Computabilità su spazi topologici a base numerabile

Capitolo 1Il Campo <
\Bitte vergialles, was Du auf der Schule gelernt hast; denn Du hast es nichtgelernt."1[E.Landau]Un insieme (K;+; ;), sul quale sono state denite le operazioni binarie + e  ed una relazionebinaria ,e detto insieme dei numeri reali se e solamente se soddisfa la condizioni di essereun campo, ordinato e completo,ovverosia se risultano vericati gli assiomi:(A1) Campo: (K;+; )e un campo;(A2) Ordine:  e un ordinamento lineare compatibile con  e+;(A3) Completezza: ogni sottoinsieme non vuoto di K inferiormente limitato ha estremoinferiore.Gli assiomi (A1)


(A3) si possono esplicitare in un opportuno linguaggio del prim'ordine, dandoluogo ad una teoria (classica). Studieremo tre possibili modelli della teoria, dimostrando che essisono tra loro isomor: Le sezioni di Dedekind; Le successioni di Cauchy; Gli intervalli incapsulati.1Per favore dimenticate tutto quello che avete imparato a scuola perche non lo avete imparato.
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1 { Il Campo <1.1 Sezioni di Dedekind1.1.1 DenizioniDenizione 1.1.1 (Sezione di Dedekind ) Si denisce Sezione di Dedekind una partizio-ne di Q in due insiemi A e B tali che:
i) Ogni elemento di A e minore di ciascun elemento di B;ii) B non ha minimo.Sia S =(A;B) una sezione di Dedekind, risulta evidente che essa e univocamente determinatadalla coppia (A;B) degli insiemi che la costituiscono, ciascuno dei quali determina in modo unicol'altro, e che vengono detti rispettivamente insieme sinistro e destro della sezione. Con l'ausiliodelle sezioni deniamo l'insieme dei numeri reali.Denizione 1.1.2 (L'insieme dei numeri Reali) Deniamo insieme dei numeri realiS = f(A;B) j (A;B) e sezione di Dedekind gChiamiamo numero reale una sezione appartenente a questo insieme.1.1.2 Immersione di Q in SL'insieme dei numeri razionali Q e immerso in S mediante la mappaMap1 :Q ,!Sche associa a ciascun numero razionale q la sezione q =(Aq;Bq) denita daAq = fr j r 2Q^qrge Bq=fsjs2Q^q<sgUna sezione individuata mediante questa mappa viene detta razionale,ede facile osservareche condizione necessaria e suÆciente aÆnche una sezione sia razionale eche il suo insieme disinistra abbia massimo. La mappa risulta chiaramente iniettiva, in quanto a razionali diversicorrispondono dierenti insiemi destri e sinistri e quindi sezioni dierenti.1.1.3 Il campo delle sezioni di DedekindPrevia denizione delle opportune operazioni binarie interne di somma e prodotto, si dimostrache l'insieme (S;+; )e dotato della struttura di campo, soddisfando l'assioma (A1). Esulandoquesta dimostrazione dagli scopi prepostici diamo qui solo un' accenno di come possono essere3
1 { Il Campo <denite tali operazioni e quali problemi si possono incontrare nella verica delle proprieta dicampo.La somma di due numeri reali a =(Aa;Ba)eb=(Ab;Bb)sipuo denire come la coppia diinsiemi (Aa+b;Ba+b)dove gli insiemi destro e sinistro sono rispettivamente deniti daBa+b = fr + s j r 2 Ba ^ s 2 Bbg e Aa+b = Q=Ba+bTale coppia soddisfa la denizione 1.1.1 ed e quindi una sezione, percio la somma cosintrodottae ben denita. Inoltre la sua restrizione a Q (immerso in S mediante mappa Map1) coincide conl'usuale somma denita sui razionali.Maggiori diÆcolta si incontrano arontando la denizione del prodotto di due numeri reali,perche la coppia di insiemi cui viene naturale fare riferimento, ovverosiaBab = fr  s j r 2 Ba ^ s 2 Bbg e Aab = Q=Babrisulta denire una sezione solo nel caso in cui a e b sono entrambi positivi (o nulli). Per ovviarea cioe suÆciente osservare che ogni numero reale a puo essere espresso come dierenza di duenumeri reali u; v positivi (o nulli). Denendo allora la coppia di insiemi (Aab;Bab) comeBab = fr  r0 + s  s0  r  s0  s  r0 j r 2 Bu;s2Bv;r02Bu0;s02Bv0ge Aab=Q=Bab(dove u; v; u0;v0 sono i numeri positivi (o nulli) dierenza dei quali e possibile esprimere a e b )otteniamo una sezione per qualunque a e b (in particolare si osservi che, se a e b sono entrambipositivi o nulli, semplicemente considerando u = a; v =0eu0=b; v0 = 0, la nostra denizionecoincide con quella intuitiva), quindi il prodotto e ben denito. Inoltre la sua restrizione a Qcoincide con l'usuale prodotto denito sui razionali.1.1.4 Ordine su SIl secondo passo che arontiamo e di denire sull'insieme S una relazione d'ordine che risulticompatibile con le due operazioni +; .Per fare questo si ricordi che, essendo ciascuno dei due in-siemi della partizione univocamente determinato dall'altro, e suÆciente imporre un'ordinamentosu uno dei due per ottenere un'ordine sulla sezione intera. Si osservi che un numero reale puoessere considerato tanto piu piccolo quanti piu elementi sono contenuti nell'insieme di destradella sezione che lo rappresenta, che, per il signicato che gli attribuiamo, e quello che raccoglie inumeri razionali maggiori esso. Facendo riferimento alla usuale nozione di inclusione insiemisticapossiamo percio scrivere: 4
1 { Il Campo <Proposizione 1.1.3 (Relazione d'ordine S ) Sia S la relazione binaria su S denita, perogni (Aa;Ba), (Ab;Bb)2S,da(Aa;Ba)S (Ab;Bb) () BbBaDimostrazione. Per dimostrare che si tratta di una relazione d'ordine dobbiamo dimostrareche e relazione Ri
essiva; Antisimmetrica; Transitiva.E relazione ri
essiva in quanto 8(Aa;Ba)2S BaBaE relazione antisimmetrica in quanto(Aa;Ba)S (Ab;Bb)^(Ab;Bb)S (Aa;Ba) ) BbBa^BaBb) Bb=Ba) (Aa;Ba)=(Ab;Bb)
E relazione transitiva in quanto(Aa;Ba)S (Ab;Bb)^(Ab;Bb)S (Ac;Bc) ) BbBa^BcBb) BcBa) (Aa;Ba)S (Ac;Bc) 2La relazione d'ordine cos posta coincide, se ristretta all'inisieme Q, con l'usuale nozionedi ordinamento sui razionali, ed inoltre e immediato mostrare che risulta compatibile con leoperazioni di somma e prodotto denite in 1.1.3.1.1.5 Proprieta di chiusuraIl procedimento utilizzato per ottenere l'insieme dei numeri reali a partire da sezioni razionali echiuso, nel senso che, iterando nuovamente la costruzione su S riotteniamo S.
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1 { Il Campo <Deniamo su S il concetto di sezione reale semplicemente traslando in questo campo ladenizione 1.1.1. Dato un numero reale 
, consideriamo la sezione reale(f(Aa;Ba)2Sj(Aa;Ba)S
g;f(Ab;Bb)2Sj(Ab;Bb)>S
g)Essendo Q denso in S possiamo sempre trovare una sezione(fr 2Qj(Aa;Ba)<SMap1(r)S 
g;fq2Qj(Ab;Bb)>SMap1(q)>S 
g)Ma allora , siccome tale sezione individua 
, altro non potra fare quella reale denita poco sopra.Questa nozione di chiusura, d'altro canto, risulta dalle parole stesse di Dedekind:\Seipunti di una linea vengono divisi in due classi, in modo tale che ciascun puntodella prima classe cada a sinistra di ogni punto della seconda classe, allora esiste ununico punto di divisione che produce questa particolare suddivisione in due classi,questo sezionamento della linea in due parti. "21.2 Successioni di CantorIn accordo con l'idea di Cantor deniamo i numeri reali come successioni convergenti di numerirazionali. In pratica consideriamo ogni numero reale come limite di una successione di numerirazionali, nella quale la distanza (dierenza) tra due termini successivi diviene ad un certo puntoarbitrariamente piccola. La denizione cos posta deve tenere conto della possibilitache piu di unasuccessione converga al medesimo limite, quindi, in particolare, considereremo i numeri reali comeclassi di equivalenza di successioni razionali convergenti, denendo equivalenti quelle successionila cui successione delle dierenze tende al limite razionale 0.1.2.1 DenizioniIniziamo con il denire i concetti di successione fondamentale, convergente a limite razionale epositiva.Denizione 1.2.1 (Successione razionale fondamentale) Una successione razionale (rn) edetta fondamentale se, presa una quantita positiva razionale  arbitrariamente piccola, esisteun indice per cui termini successivi di indice maggiore ad esso dieriscono tra di loro per unaquantita minoredi, in formula:(8 2Q)(>0)(9k)(8p;m  k)(j rp  rm j< )2R.Dedekind Stetigkeit und irrationale Zahlen, Braunschhweig 1872, 106
1 { Il Campo <Denizione 1.2.2 (Successione convergente razionalmente) Una successione razionale(rn) e detta convergente ad un limite razionale `, e si scrive(rn) ! ` oppure anche limn!1(rn)=`se, presa una quantita positiva  arbitrariamente piccola, esiste un indice k per cui termini diindice maggiore a k dieriscono da `, che viene detto limite,per una quantita minore di , informula: (8 2Q)(>0)(9k)(8p  k)(j rp  ` j< )E immediato vericare che il limite razionale di una successione razionale, se esiste, e unico.Denizione 1.2.3 (Successione Positiva) Una successione razionale (rn) e detta positiva seesiste un numerorazionale  strettamente positivo tale che rn >per \quasi tutti" gli indici ndella successione (ovveroper tutti tranne un numero nito di essi).Denizione 1.2.4 (Successione Nulla) Una successione razionale (rn) e detta nulla se con-verge al numerorazionale 0.Consideriamo l'insieme di tutte le successioni fondamentali. Esse formano la classeF = f(rn) j (rn)e successione fondamentalega cui si puo dare la struttura di anello denendo, sui termini delle successioni in F , le dueoperazioni binarie +F e F in modo tale che, per ogni (rn); (rs) 2F, si abbia(rn)+F(sn) = (rn+sn)(rn)F(sn) = (rnsn)Analizziamo due particolari sottoinsiemi di F , il sottoinsieme P delle successioni positiveedNdi quelle nulle, entrambi dotati di alcune importanti proprieta, ed entrambi utili per denire iconcetti di equivalenza ed ordinamento. Tali sottoinsiemi sono rispettivamente deniti daN = f(rn) j (rn) 2F^(rn)!0geda P=f(rn)j(rn)2F^(rn)e successione positiva ged entrambi risultano essere insiemi ideali in F , ovverosia chiusi rispetto all' operazione disomma tra elementi in F , ed a prodotti arbitrari. Gli insiemi P e N risultano essere disgiunti7
1 { Il Campo <e, chiamando P il complemento di P rispetto ad F privato di N , possiamo esprimere F comeunione P [ N [P. Inoltre, denendo opportunamente la somma tra elementi, e possibile di-mostrare che anche P[Ne un ideale.Si tratta quindi di introdurre su F un concetto di equivalenza, cosa che facciamo ricorrendo,come giaanticipato, alle successioni nulle. Diciamo che due successioni sono equivalenti quandola successione delle loro dierenze enulla.Proposizione 1.2.5 (Equivalenza in F) Sia F la relazione binaria su F denita, per ogni(rn),(sn) 2F,da (rn)F(sn)()(rnsn)2N:Allora F erelazione di equivalenza.Dimostrazione. Si tratta di dimostrare che la relazione F ediequivalenza, cioe gode delleproprieta Ri
essiva; Simmetrica; Transitiva.E relazione ri
essiva in quanto 8(rn) 2F(rn)(rn)=(rnrn)=(0;0;0;0


)!0E relazione simmetrica in quanto(rn)F (sn) ) (rn  sn) 2N) (82Q)(>0)(9k)(8p  k)(j rp  sp  0 j<)) (82Q)(>0)(9k)(8p  k)(j sp  rp j<)) (sn)F(rn)
E relazione transitiva in quanto(rn)F (sn) ) (rn  sn) 2Ned inoltre (sn)F (tn) ) (sn  tn) 2Nquindi (rn)F(sn) ^ (sn)F (tn) ) (8 2 2Q)(>0)(9k1)(8p  k1)(j rp  sp j< 2) ^8
1 { Il Campo <
(8 2 2Q)(>0)(9k2)(8p  k2)(j sp  tp j< 2)) (8p  max(k1;k2))(j rp  tp j< 2 + 2 <)) (rn)F(tn) 2La relazione di equivalenza cos posta permette di identicare le classi di equivalenza individ-uate da ciascun elemento, in particolare, per ogni (rn) 2F(rn) = f(sn)j(sn)2F^(rn)F(sn)g= f(sn)j(sn)2F^(rnsn)2Ng= f(rn)+F(sn)j(sn)2Ng= (rn)NUna volta individuate le classi di equivalenza e possibile denire l'insieme dei residui modulo lesequenze nulle come la collezione di tutte queste possibili classi, indicato secondo la notazionealgebrica F=N . Questo insieme sara oggetto del nostro studio in quanto esso viene identicatocon l'insieme dei numeri reali.Denizione 1.2.6 (L'insieme dei numeri reali) Deniamo insieme dei numeri reali l'in-sieme F=N dei residui modulo le sequenze nulle. Chiamiamo numero reale una classe di equiv-alenza appartenente a questo insieme.1.2.2 Immersione di Q in F=NL'insieme dei numeri razionali Q e immerso in F=N mediante la mappaMap2 :Q ,!F=N denita da Map2 = I Ædove  : Q ,!Fe l'iniezione che associa ad un qualunque r 2Qla successione costante (r;r;


), edI : F!F=Nela proiezione canonica che associa a ciascuna successione in F la classe di equivalenza dicui essa e rappresentante. La mappa cos denita echiaramente iniettiva, in quanto a razionalidierenti vengono associate classi di equivalenza diverse.9
1 { Il Campo <1.2.3 Il campo delle classi di resto modulo sequenze nullePrevia denizione delle opportune operazioni binarie interne di somma e prodotto, si dimostrache l' insieme (F=N ;+; )e dotato della struttura di campo, soddisfando l'assioma (A1). Diamoqui solo un'accenno di come possono essere denite tali operazioni, non essendo nostro obiettivotale dimostrazione. Dalla considerazione che N e ideale in F segue che le classi possono esseresommate e moltiplicate in modo naturale, sfruttando le operazioni denite sull'anello F e ponendo(rn)+F=N(sn)=((rn)N)+F=N ((sn)N)=((rn)+F(sn))N=(rn+sn)Ne (rn)F=N(sn)=((rn)N)F=N ((sn)N)=((rn)F(sn))N=(rnsn)NLe operazioni cos denite coincidono, se ristrette a Q (immerso in F=N da Map2), con le usualioperazioni di somma e prodotto dei razionali.1.2.4 Ordine su F=NEssendo stato soddisfatto l'assioma (A1), passo successivo sara la denizione di una relazioned'ordine sul campo F=N che lo renda ordinato nel rispetto dall'assioma (A2). Per fare cio, comeanticipato, facciamo ricorso all'insieme delle successioni positive. Intuitivamente infatti, possiamoconsiderare una successione maggiore od uguale ad un'altra se la successione delle loro dierenzee una successione positiva o al piu nulla, cioe se da un certo punto in poi i termini delle duedivengono indenitamente vicini o dieriscono di una quantita positiva.Proposizione 1.2.7 (Relazione d'ordine ) Sia F=N la relazione denita, per ogni (rn),(sn)2F=N,da (rn)F=N(sn)()(snrn)2P[NAllora tale relazione ediordine su F=N .Dimostrazione. Si osservi innanzitutto che, essendo F=N l'insieme dei residui modulo N ,i suoi elementi sono classi di equivalenza (ovvero insiemi di successioni), per questo motivo enecessario mostrare innanzitutto che F=N e ben posta, ovverosia che non dipende dalla sceltadei rappresentanti (rn)ed(sn) delle rispettive classi di equivalenza.Per fare questo, siano (rn)ed(sn) rappresentanti delle classi (rn)e(sn) e tali che (rnsn) 2P[N.Allora, dati (rn0)ed(sn0) rappresentanti delle medesime classi, possiamo scrivere(r0n  s0n)=(rnN)(snN)=(rnsn)2P[N:10
1 { Il Campo <Non dipendendo dalla scelta del rappresentante, la relazione risulta \ben posta" e possiamoriferirci ad una classe parlando semplicemente di un suo qualsiasi elemento.Siano dati (rn); (sn); (tn) 2 F=N per dimostrare F=N e una relazione d'ordine dobbiamomostrare che e relazione Ri
essiva; Antisimmetrica; Transitiva.E relazione ri
essiva in quanto8(rn) 2F(rnrn)2NP[Nquindi (rn) F=N (rn):E relazione antisimmetrica in quanto(rn) F=N (sn) ^ (sn) F=N (rn) ) (sn  rn) 2P[N^(rnsn)2P[N) (rnsn)2N) (rn)F(sn)) (rn)=(sn)
E relazione transitiva in quanto(rn) F=N (sn) ^(sn) F=N (tn) ) (sn  rn) 2P[N^(tnsn)2P[N) (snrn)+(tnsn)2P[N) (tnrn)2P[N) (rn)F=N(tn)
Il che conclude la nostra dimostrazione. 2L'ordine cos denito coincide, nella restrizione a Q, con l'usuale ordinamento sui razionali, erisulta essere compatibile con le operazioni di somma e prodotto denite nella sezione precedente.
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1 { Il Campo <1.2.5 Proprieta di chiusuraIl procedimento utilizzato per ottenere l'insieme dei numeri reali a partire da classi di equivalenzadi successioni fondamentali echiuso, nel senso che iterando nuovamente la costruzione su F=Nriotteniamo F=N . Come gia visto nel paragrafo relativo alle sezioni di Dedekind, questa proprietadi chiusura puo dimostrarsi ridenendo in F=N i concetti chiave (di successione e di convergenza)prima deniti sui razionali.Denizione 1.2.8 (Successione reale) Si denisce successione a termini reali,opiubre-vemente successione reale, una funzionern : I !F=Nda un insieme di indici I nel campo dei numeri reali.Considereremo sempre ! come insieme degli indici. Una succesione reale puo esere consideratacome una lista innita di elementi r1;r2;


 in F=N : Denotiamo con (rn) la successione, mentreindichiamo con rn l'n-esimo termine.La chiusura di F=N in funzione delle successioni reali si puo esprimere richiedendo che, se unasuccessione reale converge, il suo limite sia un numero reale. In altre parole e suÆciente mostrareche il criterio di convergenza di Cauchy, utilizzato implicitamente in precedenza per denirele successioni fondamentali di razionali, evalido in F=N .Proposizione 1.2.9 (Criterio di Cauchy in F=N ) Sia data una successione (rn) a terminireali. Allora essa converge se e solamente se, per ogni scelta di un numero  positivo, e semprepossibile trovare un indice k tale che, per ogni coppia di termini successivi di indice maggioredik,laloro distanza risulti minoredi.Dimostrazione. Essendo Q denso in F=N , per ogni termine rn della successione reale e semprepossibile trovare un qn razionale tale che j Map2(qn)rn j<F=N Map2(1n). E immediato mostrareche (qn)e successione fondamentale.Per costruzione di F=N abbiamo allora che (qn) convergera ad un reale , ma allora non potrafare altro nemmeno (rn), infatti scegliendo un'indice k suÆcientemente grande da assicurare che1n < 12 eche, per tutti gli indici n maggiori di k, si abbia j  Map2(qn) j<F=N 12, abbiamoche
j  rn jF=N j Map2(qn)rn j+ jMap2(qn) j<F=N Map2(1n + 12)<F=N Map2()(rileggendo in modo del tutto ovvio la denizione di successione convergente ed adattandola alcaso di termini in F=N ) 212
1 { Il Campo <1.3 Intervalli IncapsulatiL'idea di incapsulare intervalli di estensione sempre minore si trova da sempre in matematicaapplicata come metodo per ricavare valori approssimati (per esempio, approssimazioni della radicequadrata di 2 facendo uso di intervalli costruiti a partire da frazioni sessagesimali si trovano sindal tempo dei Babilonesi), ma ha anche una sua valenza teorica, in particolare per la denizionedei numeri reali, che motiviamo con le seguenti osservazioni.Si consideri una successione I1;I2;:::In;::: di intervalli presi sull'asse reale e si deniscaestensione di un intervallo il valore assoluto della dierenza degli estremi. Ponendo alcunecondizioni su questi intervalli (in particolare il fatto che la loro estensione tenda a 0 al cresceredell'indice, e che ciascuno di essi sia contenuto propriamente nell'intervallo che lo precede nellasuccessione) si puo far si che ciascuna di queste successioni identichi univocamente un puntodella retta reale.I numeri reali sono, in quest'ottica, successioni di intervalli incapsulati i cui estremi sononumeri razionali (o meglio classi di equivalenza di successioni di intervalli ).1.3.1 DenizioniIniziamo col porre la denizioni di successione di intervalli razionali incapsulati.Denizione 1.3.1 (Rete) Una successione di intervalli razionali incapsulati, detta piu breve-mente rete,e una successione ([rn;sn])n2! di intervalli [rn;sn] caratterizzata dai) rn;sn2Q;ii) (8n) [rn+1;sn+1]  [rn;sn];iii) Considerando le successioni razionali (rn); (sn) si ha che (snrn) ! 0 (secondo il concettodi convergenza espresso in 1.2.2)Analogamente a quanto fatto nelle sezioni precedenti possiamo considerare l'insieme di tuttele reti. Esse formano la classeII = f([rn;sn]) j ([rn;sn]) e una retegsulla quale sono denibili, per ogni ([rn;sn]); ([tn;un]) 2 II, le operazioni binarie di somma eprodotto ([rn;sn]) +II ([tn;un]) = ([rn + tn;sn+un])([rn;sn]) II ([tn;un]) = ([rn  tn;snun])
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1 { Il Campo <ed una relazione di equivalenza, considerando equivalenti due reti aventi sempre porzioni diintervallo in comune.Proposizione 1.3.2 (Equivalenza in II) Sia II la relazione binaria sull'insieme II deni-ta, per ogni ([rn;sn]) ,([tn;un]) 2II,da([rn;sn])II([tn;un]) () (8n)[rn;sn]\[tn;un] 6=;Allora II erelazione di equivalenza.Dimostrazione. Si tratta di dimostrare che la relazione II e di equivalenza, cioe gode delleproprieta Ri
essiva; Simmetrica; Transitiva.E relazione ri
essiva in quanto per ogni ([rn;sn]) 2IIe per ogni n si ha
[rn;sn]\[rn;sn]=[rn;sn] 6=;E relazione simmetrica in quanto([rn;sn])II([tn;un]) ) (8n)[rn;sn]\[tn;un] 6=;) (8n)[tn;un]\[rn;sn] 6=;) ([tn;un])II([rn;sn])
E relazione transitiva in quanto([rn;sn])II([tn;un]) ^([tn;un])II([vn;zn]) ) (8n)([rn;sn]\[tn;un] 6=;^[tn;un]\[vn;zn] 6=;)) (8n)([max(rn;vn);min(sn;zn)]  [rn;sn]^[max(rn;vn);min(sn;zn)]  [vn;zn])) (8n)[rn;sn]\[vn;zn] 6=;) ([rn;sn])II([vn;zn]) 214
1 { Il Campo <Possiamo quindi denire, per ogni rete ([rn;sn]) 2 II, la classe di equivalenza ([rn;sn]),ovvero l'insieme di tutte le reti che hanno sempre porzioni di intervallo in comune con essa.Denizione 1.3.3 (L'insieme dei numeri reali) Deniamo l'insieme dei numeri reali comel'insieme delle classi di equivalenza rispetto alla relazione II. Chiamiamo numero reale unaclasse di equivalenza appartenente a questo insieme.1.3.2 Immersione di Q in II=IIL'insieme dei numeri razionali Q e immerso in II=II mediante la mappaMap3 :Q ,!II=II denita da Map3 = I Ædove  : Q ,!IIe l'iniezione che associa ad un qualunque q 2Qla rete costante (In) denita da In =[q; q]perogni n,ed I:II !II=IIelaproiezione canonica che associa a ciascuna rete in II la classe di equivalenza di cui essae rappresentante. La mappa cos denita echiaramente iniettiva, in quanto a razionali dierentivengono associate classi di equivalenza diverse.1.3.3 Il campo dell'insieme quoziente II=IILe operazioni denite in 1.3.1 possono essere facilmente estese all'insieme II=II ponendo, perogni ([rn;sn]); ([tn;un]) 2II=II([rn;sn]) +II =II([tn;un]) = ([rn + tn;sn+un])([rn;sn]) II =II([tn;un]) = ([rn  tn;snun]):Esula dai nostri scopi dimostrare che, queste denizioni, sono tali da rendere II= II uncampo, soddisfando cos la richiesta dell'assioma (A1).1.3.4 Ordine su II=IIArontiamo il problema di denire un ordinamento degli elementi di II= II da cui risultiil soddisfacimento dell'assioma (A2). Considerando i numeri reali come classi di equivalenza di15