Caratterizzazione di risuonatori magnetostatici e progetto di un oscillatore in banda Ku a film magnetici planari

3re magneti, meglio se permanenti che evitino l’ingombro di grossi
elettromagneti, sempre più potenti. Attualmente i nuovi compatti
magneti a barrette di neodimio-ferro-boro permettono di esplorare
la banda K, ma in letteratura già esistono linee di ritardo planari
fino a 40 GHz. La caratteristica più appetibile dei dispositivi ma-
gnetostatici, come si intuisce facilmente, è la loro accordabilità in
frequenza, attuata mediante il controllo del campo di polarizza-
zione in continua.
Il passo successivo è stato quello di migliorare la crescita epitas-
siale da fase liquida (LPE) dei cristalli, la loro qualità magnetica e
strutturale, permettendo di passare in modo definitivo da geome-
trie spiccatamente volumetriche, ampiamente esplorate e impie-
gate per dispositivi per strumentazione e sistemi di telecomunica-
zione di terra, a morfologie planari che tendono verso una più
accentuata integrabilità e miniaturizzazione di dispositivi più
complessi, quali oscillatori e banchi di filtri, che ne fanno uso, ad
esempio come elementi elimina banda o reti di retroazione. Il
maggiore inconveniente delle sferette resta l’accoppiamento col
trasduttore a microonde, che può essere una guida d’onda come in
cavità ferromagnetica (sorgenti a diodo Gunn), oppure due fili
percorsi da corrente formanti un sito circolare o semicircolare
dove alloggiare il dispositivo MSW. L’uso di film magnetici al
posto delle sferette permette evidentemente di diminuire la gap
dell’elettromagnete o dei magneti permanenti in cui è contenuto
l’oggetto, con conseguente risparmio sui valori di 
0
H  necessari
(magneti più piccoli e compatti a parità di intensità di campo).
Come accennato, il fenomeno fisico notevole nelle strutture fer-
rimagnetiche è il passaggio di un’onda di spin nel mezzo stesso
che possiede un elevato momento magnetico indotto netto. Come
prima schematizzazione si può immaginare che gli elettroni del
materiale, a causa della loro rotazione attorno al proprio asse
4(spin), generino un momento magnetico in ciascun dominio. La
risultante macroscopica di tale orientamento è rappresentata dal
vettore di magnetizzazione 
0M  allineato, in condizioni staziona-
rie, col campo forzante. Ogni eventuale applicazione di un vettore
perpendicolare alla magnetizzazione causerà un moto di preces-
sione di 
0M  attorno al suo asse di equilibrio statico, a frequenza
direttamente proporzionale all’intensità campo 
0
H  grazie al già
citato rapporto giromagnetico, che è legato strettamente alla
quantizzazione del momento magnetico elementare di ciascuna
particella carica in moto di rotazione intrinseco e di rivoluzione
attorno al nucleo dell’atomo a cui è statisticamente legata. Quan-
do la frequenza del segnale alternato, che provoca l’interazione
degli spin, eguaglia la frequenza naturale di precessione del mate-
riale, per un mezzo infinito (cioè nel limite del vettore d’onda
tendente a zero, oppure della lunghezza d’onda infinita),
l’interazione della materia con l’onda cresce notevolmente, assu-
mendo una chiara connotazione risonante. Le perdite a risonanza
sono molto basse, e l’YIG può funzionare bene nelle due configu-
razioni basilari nelle quali è stato maggiormente investigato e ar-
rangiato: come filtro a microonde passa banda realizzato a linea di
ritardo magnetostatica, visto cioè come un dispositivo due porte
in trasmissione, con perdite d’inserzione in banda passante di-
screte (IL=-10/-20 dB), oppure come filtro elimina banda visto in
riflessione, per quel che riguarda i risuonatori planari a geometria
più contenuta (filtri notch), esibenti larghezze di banda a 3 dB
dell’ordine delle decine di MHz.
Il parametro chiave che caratterizza un filtro risonante a YIG è il
fattore di merito 
0
Q  relativo alle perdite intrinseche del materiale,
quindi alla bontà dello stesso e, come vedremo, alla larghezza di
riga a risonanza ∆ H, e il fattore di merito esterno 
ext
Q , che si rife-
risce alla quantità di energia spesa nel circuito di accoppiamento.
5I valori di 
0
Q  che si misurano normalmente sono dell’ordine di
qualche migliaia; il fattore di qualità si può anche esprimere come
H
H
Q
∆
=
0
0
, con ∆ H la larghezza di riga a risonanza a 3 dB che va
tipicamente dai decimi di Oe (0.2 Oe) per campioni ottimi e di
qualità superiore, fino a 2-3 Oe, il che fa ottenere valori di 
0
Q ,
dati i valori del campo magnetico in gioco, di oltre 3000 per i
buoni risuonatori.
Questa ragguardevole prerogativa dei filtri a YIG è il caposaldo
per il progetto di oscillatori che richiedono reti di feedback ad alta
selettività e stabilità in frequenza, che dovrebbero assicurare, fe-
nomeni di pulling a lungo termine minori, e comportamenti del
rumore di fase confrontabili o migliori dei normali risuonatori a
pasticca di dielettrico, i quali in compenso mancano della peculia-
rità essenziale dell’accordabilità. Questo, ovviamente, dopo aver
tenuto debitamente in conto la dipendenza in temperatura di cui
sono notoriamente affetti i filtri a YIG, e che contraddistingue
ogni materiale che esibisce, a temperatura ambiente, proprietà
ferromagnetiche spontanee che vengono distrutte ad alte tempe-
rature.
In questo capitolo introduttivo ci si occuperà della crescita del
film magnetico da fase liquida, della misura della risposta in ca-
vità ferromagnetica, e delle sue proprietà basilari magnetiche, con
la definizione del tensore di suscettività magnetica che lega il
momento magnetico indotto al campo magnetico interno, e dei
vari tipi di onda magnetostatica eccitabili in un campione di di-
mensioni finite. Ci si sforzerà inoltre di aprire di tanto in tanto
finestre e presentare spunti di approfondimento su questioni anco-
ra aperte e particolarmente interessanti, sia dal punto di vista pu-
ramente scientifico che applicativo, cominciando ad esaminare in
dettaglio le novità di questo lavoro, che vuole essere anche un
6tentativo di riorganizzare tutta la materia più nuova in proposito, a
partire dagli articoli storici degli anni sessanta, con una speciale
attenzione rivolta ai risuonatori in regime lineare. Una colloca-
zione rilevante e ben amalgamata con la teoria la avranno le si-
mulazioni numeriche effettuate al calcolatore, di cui saranno dati
spunti operativi di grande impatto e, speriamo, utili, per un ap-
proccio più immediato al problema e alla sua comprensione.
71.1  Spin e magnoni
1.1.1 Definizioni preliminari
Le proprietà magnetiche dei materiali sono dovute quasi interamente al moto orbitale degli
elettroni e al loro spin 
1
. Si inizierà col riassumere brevemente le definizioni quasi classiche
del problema. Il momento magnetico elettronico è dovuto al moto di rivoluzione della parti-
cella in orbita circolare di raggio r attorno al nucleo, il cui modulo, in [Am
2
], è dato dalla leg-
ge della spira di corrente:
[1.1.1]
2
0
r
T
e
SI
m
⋅=⋅= piµ
con e la carica dell’elettrone, r è il raggio dell’orbita, e 
0
T  il periodo di rivoluzione. Tipica-
mente l’elettrone possiede due momenti angolari, il primo dei quali può essere descritto dalle
leggi classiche della dinamica, dovuto alla traiettoria nello spazio, l’altro, quello di spin, si
caratterizza solo in meccanica quantistica, ed è schematizzabile come il moto di una trottola
attorno al proprio asse di rotazione. Il momento angolare complessivo è la somma vettoriale
dei due.
[1.1.2]
2
2
2
0
!
=
⋅=×=
S
r
T
m
vmrb
e
e
pi
con b  antiparallelo a 
m
µ , e 
e
m  è la massa dell’elettrone. Il rapporto
m
µ / b =γ è il rapporto giromagnetico classico che vale γ/2pi = 14 GHz/T.
Se si svolgessero accuratamente i calcoli quantistici nei confronti delle pro-
prietà di spin, ci si accorgerebbe che il rapporto giromagnetico per lo spin,
cioè il rapporto tra il momento magnetico intrinseco e il momento angolare di spin, differisce
da quello orbitale per un fattore circa pari a 2 (γ
spin
/2pi = 28 GHz/T). In presenza sia di spin
che di momento angolare orbitale non nullo si può scrivere allora:
[1.1.3]
)2( Sb
m
+⋅= γµ
                                                          
1
 I momenti magnetici derivanti dalle particelle nucleoniche sono minori di un fattore di circa 1000
I
e
m
b
v
r
8Avendo definito il momento angolare totale come SbJ += , si vede che, 
m
µ  e J  a rigore
non sono più a priori paralleli o antiparalleli. Comunque si può dimostrare che soltanto la
componente di 
m
µ  parallela a J  ha un valore ben definito e misurabile; il rapporto tra i mo-
duli di 
m
µ  e J
[1.1.4]
e
m
m
e
g
J
2
==
µ
γ
e g è chiamato fattore di Landé ed è compreso tra 1 (S=0) a 2 (L=0). L’espressione generale
di g deve tenere conto di espressioni quantistiche e vale
[1.1.5]
()()
()12
11
2
3
+
+−+
+=
JJ
LLSS
g
Osserviamo subito che nei campioni di YIG il momento magnetico si manifesta a causa degli
ioni Fe
3+
 i quali non hanno momento angolare orbitale netto nel loro stato fondamentale
(L=0). Il momento magnetico dell’YIG è di conseguenza originato solo dallo spin con γ/2pi =
28 GHz/T. Infatti  per gli ioni ferro è 
2
5
=S  e J è il modulo di J , uguale anch’esso a 5/2 se
L=0, per cui, sostituendo le suddette quantità in [1.1.5], si dimostra che g= 2.
Quello che si è considerato finora sono solo i prodromi di un’analisi corretta che andrebbe
svolta in maniera più approfondita. Se si prendono in considerazione pienamente le relazioni
della meccanica quantistica, si vede che entra in gioco il concetto dei numeri quantici legato
al modello statistico dell’atomo di Bohr, e di probabilità legato al modulo quadro della fun-
zione d’onda, e il celebre fattore ! . In quest’ottica si elencano, senza dettagliare, un somma-
rio delle principali conclusioni a cui si arriva [7]:
• A causa del principio di indeterminazione è possibile specificare soltanto una componente
(di solito J
z
) del vettore tridimensionale J  e il suo valore quadratico medio (densità di
probabilità statistica) simultaneamente;
• Il valor medio di J
z
 vale !
m
µ , con 
m
µ  []JJ ,−∈ . Se si sostituisce !
m
µ nella [1.1.4] si
trova l’espressione di 
zm,
µ .
9Inevitabilmente si perviene alla conclusione che la quantizzazione del momento angolare or-
bitale (azimuth) costituisce la dimostrazione che anche il momento magnetico della particella
orbitante può assumere solo valori discreti in termini di una quantità di normalizzazione, indi-
cata convenzionalmente con il nome di magnetone di Bohr, sia per quel che riguarda il mo-
mento orbitale che per quello di spin, e vale
[1.1.6]
Gerg
m
e
e
B
/102741.9
2
21−
⋅==
!
µ
Le utili informazioni preliminari, cui è stato fatto solo un breve cenno in questa sezione, pos-
sono essere convenientemente riassunte in una tabella come promemoria.
Tabella 1a
momento di spin (angolare intrinseco)
zsS ˆ
2
!
±= ,   s= 1 per gli elettroni
momento orbitale (di rivoluzione)
zlL ˆ!=
S
L
momento magnetico di spin
Sm
ss
γ−=
momento magnetico orbitale
Lm
ll
γ−=
=
s
γ rapporto giromagnetico
e
m
eg
2
⋅
,  con g≈2
l
γ
e
e
m
eg
2
⋅
, con g
e
≈ ≈
2
g
1
momento meccanico complessivo
LS +
momento magnetico complessivo
ls
mm +
10
Dopo aver fornito le definizioni generali, ed aver inquadrato il problema magnetico dal punto
di vista microscopico e quantistico, si passerà brevemente allo studio dell’interazione tra spin
adiacenti e il passaggio di “onde di spin” nella materia a causa di un’eccitazione che vada a
modificare lo stato di uno spin.
1.1.2 Onde di spin nella materia. Dispersione
Consideriamo innanzitutto il fenomeno delle oscillazioni di un mezzo ferromagnetico immer-
so in un campo magnetico esterno. Sia 
s
m  il momento magnetico quantico del generico spin e
0
H  il campo d’eccitazione. L’energia d’interazione fra il campo magnetico e il momento di
spin è data dal prodotto scalare delle due quantità. Se assumiamo per semplicità che 
0
H  sia
parallelo a 
s
m , possiamo osservare agevolmente che l’energia avrà due livelli quantici per-
messi, e lo spin si disporrà in uno dei due stati ad energia minima. La transizione da uno stato
all’altro avverrà, come di consueto, con l’emissione (o l’assorbimento) di un quanto di ener-
gia 
0
ω!=∆E . Se applichiamo allora un campo esterno variabile H(t) di frequenza
000
Hγµω = , la materia
assorbirà energia elet-
tromagnetica che verrà
trasferita al sistema degli
spin, i quali risponde-
ranno alla eccitazione
passando (statistica-
mente) dallo stato 2 allo
stato 1 e viceversa (figu-
ra 1-1).
La pseudo-particella
elementare che regola i
fenomeni risonanti fer-
romagnetici e i trasferimenti di energia da un sistema elettromagnetico all’altro è il magnone.
Un magnone è un’onda di spin quantizzata. Un ferromagnete possiede un momento magneti-
co spontaneo anche in assenza di campi magnetici esterni applicati. Tale momento spontaneo
spin up
spin down
2
001
!
HE
s
µγ=
2
002
!
HE
s
µγ−=
E
0
ω!=∆E
Figura 1-1. Stato energetico a due livelli quantizzati
11
suggerisce la possibilità che i momenti magnetici e gli spin degli elettroni siano disposti in
maniera ordinata all’interno del campione. Si constata che l’ordinamento dei domini magneti-
ci non debba essere necessariamente di tipo semplice nei sistemi ordinati. Al di sotto di una
certa temperatura critica, tutti i momenti elementari interagiscono gli uni gli altri attraverso
una normale interazione dipolare di natura elettromagnetica. L’interazione che dà luogo
all’ordine degli spin, chiamata campo di scambio o campo molecolare è di alcuni ordini di
grandezza superiore (
7
10≈  G) e di origine quantistica; può essere vista come l’induzione ma-
gnetica che ciascun atomo sopporta all’equilibrio termico che, al primo ordine, può essere
valutata essere direttamente proporzionale alla magnetizzazione.
L’effetto macroscopico del campo di scambio è quello di orientare gli spin contro l’effetto
distruttivo dell’agitazione termica del reticolo (fononi), che tende a perturbare l’equilibrio,
fino all’avvenuto disordine del sistema, che avviene oltre la temperatura di Curie, quando il
materiale inizia a comportarsi come un paramagnete. In assenza di campi magnetici applicati
si riconosce il fenomeno dei domini magnetici, per cui l’ordine ferromagnetico si rompe in
sottosistemi complessi che rappresentano solo una piccola parte del campione (zone di qual-
che 
3
mµ ) che contengono molti momenti magnetici elementari, tutti allineati secondo dire-
zioni diverse tendenti, a temperatura costante, a minimizzare il momento magnetico globale e
quindi la magnetizzazione spontanea del mezzo.
Quando un campo esterno è applicato, i domini si allineano con la direzione del campo, il
quale, se è di forza sufficiente, ha l’effetto aggiuntivo di saturare magneticamente il campio-
ne, per cui un aumento ulteriore del campo non comporta un rafforzamento della magnetizza-
zione, e della comparsa di una suscettività scalare o tensoriale. L’applicazione del campo
Figura 1-2. Visualizzazione dei domini di Bloch all’interno di un campione
[6]
12
siti d
siti a
3Fe
3+
2Fe
3+
esterno provoca un movimento delle pareti separatrici di due domini, dette pareti di Bloch
(vedi figura 1-2), in modo da dar luogo all’accrescimento dei domini con magnetizzazione
parallela al campo, a spese dei domini con orientazione diversa, così da minimizzare l’energia
del sistema.
La magnetizzazione tenderà inoltre a disporsi preferenzialmente lungo certe direzioni cristal-
lografiche, nel senso che in tali direzioni si raggiunge la condizione di saturazione a valori di
campo applicato più basso che in altre direzioni. Oltre la temperatura critica, scompaiono i
domini magnetici, poiché l’orientamento dei momenti magnetici diventa disordinato; se il
materiale viene di nuovo raffreddato sotto la temperatura di Curie si ricostruiscono i domini,
ciascuno dei quali ripresenta una magnetizzazione orientata ancora una volta a caso rispetto ai
domini adiacenti.
Nei materiali ferrimagnetici il fenomeno di magnetizzazione è leggermente diverso: gli spin
degli atomi che compongono i domini magnetici adiacenti tendono ad orientarsi in maniera
differente l’uno dall’altro. L’ordine a lungo raggio può essere descritto in termini di due sotto-
reticoli ferromagnetici opposti. A frequenza di microonde o inferiore la magnetizzazione può
essere valutata come la differenza dei valori relativi a ciascun sottoreticolo. Se la magnetizza-
zione dei due sottoreticoli non è identica, il campione può essere schematizzato come un fer-
romagnete semplice, purché le interazioni a corto raggio che coinvolgono energie di scambio
tra gli spin siano trascurabili rispetto alle interazioni dipolo-dipolo, cioè a distanze molto
maggiori di quelle che coinvolgono i singoli dipoli magnetici. In termini di lunghezza d’onda
le relazioni di scambio entrano in gioco nei processi a lunghezze d’onda confrontabili con la
distanza tra due spin contigui ( a≈λ ), dell’ordine del parametro reticolare.
I cristalli singoli di YIG esibiscono un comportamento ferrimagnetico a due sottoreticoli. La
formula bruta è Y
3
Fe
5
O
12
 ed, essendo l’yttrio diamagnetico, solo i cinque atomi di ferro per
unità di formula contribuiscono al momento magnetico complessivo. Tre ioni ferro trivalenti
sono situati nei siti cristallini denotati con la lettera d, di tipo tetraedrico (vedi la figura 1-5
per lo schema reticolare) con spin S=5/2 e momento orbitale L=0,
sono con lo spin up, e due con i medesimi numeri quantici con lo
spin down e situati nei siti denominati a, del sottoreticolo ottae-
drico. Allo zero assoluto ogni ione ferro contribuisce per ± 5 ma-
gnetoni di Bohr alla magnetizzazione globale, per cui la risultante
13
è di 5
B
µ  per unità di formula, in accordo con le osservazioni sperimentali e le derivazioni
empiriche che vedremo più avanti a riguardo della dipendenza della magnetizzazione in fun-
zione della temperatura.
Ora si procederà molto sinteticamente alla descrizione della dispersione dei magnoni per in-
terazioni a cortissimo raggio, e della formazione di onde di spin, cioè eccitazioni elementari di
un sistema di spin. L’energia di interazione di ciascun spin con i primi vicini di natura quan-
tomeccanica, da Heisenberg, è possibile scriverla come sommatoria del prodotto dello spin i-
esimo con lo spin (i+1)-esimo:
[1.1.7]
∑
=
+
−=
N
i
iiex
SSJU
1
1
2
Qui 
ex
J  è l’integrale di scambio, N è il numero complessivo di spin del sistema, e 
i
S!  è il
momento angolare di spin dell’elettrone che si trova nel sito i-esimo. Nello stato fondamen-
tale gli spin sono tutti paralleli, e l’energia vale
[1.1.8]
()12
0
+−= SSNJU
ex
!!
Se ad esempio consideriamo, come eccitazione elementare, la cir-
costanza di uno spin che ha cambiato verso, il nuovo stato ener-
getico diventerà
[1.1.9]
()()() ()[]
()()412
1...1112
1
−+−=
=++++−+−+−=
NSSJ
SSSSSSSSJU
ex
ex
!!
!!!!!!!!
essendo ()1
1
+±=
+
SSSS
ii
!!  il prodotto quantistico dei numeri di spin. Allora abbiamo
()18
01
++= SSJUU
ex
!! ; il primo stato energetico permesso ha un’energia molto grande ri-
spetto al fondamentale, e non è dunque da preferire rispetto alla condizione di minimizzazione
dell’energia del sistema. Questa condizione, dinamica, è quella di precessione di ciascuno
a
Figura 1-3. Oscillazioni degli spin. V
f
 è la velocità di fase [8]
14
spin attorno alla posizione di stabilità, descrivendo superfici di coni, con lo spin immediata-
mente successivo con fase aumentata di una quantità costante (vedi fig. 1-3).
Si formano, come già accennato, oscillazioni delle posizioni relative degli spin nel reticolo a
frequenze che dipendono in modo non lineare dal numero d’onda k ( ≠ω cost k⋅ ). Il mezzo è
quindi dispersivo. Descriviamo ora i passi essenziali per ritrovare la relazione di dispersione.
Dalla equazione classica dei momenti scriviamo
[1.1.10]
ii
i
B
dt
Sd
×= µ!
con 
i
µ  il momento magnetico del sito i-esimo dato da
[1.1.11]
iBi
Sgµµ −=
I termini in [1.1.7] che coinvolgono il termine i-esimo sono
[1.1.12]
)(2
11 +−
+⋅−
iiiex
SSSJ
Sostituendo, dalla [1.1.11] l’espressione di 
i
S , si ottiene
[1.1.13]
iiiiBexi
BSSgJ ⋅−=+−⋅−
+−
µµµ )()/2(
11
da cui riconosciamo l’espressione del campo di scambio (o molecolare) 
i
B . Sostituendo tutto
nell’equazione dei momenti [1.1.10], prendendo le proiezioni sugli assi coordinati, lineariz-
zando il sistema per piccole ampiezze dell’eccitazione, e cercando soluzioni del sistema nella
forma di onde viaggianti 
()tnkaj
Ae
ω−
, con a il passo reticolare, dopo aver annullato il determi-
nante del sistema per estrarre le soluzioni non banali, si ottiene il risultato cercato:
[1.1.14]
))cos(1(4 kaSJ
ex
−=ω!
Per lunghezze d’onda grandi apiλ 2>>  la dipendenza di ω  da k è approssimativamente qua-
dratica, 
22
)2( kSaJ
ex
=ω!  e l’energia quantizzata di un modo magnetico a frequenza 
i
ω  con
i
n  magnoni è data da 
iii
nE ω!






+=
2
1
.
15
1.1.3 I cristalli e le loro proprietà magnetiche
I granati magnetici, dal punto di vista cristallografico, possiedono simmetria cubica ed hanno
formula generale ( )( )( )
12
2
22
1
11
2
222
1
111
2
22
1
11
......... OMMMMRR
m
n
m
n
m
nt
m
nt
rr +++
−
+
−
++
ρρ
 dove gli 
k
R
sono di solito yttrio o elementi delle terre rare, e gli 
h
M  sono elementi di transizione magne-
tici o diamagnetici di raggio atomico opportuno. I bilanciamenti stechiometrici richiedono
innanzitutto che 
∑
= 3
i
ρ  , 
∑
= 3
i
n  , ()
∑
=− 2
ii
nt ; inoltre la neutralità elettrica impone
che la somma di tutte le cariche elettriche cationiche eguagli le cariche negative dei 12 atomi
di ossigeno, che sono bivalenti: 24=+
∑∑ iiii
mtrρ .
La natura magnetica dei granati discende dalla collocazione dei cationi che possiedono un
momento magnetico nel reticolo, e più precisamente nei siti cristallini dei sottoreticoli ferro-
magnetici (struttura di Néel). La configurazione e la disposizione dei cationi deriva dalla forte
interazione di scambio che esiste tra i loro spin posizionati in punti diversi nel cristallo. I siti
cristallini in un granato sono tre: il dodecaedrico (sito c), l’ottaedrico (sito a) e il tetraedrico
(sito d), e si distinguono considerando la posizione del catione rispetto agli ossigeni circo-
Figura 1-4. Dispersione monodimensionale per magnoni in un ferromagnete
16
stanti.
Come si vede nella figura 1-5 al centro di ogni sito vi è il catione, e sugli spigoli degli stessi
vi sono i 24 anioni ossigeno, 12, 8, 4 per i siti c, a e d rispettivamente. Per l’YIG puro solo i
siti a e d sono occupati da ioni magnetici (Fe
3+
) con spin antiparalleli, perché l’yttrio è diama-
gnetico e occupa il sito c (vedi figura 1-6).
Infine la direzione cristallografica favorevole della
magnetizzazione è la [111], da cui discende che la
struttura cristallina dell’YIG è romboidale.
Dalla figura 1-7 si possono dedurre le posizioni
geometriche dei cationi e degli ossigeni. In un ot-
tante di cella elementare, cioè un cubetto di lato a/2
a corpo centrato con, in ciascuno spigolo, uno ione
“di tipo a”, i siti c e d sono allocati alternativamente
C D
A
Y
3+
Fe
3+
Fe
3+
Figura 1-5. Ottante del reticolo di un granato con visualizzazione dei sottoreticoli [5]
sito d: Tetraedrico a (0,1/4,3/8)
sito c: Dodecaedrico a (1/4,1/8,1/2)sito a: Ottaedrico a (0,0,1/2)
Figura 1-6. Disposizione dei cationi nei
sottoreticoli dell’YIG denominati a, c e d