Cap.1-Introduzione alla caratterizzazione dei mezzi eterogenei
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sono ovviamente osservabili sperimentalmente solo ad un scala di osservazione molto
maggiore della scala microscopica alla quale è osservabile la struttura fine del
miscuglio. La sostituzione formale del mezzo originale con quello equivalente ha
senso solo se si è interessati al comportamento macroscopico del sistema e quindi si
vogliano trascurare tutti gli effetti dovuti all’effettiva strutturazione del mezzo.
Si possono tenere in considerazione una larghissima classe di misture in base alle
seguenti considerazioni: infatti possiamo immaginare diverse strutture e disposizioni
geometriche delle singole parti nella mistura: ogni parte puo’ essere completamente
casuale in forma e posizione, si possono avere sfere od altri solidi omogenei immersi
e disposti casualmente in una matrice differente oppure si puo’ considerare il caso di
disposizioni ordinate (reticolari) di particelle di mezzi differenti.
Inoltre i vari mezzi omogenei che compongono le misture potranno avere differenti
proprieta’: ciascun mezzo potra’ essere lineare o non lineare (a seconda che
l’equazione costitutiva sia lineare o meno dal punto di vista matematico) oppure
potra’ essere isotropo o anisotropo (a seconda che le proprieta’ fisiche del singolo
mezzo dipendano o meno dalla direzione spaziale considerata).
Per di piu’ ogni mistura puo' essere analizzata considerando una situazione piana
oppure una tridimensionale.
Proprieta' di misture fra mezzi omogenei isotropi lineari
In queste ipotesi, quale che sia la struttura geometrica della miscela, i seguenti
parametri si comportano, dal punto di vista matematico, nello stesso modo.
1) Permettivita’ elettrica in condizioni elettrostatiche.
2) Conducibilita’ elettrica in condizioni stazionarie.
3) Permeabilita’ magnetica in condizioni stazionarie.
4) Conducibilita’ termica in condizioni termostatiche.
5) Permettivita’ elettrica complessa in regime sinusoidale.
6) Conducibilita’ elettrica complessa in regime sinusoidale.
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Modelli validi per le varie miscele proposte:
Campo Scalare
Incognito
Equazione delle
Singole Regioni Equazione all’Interfaccia
1 Potenziale
Elettrico
∇=
2
0V
εε
1
1
2
2
dV
dn
dV
dn
=
2 Potenziale
Elettrico
∇=
2
0V
σσ
1
1
2
2
dV
dn
dV
dn
=
3 Potenziale
Magnetico
Scalare
∇ =
2
0V
m
µµ
1
1
2
2
dV
dn
dV
dn
mm
=
4 Temperatura
Stazionaria
∇=
2
0T
k
d T
dn
k
d T
dn
1
1
2
2
=
5 Potenziale
Elettrico
Complesso
∇ =
•
2
0V
ε
σ
ω
ε
σ
ω
1
1
1
2
2
2
+
=+
••
j
dV
dn j
dV
dn
6 Potenziale
Elettrico
Complesso
∇ =
•
2
0V
()()σωε σωε
11
1
22
2
+=+
• •
j
dV
dn
j
dV
dn
Le prime quattro situazioni sono rigorosamente verificate dal punto di vista
matematico mentre le ultime due sono verificate soltanto quando la lunghezza d’onda
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del campo elettromagnetico che interviene è molto maggiore delle dimensioni delle
singole parti omogenee del miscuglio: in tal modo ciascuna parte vede praticamente
un campo stazionario e non risente degli effetti della propagazione.
In tali ipotesi le equazioni fondamentali del problema sono in effetti tutte
formalmente analoghe: questo significa che e' possibile impostare un’unica analisi
matematica dalla quale si trovano risultati utili in ogni circostanza. Se f e' il generico
campo scalare e p il generico parametro da studiare siamo nella situazione seguente
dove ogni volumetto ha una p costante: ciascuna zona è caratterizzata da un
parametro differente e da una distribuzione del campo scalare f; tale campo
(potenziale, temperatura ecc.) sarà armonico all’interno delle singole regioni e
rispetterà la generica equazione all’interfaccia cioè sarà continua la derivata normale
del campo stesso moltiplicata per il parametro caratteristico della regione. Infine il
problema dal punto di vista matematico sarà completamente impostato quando si
fisseranno anche le condizioni al contorno per il mezzo complessivo che in generale
saranno di tipo misto: in alcune zone della frontiera sarà assegnato il valore del
campo f stesso (condizioni di tipo Dirichlet) ed in altre zone sarà assegnata la derivata
normale di tale campo (condizioni di tipo Neumann). Questo completa l’impostazione
matematica del problema e si avrà unicità della soluzione per il campo scalare nelle
varie regioni. Il problema della caratterizzazione delle misture è quello di trovare un
valore equivalente del parametro caratteristico che attribuito ad un mezzo omogeneo
uguale dal punto di vista geometrico a quello originale non crei variazioni osservabili
dall’esterno, al di fuori della frontiera.
Graficamente il sistema si può rappresentare come segue:
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Vi sono altri parametri fisici (quali le costanti di Lame' in teoria dell'elasticità' lineare
o la prima e seconda viscosità nella teoria dei fluidi) che non si comportano
esattamente come i precedenti: in tale caso in generale i risultati trovati non sono piu'
veri esattamente ma talvolta approssimano bene la realtà. In questa sede comunque
non ci occuperemo di tali proprietà fisiche.
Materiali Intelligenti (Smart Materials)
I materiali intelligenti sono una classe di mezzi eterogenei che presentano la
caratteristica di auto-adattarsi agli stimoli esterni. Tale proprietà mediante due
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particolarità: la strutturazione mediante sensori che permette di osservare lo stato del
mezzo stesso e di misurarne caratteristiche precise, la presenza di attuatori che
permettono di modificare talune proprietà del mezzo; la cooperazione intelligente di
sensori ed attuatori permettono di ottenere materiali che si adattino in modo
automatico all’ambiente circostante e presentano quindi un grande interesse per le
applicazioni pratiche. La presenza di questi sensori o attuatori (che talvolta possono
essere proprio una parte integrante della struttura microscopica del materiale stesso)
fanno si che i mezzi intelligenti siano eterogenei e quindi un ottimo esempio di
materiali studiati in questa sede. Nei prossimi paragrafi riportiamo a titolo
informativo alcune caratteristiche dei materiali intelligenti più diffusi nella tecnologia
moderna.
Materiali a memoria di forma (Shape Memory Materials)
Si tratta di mezzi che hanno la forma e varie caratteristiche meccaniche fortemente
dipendenti dalla temperatura; alcuni oggetti deformati plasticamente, a basse
temperature ed in particolari condizioni, possono ritornare alla forma originale
quando viene rimossa l’azione meccanica deformante e quando viene applicata una
certa quantità di calore. Sebbene tale meccanismo non sia ancora perfettamente
spiegato, alcune leghe che presentano tale fenomeno sono largamente usate nella
progettazione di materiali intelligenti. Tali materiali includono principalmente tre
categorie:
- Shape-memory alloys (SMA)
- Shape-memory hybrid composites (SMHC)
- Shape-memory polymers (SMP)
Una delle leghe più usate che esibisce tale comportamento è quella tra Nichel e
Titanio (Nitinol). Deformazioni fino a circa l’8% possono essere completamente
eliminate con somministrazione di calore.
Tra i mezzi ibridi composti più interessanti si ricorda il seguente: l’inserimento di una
schiera regolare di cilindri (a sezione quadrata o circolare) di SMA (per esempio
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Nitinol) in un mezzo continuo permette di controllare con la temperatura le proprietà
meccaniche globali della struttura. Tali fibre possono essere usate sia come sensori
che come attuatori.
Si ottengono così materiali eterogenei aventi periodicità nella struttura esattamente
come quelli che verranno studiati in questa sede in un capitolo seguente.
Materiali polimerici, infine, possono essere usati come memorie elastiche, visto che il
loro modulo di elasticità varia largamente e reversibilmente al variare della
temperatura.
Materiali Piezoelettrici
Sono particolari materiali che trasducono potenziali elettrici in forze meccaniche e
viceversa; i tipici materiali piezoelettrici sono le ceramiche ferroelettriche che
trovano grandissime applicazioni nelle strutture intelligenti. Con disposizioni
periodiche di sensori piezoelettrici si possono misurare con precisione pressioni e
deformazioni, inoltre tramite attuatori si controlla la risposta vibrazionale di un
mezzo continuo. In ogni caso si generano strutture periodiche di mezzi differenti che
nelle applicazioni dovranno essere modellate tramite mezzi omogenei equivalenti.
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Fibre Ottiche
Il campo della tecnologia dei sensori è stato completamente rivoluzionato con
l’introduzione delle fibre ottiche. Tali fibre possono intervenire nella sensoristica in
due modi differenti: estrinseco ed intrinseco. L’intervento estrinseco delle fibre le
limita ad agire come mezzo di trasmissione dei segnali (prodotti in generale da altri
sensori) all’interno dei materiali intelligenti, nel tipo intrinseco le fibre funzionano sia
come mezzo trasmissivo sia come trasduttori di grandezze fisiche.
Infatti l’immersione di fibre ottiche, disposte regolarmente in un materiale, permette
di misurare una larga classe di grandezze fisiche descriventi il mezzo stesso: forze
esterne applicate inducono birifrangenza, variazione di temperatura producono
variazioni dell’indice di rifrazione, campi elettrici e/o magnetici inducono effetti
elettro-ottici e/o magneto-ottici, flessioni inducono effetti piezoelettrici ecc.
Per esempio nella figura seguente si ha un uso intrinseco delle fibre ottiche per la
valutazione degli effetti di deformazione generati da un carico su di una lamina:
Un uso estrinseco più semplice è quello rappresentato nella seguente figura dove le
fibre ottiche permettono di trovare rotture in una struttura meccanica:
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Fluidi elettroreologici
La proprietà fondamentale è che la viscosità varia fortemente con l’intensità di un
campo elettrico applicato. Quando il campo è applicato (intensità di circa 4kV/mm) la
viscosità può essere molto alta ma il materiale risulta molto fluido eliminando il
campo elettrico. Hanno un tempo di risposta tipico di pochi millisecondi. Si tratta di
sospensioni di particelle sferiche idrofile in una matrice liquida idrofoba. Infatti con
l’aumentare del campo elettrico si ha una aggregazione delle sfere in catene lineari
(chaining) che limita la mobilità del fluido. Il calcolo della conducibilità equivalente
al variare del campo e cioè della posizione delle sfere è importante per la valutazione
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della potenza dissipata nel fluido stesso ed il conseguente aumento di temperatura. Le
versioni più antiche dei fluidi reologici avevano infatti temperatura di funzionamento
abbastanza limitata (circa 80°C); le particelle nelle versioni più recenti sono basate su
polimeri, minerali e ceramiche e possono anche raggiungere temperature più elevate
(200°C).
Nelle figure seguenti si vedono due fotografie di un fluido elettroreologico: la prima
rappresenta una situazione senza campo elettrico applicato e le particelle si vedono
libere di muoversi nella matrice liquida, nella seconda le particelle sono legate in
catene e limitano la viscosità del fluido.
Nelle figure seguenti si trovano invece due applicazioni dei fluidi elettroreologici:
nella prima si vede una elettrovalvola che controlla il flusso di un fluido
elettroreologico sfruttando la possibilità di aumentare la viscosità con campo
elettrico applicato.
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Sotto si vede invece una frizione basata sulla viscosità dei fluidi reologici. Il campo
elettrico applicato mediante spazzole e collettori agli alberi di ingresso e di uscita
modula la fluidità del mezzo che si trova tra i due alberi stessi controllando l’attrito
fra essi:
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Misture lineari formate con cilindri (2D) o con
sfere (3D) in sospensione
L'analisi di questo tipo di mistura e' svolta con la metodologia proposta da Maxwell e
da Wagner. In origine si faceva riferimento alla permettività basandosi sui seguenti
punti :
- e' noto come un cilindro od una sfera dielettrici modificano un campo elettrico
uniforme preesistente.
- si considerano più cilindri o più sfere con l'ipotesi che essi modifichino il campo
indipendentemente e cioè che non interagiscano tra loro (miscela molto diluita).
- in queste ipotesi si determina la permettività equivalente della zona che contiene i
solidi in modo da ottenere il medesimo campo a grandi distanze.
Iniziamo a considerare il caso piano dei cilindri: trattiamo quindi il problema del
singolo cilindro dielettrico esposto a campo elettrostatico uniforme; a tal fine
ricordiamo le soluzioni dell’equazione di Laplace dentro e fuori ad un cerchio di
raggio R posto nel piano:
() ( )
()
ϕ+ϕρ=ϕρ
ϕ+ϕρ=ϕρ
∑
∑
∞+
=
−
+∞
=
0
0
sen
~
cos
~
,
sencos,
n
nn
n
f
n
nn
n
d
nBnAu
nBnAu
Si considera quindi un cilindro di raggio R avente permettività
2
ε in un mezzo
omogeneo
1
ε ; il campo preesistente sia ( )yxu ,
0
; il campo finale sarà:
() () () ( )
() () ()
++=+
++=+
=
∑
∑
∞+
=
−
+∞
=
0
00
0
00
sen
~
cos
~
,,,
sencos,,,
),(
n
nn
n
f
n
nn
n
d
fuorinBnAyxuuyxu
dentronBnAyxuuyxu
yxu
ϕϕρϕρ
ϕϕρϕρ
Cap.1 –Introduzione alla caratterizzazione dei materiali eterogenei
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con le condizioni al contorno di cui abbiamo già parlato in precedenza:
( )()
() ()[]
() ()[]
ρ∂
ϕ+ϕ∂
ε=
ρ∂
ϕ+ϕ∂
ε
ϕ=ϕ
,,
,,
,,
0
2
0
1
RuRu
RuRu
RuRu
f
d
fd
()yxu ,
0
si considera noto mediante i seguenti sviluppi:
() ( )
()
ϕ+ϕ=
ρ∂
ϕ∂
ϕ+ϕ=ϕ
∑
∑
∞+
=
+∞
=
0
0
0
0
sencos
,
sencos,
n
nn
n
nn
nGnF
Ru
nDnCRu
Si ottiene quindi un sistema nei coefficienti incogniti:
ε+ε=ε−ε
ε+ε=ε−ε
=
=
−
+
−
+
−
−
n
n
nn
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
BnRGB
R
n
G
AnRFA
R
n
F
BRBR
ARAR
1
22
1
11
1
22
1
11
~
~
~
~
le cui soluzioni si trovano semplicemente:
ε+ε
ε−ε
=
ε+ε
ε−ε
=
ε+ε
ε−ε
=
ε+ε
ε−ε
=
−−
++
n
G
R
B
n
F
R
A
n
G
RB
n
F
RA
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
21
21
1
21
21
1
21
21
1
21
21
1
11
~~
Se il campo è uniforme lungo l’asse y si ha:
() ϕρ−=−= sen,
000
EyEyxu
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e quindi il sistema si risolve ancora più semplicemente ottenendo:
ε+ε
ε−ε
−==
ε+ε
ε−ε
−==
0
21
21
1
0
21
21
2
1
0
~
0
~
EBA
ERBA
n
n
Il campo elettrico complessivamente viene deformato come segue:
+
−
+−
+
−
+−
=
fuori
R
yE
dentroyE
yxu
21
21
2
2
0
21
21
0
1
1
),(
εε
εε
ρ
εε
εε
Conoscendo tale deformazione dovuta ad un singolo cilindro è possibile costruire una
semplice teoria per misture di cilindri paralleli tra loro ed ortogonali al campo
elettrico: si considera un insieme di N cilindri tutti di raggio R disposti casualmente
(ma non troppo vicini tra loro per poter trascurare le reciproche interazioni) entro una
circonferenza di raggio R>>ℜ ; essi hanno tutti permettività
2
ε in un mezzo
omogeneo di permettività
1
ε ; si vuole trovare la permettività equivalente da attribuire
al cilindro di raggio ℜ al fine di non cambiare la situazione relativa al campo
elettrico per grosse distanze dall’origine (centro di tale cilindro); ε sia tale
permettività equivalente.
Il campo all’esterno del cilindro maggiore si calcola come segue per quanto visto in
precedenza:
ε+ε
ε−ε
ρ
ℜ
+−=
1
1
2
2
0
1),( yEyxu
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Ma approssimativamente all’esterno di tale cilindro il campo si può scrivere come
somma dei contributi di tutti i cilindri di raggio R:
ε+ε
ε−ε
ρ
+−=
21
21
2
2
0
1),(
NR
yEyxu
Uguagliando le espressioni si ottiene:
ε+ε
ε−ε
=
ε+ε
ε−ε
1
1
21
21
2
v
Dove
22
2
/ℜ= NRv è la concentrazione del mezzo dei cilindri nella matrice omogenea.
Dopo alcuni conti si ottiene:
( ) ( )
()()
21221
21221
1
ε−ε+ε+ε
ε−ε−ε+ε
ε=ε
v
v
Le due precedenti sono due forme della relazione di Maxwell-Wagner.
Si può generalizzare con la presenza di cilindri di tipo differente nel seguente modo:
ε+ε
ε−ε
=
ε+ε
ε−ε
∑
=
n
k
k
k
k
v
1
dove:
ε= perm. mezzo originale (matrice omogenea)
ε
k
= perm. cilindri di tipo k
v
k
= frazione volumetrica cilindri di tipo k (<<1)
ε = perm. equivalente della miscele
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