambito di 
letteratura economica e finanziaria. Qui sono presentati alcuni esempi dei 
principali problemi analizzati. 
Christie (1982) analizzò la relazione tra varianza e leverage e tra varianza e 
tassi di interesse.  Il leverage effect è stato a lungo analizzato sin dagli studi di 
Black (1976) e Cox e Ross (1976). Il legame asimmetrico tra la volatilità 
realizzata e i rendimenti è stato esaminato in un recente lavoro di Bekaert e 
Wu (2000). 
French e Roll (1986) rilevarono empiricamente che la varianza dei prezzi 
delle attività finanziarie durante le contrattazioni sui mercati, fosse più alta di 
quella dei periodi di non contrattazione e collegarono tale risultato al ruolo 
dell’informazione privata. 
Nel 1987 French et al.,stimarono la relazione tra volatilità e il premio per il 
rischio atteso per i rendimenti azionari; sulla stessa linea ci fu lo studio di 
Schwert(1989), che analizza la volatilità in un periodo secolare, rilevando che 
essa sia stocastica e prova a esprimere le sue fluttuazioni in collegamento a 
variabili macroeconomiche.
10 
 
La volatilità infragiornaliera, fu invece oggetto di studio di Lockwood e Linn 
(1990) e di Andersen e Bollerslev (1997), in cui fu evidenziato il legame tra 
periodicità infragiornaliera e persistenza. 
Probabilmente il concetto più importante sulla volatilità è la persistenza o 
clustering.  
Ad essa ci si riferisce quando la funzione di autocorrelazione dei rendimenti 
al quadrato è significativamente positiva in un orizzonte temporale ampio e  
in particolare indica che se i rendimenti nell’ultima settimana di 
contrattazione sono stati molto grandi (o piccoli), nella prossima settimana 
continueranno a esserlo. 
I rendimenti finanziari nei mercati infatti, sono rappresentati  dalle seguenti 
caratteristiche: 
 code grasse (fat tails o leptocurtosi): nel caso di un’asimmetria vicina allo 
zero, e curtosi di molto superiore a tre; 
 random walk: la funzione di autocorrelazione dei rendimenti è statisticamente 
nulla; 
 persistenza in volatilità: la funzione di autocorrelazione dei rendimenti al 
quadrato e significativamente positiva, in un range temporale ampio; 
 leverage effect: i rendimenti al quadrato sono negativamente correlati con i 
rendimenti.  
L’eteroschedasticità  (fenomeno in cui la varianza di una serie storica risulti 
variare col tempo) conduce a modellare la persistenza per dare una buona 
immagine dell’evoluzione del prezzo di un’attività finanziaria. I risultati di 
tale intuizioni sono il modello ARCH di Engle (1982) e il GARCH di 
Bollerslev (1986). 
Il modello di Engle (1982) ha aperto il campo ad un filone di letteratura molto 
ampio su modelli a eteroschedasticità condizionata autoregressiva (ARCH) 
per lo studio della varianza dei rendimenti condizionata ad un certo insieme 
informativo.
11 
 
Con tali modelli è stato possibile introdurre fenomeni quali la leptocurtosi 
(code grasse) e l’eteroschedasticità. Il modello ARCH(p) è rappresentato da:                            
                                                                ε(t)                                          (1) 
                                              
   
 
 
   
                                        (2) 
con ε(t) variabile casuale iid (identicamente e indipendentemente distribuita), 
E  
 
 
    con ε(t) che si distribuisce come una normale N(0,1) e quindi  r(t) 
si distribuisce come una normale N(0,h) e  h(t) che rappresenta la varianza 
condizionata: 
                                
 
  
    
 
     
     
 
 
  
    
 
    
                    (3) 
Abbiamo inoltre che ω>0 (che rappresenta la varianza minima) e α(i)  . 
Bollerslev (1986) propose una generalizzazione dei modelli proposti da 
Engle; il modello GARCH (Generalized Autoregressive Conditional 
Heteroskedasticity) si basa sul fatto che la varianza condizionata al tempo t è 
una combinazione lineare di p ritardi dei residui al quadrato, ricavati 
dall’equazione della media condizionata, e di q ritardi della varianza 
condizionata. In sintesi un GARCH(p,q) può essere espresso come: 
                                                      ε(t)                                          (4) 
                                  
 
 
   
 
   
 
 
   
 
   
 
   
                              (5) 
con la condizione di stazionarietà garantita da: 
 
                                                  
 
   
 
 
   
 
   
<1                                (6) 
 
I modelli GARCH sono compatibili con le evidenze empiriche che si 
riscontrano nell’analisi dei rendimenti azionari, co me la presenza di 
autocorrelazione in trasformazioni positive dei rendimenti, in particolare il 
quadrato, e consentono di interpretare la persistenza della volatilità.
12 
 
Nelson (1992) stimò la relazione tra la varianza stimata di un ARCH e la vera 
variazione quadratica, evidenziando che la differenza tra le due converge a 
zero quando gli intervalli di tempo si restringono. L’interesse nello studio 
della persistenza in volatilità deriva principalmente dalla sua prevedibilità, 
infatti è probabilmente la principale applicazione dell’uso del concetto di 
variazione quadratica. 
Gli studi della letteratura finanziaria sulla variazione quadratica hanno subito 
un rinnovamento dopo il contributo di Andersen e Bollerslev (1998), i quali 
presentarono che la bassa performance di previsione del GARCH (1,1) non 
dipendeva dalla scarsa abilità previsiva di questi modelli, ma dalla scarsa 
stima della volatilità integrata. 
Partendo dall’idea di Merton (1980), gli autori utilizzando simulazioni e dati 
FX hanno dimostrato come fosse possibile stimare la volatilità giornaliera 
utilizzando le transazioni infragiornaliere (dati ad alta frequenza), e che tali 
stime fossero più precise dei rendimenti al quadrato giornalieri e quindi la 
capacità previsionale del GARCH fosse buona. Tale misura di volatilità fu 
definita “Realized Volatility”(RV). 
Nello stesso ambito vi furono gli studi di Barndoff-Nielsen e Shephard (2002) 
che analizzarono le proprietà statistiche di RV, e Andersen et al (2001) che 
applicarono tali proprietà ai prezzi azionari e ai tassi di cambio. 
 
    
  1.2 Realized Variance 
 
La volatilità dei rendimenti azionari è generalmente analizzata con modelli 
GARCH che gestiscono la volatilità come una variabile latente. 
Negli ultimi anni ha preso sempre maggior interesse uno studio alternativo 
basato sull’analisi della volatilità con metodi non parametrici utilizzando dati 
ad alta frequenza.
13 
 
Tali dati, come descritto precedentemente, dovrebbero rappresentare il primo 
obiettivo di ricerca per chi è interessato a capire la dinamica dei mercati 
finanziari (come gli operatori finanziari). 
Nella vasta letteratura finanziaria a riguardo, tali dati vengono trattati con 
bassa frequenza ed equispaziati nel tempo, a causa dell’ingente costo 
necessario per reperire e manipolare tali dati. 
Originariamente la forma dei prezzi azionari è costituita dai dati tick-by-tick, 
dove ogni tick rappresenta un prezzo o quota uno scambio. Tali dati non sono 
equispaziati nel tempo e il numero di osservazioni infragiornaliere  è elevato. 
Negli ultimi anni, con l’evoluzione informatica, la disponibilità di dati ad alta 
frequenza è divenuta sempre più agevole e accessibile agli operatori 
finanziari, tanto da divenire la base sperimentale per capire la microstruttura 
dei mercati. 
Un’idea di rilievo riguardo alla stima della volatilità con dati ad alta frequenza 
è quella della Realized Variance (RV) sviluppata negli studi quasi 
contemporanei di Barndoff-Nielsen e Shephard (2002) e Andersen et al 
(2001). 
Basandoci sullo studio degli autori, supponiamo di scindere ogni giorno t di 
contrattazione sui mercati in intervalli M intervalli di ampiezza ℱ, con 
j=1,2,…,M. 
Per ogni intervallo osserviamo l’ultimo prezzo H
t,i
 e calcoliamo il rendimento 
logaritmico: 
                                               (log H
ti
 – log H
ti-1
)                                      (7) 
 
Gli autori  misurano tale variabilità (RV), definita come: 
                                                      
         
   
   
   
                                             (8) 
Mentre la realized volatility è definita come: 
                                                         
  
   
  
   
                                               (9)
14 
 
dove r
t,j
 (t=1,2,… e j=1,2,…M) indica la serie dei rendimenti con prezzi 
logaritmici r’
(t). 
Obiettivo del loro studio è stato analizzare quindi, e verificare cosa stima la 
Realized Volatility e quanto precisa risulta tale stima. La risposta al primo 
quesito è chiara e già nota come mostrato precedentemente: essa è uno 
stimatore consiste (con M    ), della corrispondente variazione quadratica 
(QV) per tutte le semimartingale
1
. 
Sfortunatamente, sebbene RV sia uno stimatore consistente di QV in generale, 
non conosciamo nulla riguardo alla sua precisione. Tale considerazione 
presenta ovviamente un ostacolo che potrebbe essere superato nel caso si 
utilizzi o si lavori nell’ambito di un modello a volatilità stocastica, che 
rappresenta un caso speciale di semimartingale con traiettorie continue. 
Per fissare le idee, supponiamo che il processo generatore del logaritmo dei 
prezzi di un’attività finanziaria sia il seguente: 
 
                                                                                        (10) 
 
dove W(t) è un moto Browniano standard,      noto come il coefficiente 
drift, e       nota come volatilità istantanea del processo, possono a loro volta 
seguire un processo stocastico a tempo continuo. 
I concetti di maggior interesse sono la variazione quadratica o volatilità 
integrata (IV), calcolata in un determinato periodo di tempo tipicamente un 
giorno, ed è definita: 
                                               
                                     
                      
     
 
     
 
 
                             (11) 
 
                                                           
1
 Nella teoria delle probabilità, un processo reale X è definito semimartingala, se è possibile decomporlo in 
una somma di una  martingala e un processo con variazione finita adattato locale.
15 
 
Lo stimatore usuale di IV, come menzionato precedentemente, è quello basato 
sulla somma dei rendimenti al quadrato ed è chiamato volatilità realizzata 
(RV). 
Barndoff-Nielsen e Shepard (2002) hanno introdotto il concetto di variazione 
quadratica precedentemente citata. 
Ridefinendo l’equazione (4) come : 
                                                                                                            (12) 
dove      il termine di drift, mentre Mt è una martingala
2
 locale. La 
variazione quadratica di Yt è: 
                              
   
              
  
   
                    (13) 
cumula i cambiamenti lungo uno specifico orizzonte temporale. 
Assumendo che    sia prevedibile allora       . 
In particolare, Andersen et al (2001) hanno dimostrato che RV converge in 
probabilità a QV quando M, il numero di osservazioni infragiornaliere 
diverge. 
Campionando i prezzi a intervalli sempre più brevi si annullerà l’errore di 
misurazione e RV convergerà a IV (integrated volatility).
                                                                                                        
 
Jacod e Protter (1998), e Barndoff-Nielsen e Shepard (2002) in seguito, hanno 
derivato l’approssimazione della distribuzione asintotica di RV. Gli autori 
hanno mostrato che RV converge a    
 
     
 
 
 
 al tasso    derivando tale 
distribuzione asintotica: 
 
                     
  
   
  
   
   
   
 
 
     
 
 
 
  
   
  
   
      N(0,1)                                   (14) 
 
                                                           
2
 Nella Teoria della probabilità, una martingala è un processo stocastico X
t
, indicizzato da un parametro 
crescente t (spesso interpretabile come tempo), con la seguente proprietà: per ogni s≤t , l'attesa di X
t
 
condizionata rispetto ai valori diXr, r ≤ s, è uguale ad X
t
. Il più noto esempio di martingala, in cui il 
parametro s è continuo, è senz'altro il moto browniano.
16 
 
I risultati ottenuti suggeriscono quindi di scegliere una frequenza di 
campionamento più grande possibile.  In questo caso, però,  si incorre in un 
errore causato dalla microstruttura del mercato e ci si trova ad affrontare il 
trade-off tra accuratezza, ottenuta attraverso un’alta frequenza di 
campionamento, ed errore di microstruttura. Quindi la volatilità realizzata può 
essere uno stimatore non robusto di IV in presenza di tali errori. 
Un approccio differente dalla stima della volatilità integrata è quello offerto 
dai lavori di Malliavin e Mancino(2002) i quali utilizzano la trasformata di 
Fourier per costruire un nuovo stimatore definito da: 
                                       
 
 
 
   
 
  
   
      
 
 
                      (15) 
 
Dove a
s 
e b
s 
 sono le stime del coefficient di Fourier, calcolati a partire dai 
prezzi dopo averli normalizzati nell’intervallo [o,2π] e S = 
 
 
 dove n è il 
numero di transazioni infragiornaliere. 
Tale stimatore risulta invece robusto nonostante la presenza di errore che si 
manifesta tipicamente alle alte frequenze di campionamento. 
Un ulteriore contributo, nell’ambito di ricerca di una soluzione attraverso uno 
stimatore efficiente utilizzando tutti i dati a nostra disposizione è offerta da 
Zhang et al. (2005) che hanno proposto uno stimatore della volatilità 
realizzata (RV
(TTSE)
) che combina due quantità basate su due scale temporali 
differenti: RV
(AVG)
 che indica la media delle volatilità realizzate calcolate su 
una scala temporale “lenta”, ad esempio considerando i prezzi ogni 5 o15 
minuti; RV
t
, la volatilità calcolata usando tutti i dati a nostra disposizione 
(scala temporale “veloce”), opportunatamente pesata in base a un fattore che 
dipende dal numero di osservazioni. 
 
                                       RV
(TTTS)
= RV
(AVG)
 – 
  
 
 RVt                                (16)