CAPITOLO 1. INTRODUZIONE 2
sono caratterizzati da una capacita` che aumenta in maniera logaritmica al
crescere del rapporto segnale rumore (Tse e Viswanath [2005]). Quindi, al
fine di rispondere alle nuove richieste del mercato, tali sistemi richiedono un
aumento non trascurabile della potenza trasmissiva: a parte i limiti tecno-
logici esistenti, questa via rimane difficile da perseguire in quanto comporta
un aumento del rumore ambientale per i sistemi che operano nella medesima
banda. Le prime risposte alle nuove esigenze del mondo delle telecomuni-
cazioni sono venute con l’adozione di antenne multiple in ricezione (SIMO,
Single Input Multiple Output) o in trasmissione (MISO, Mutiple Input Sin-
gle Output): sfruttando la diversita` spaziale e` stato possibile migliorare le
prestazioni dei convenzionali sistemi SISO. Tuttavia, e` stato dimostrato che
la capacita` di un sistema SIMO cresce molto lentamente all’aumentare del
numero di antenne riceventi, mentre quella di un sistema MISO satura rapi-
damente al crescere del numero di antenne in trasmissione (Tse e Viswanath
[2005]).
Recentemente e` stata quindi considerata l’adozione di antenne multiple
sia al lato trasmettitore che ricevitore, cioe` la tecnologia MIMO (Multiple
Input Multiple Output). I primi studi simulativi che mostravano l’eleva-
ta capacita` raggiungibile mediante questi sistemi furono fatti da Winters
[1987]. Successivamente, questa capacita` venne calcolata analiticamente da
Foschini e Gans [1998]. La capacita` di un sistema MIMO cresce linear-
mente con il minimo tra il numero di antenne in trasmissione e quello in
ricezione (Foschini e Gans [1998], Teletar [1999]): questa peculiarita` ha reso
negli ultimi anni il sistema MIMO oggetto di uno studio continuo e tuttora
vivo da parte della comunita` scientifica (Teletar [1999], Hongliang e altri
[2005], Kabir e Yoon [2008]). In particolare, l’attenzione e` rivolta alla sin-
tesi di trasmettitori e ricevitori che garantiscano un buon compromesso tra
le prestazioni e la complessita` computazionale, che cresce con il numero di
antenne adottate. In questo lavoro di tesi, ci si e` focalizzati sui principali
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE 3
aspetti riguardanti la sintesi del ricevitore per un assegnato trasmettitore.
Come ben noto, il ricevitore ottimo in termini di probabilita` di errore e` il
ricevitore a massima verosimiglianza. Sfortunatamente, tali prestazioni so-
no raggiunte al costo di una complessita` computazionale insostenibile. Tale
problema e` ancora piu` rilevante nell’ambito dei sistemi MIMO dove la com-
plessita` computazionale cresce esponenzialmente sia con la lunghezza della
sequenza di simboli d’ingresso, sia con il numero di antenne in trasmissione
(Zhu e Murch [2001]). Cio` ha portato alla definizione di diversi ricevito-
ri sub-ottimi al fine di ottenere prestazioni quanto piu` vicino possibile alla
soglia dell’ottimo con una complessita` computazionale contenuta (Foschini
[1996], Wolniansky e altri [1998]). In questo ambito si collocano i ricevitori
lineari zero-forcing ed MMSE studiati in questa tesi. Al fine di migliorare le
loro prestazioni, e` stato adottato su di essi un meccanismo di cancellazione
successiva dell’interferenza, cioe` una volta che un simbolo viene decodificato,
la sua stima viene sottrata al vettore dei simboli ricevuti in modo da ridurre
l’interferenza. Si ottengono cosi i ricevitori zero-forcing SIC ed MMSE SIC
(Choi [2008]).
La tesi si sviluppa secondo la struttura seguente:
Capitolo 2. Si ricava un’espressione per la capacita` del canale MIMO con
fading di Rayleigh e velocemente variabile. Con queste ipotesi per il canale
di comunicazione, si assume sempre che il ricevitore abbia informazioni sullo
stato del canale, mentre vengono confrontati il caso in cui il trasmettitore
ha anch’esso informazioni sullo stato del canale, ed il caso in cui non le ha.
Nello scenario in cui il trasmettitore sia a conoscenza non della realizzazione
del canale, bens`ı della sua distribuzione statistica, viene trovato un upper
bound per la capacita` di tale canale ed approssimazioni ad alti e bassi SNR
per la stessa.
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE 4
Capitolo 3. Relativamente alla capacita` del canale MIMO con fading di
Rayleigh velocemente variabile, sono discusse architetture di rice-trasmissione
che permettono di raggiungere la capacita` teorica del canale MIMO calcola-
ta nel capitolo precedente. In particolare ci si focalizza sullo scenario in cui
il trasmettitore non ha informazioni sullo stato del canale.
Capitolo 4. Si presentano dei risulati numerici ottenuti mediante simula-
zioni al calcolatore. Lo scopo e` quello di verificare la validita` delle appros-
simazioni per la capacita` del canale MIMO con fast fading di Rayleigh e di
studiare le effettive prestazioni che i diversi ricevitori riescono a garantire in
uno scenario di lavoro reale.
1.1 Modello del sistema
Si consideri un canale MIMO che e` un canale (cioe` un sistema) in cui ci
sono piu` ingressi e piu` uscite; il canale considerato e` quello wireless, per
cui in trasmissione ed in ricezione ci sono antenne. In particolare si fara`
riferimento ad una canale MIMO Gaussiano con t antenne in trasmissione
ed r antenne in ricezione. Ci si occupera` esclusivamente di modelli lineari
in cui y ∈ Cr e` il vettore di ricezione ed x ∈ Ct e` il vettore di trasmissione.
In particolare, come si vede dalla Figura 1.1, yi e` il segnale ricevuto dalla
i-esima antenna, xj e` quello trasmesso dalla j-esima antenna, hij e` il canale
tra la j-esima antenna in trasmissione e la i-esima antenna in ricezione ed ni
e` il rumore alla i-esima antenna ricevente. Poiche´ le onde elettromagnetiche
si propagano in tutto lo spazio, il segnale ricevuto sulla i-esima antenna
contiene i contributi di tutte le trasmittenti, per cui si puo` scrivere
yi =
t∑
j=1
hijxj + ni =
[
hi1 · · ·hit
]
x1
.
.
.
xt
+ ni.
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE 5
x1
x2
xt
y1
y2
yr
h11
hrt
Figura 1.1: Sistema MIMO.
Raggruppando tutti i segnali ricevuti in un vettore si ottiene
y1
.
.
.
yr
=
h11 · · · h1t
.
.
.
.
.
.
hr1 · · · hrt
x1
.
.
.
xt
+
n1
.
.
.
nr
che si puo` riscrivere in forma matriciale, ottenendo cosi il modello (Figura
1.2):
y = Hx + n (1.1)
dove H ∈ Cr×t e` la matrice di canale ed n ∈ Cr e` il vettore di rumore.
Si osservi che il modello preso in considerazione e` tempo discreto: si e`
cioe` passati dal modello di canale tempo continuo a quello tempo discreto
a valle di un processo di campionamento. Si osservi inoltre che l’indice
temporale e` omesso perche´ ci si focalizzera` sul generico uso del canale.
Nel seguito si assumera` che n sia un vettore aleatorio Gaussiano com-
plesso proprio (si veda appendice B.1) a media nulla e matrice di covarian-
za N0Ir, n ∼ CN (0,N0Ir). Questo implica che i contributi di rumore ai
differenti ricevitori sono indipendenti.
Il trasmettitore e` limitato nella sua potenza totale P , cioe`
E
[
t∑
i=1
|xi|2
]
= E[||x||2] ≤ P.
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE 6
H
n
x y
Figura 1.2: Modello del sistema MIMO.
Equivalentemente, detta Q = E[xxH ] la matrice di correlazione, poiche´
xHx = tr(xxH) e media e traccia commutano, il vincolo di potenza puo`
essere riscritto come:
tr(Q) ≤ P. (1.2)
Per quanto riguarda il canale di comunicazione si considereranno i se-
guenti scenari:
• H deterministica
• H aleatoria
Il primo caso e` incluso soltanto al fine di esporre le tecniche utilizzate poi nel
secondo caso in contesti piu` familiari. H tiene conto dell’aspetto impredici-
bile del canale di comunicazione che, essendo ricco di ostacoli (scatteratori),
generera` molti percorsi riflessi facendo si che il segnale ricevuto da ogni an-
tenna e` la somma di tutti questi segnali, che possono sommarsi sia in fase
che in opposizione di fase. Questo fenomeno, che va` sotto il nome di fa-
ding, e` portato in conto moltiplicando ogni elemento di x per un fattore
di ampiezza spesso aleatorio di tipo Rayleigh. In seguito, nei casi in cui
H e` aleatoria, si assumera` che sia formata da elementi Gaussiani i.i.d., con
parte reale ed immaginaria indipendenti, ognuna a media nulla e varian-
za 1/2, cioe` hij ∼ CN (0, 1), che equivale proprio a dire che ogni elemento
di H ha fase uniforme e modulo di Rayleigh. L’assunzione di indipenden-
za fra i vari elementi e` importante perche´ permette di dire che il segnale
trasmesso dalle varie antenne e` ricevuto in maniera incorrelata. Ad esem-
pio, assumere che h11 ed h21 sono indipendenti, significa dire che il flusso
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE 7
dall’antenna 1 all’antenna 1 e quello dall’antenna 2 all’antenna 1 sono indi-
pendenti, perche´ appunto i percorsi riflessi sono indipendenti. E´ ragionevole
fare questa assunzione se le antenne, sia in trasmissione che in ricezione,
sono sufficientemente spaziate tra di loro.
In tutti i casi si assumera` che la realizzazione di H sia conosciuta al
ricevitore, mentre si metteranno a confronto il caso in cui questa matrice e`
nota al trasmittitore ed il caso in cui non lo e`.
Capitolo 2
Capacita` del canale MIMO
L’obiettivo di questo capitolo e` quello di trovare un’espressione per la ca-
pacita` del canale MIMO. La teoria dell’Informazione dice che la capacita`
per un generico canale e` il massimo della mutua informazione I(y; x) sulla
distribuzione di probabilita` di x (Cover e Thomas [1991]), cioe`
C := max
p(x)
I(y; x). (2.1)
Per determinare questa quantita`, e` utile vedere prima una serie di proprieta`.
Si consideri x ∈ Cn, x ∼ CN (µ,R). Allora la sua pdf (probability
density function) e`
f(x) = 1
pin|R|e
−(x−µ)HR−1(x−µ)
e la sua entropia differenziale e` data da (Cover e Thomas [1991]):
h(x) = −
∫
R2n
f(x) log2 f(x)dx [bit/simbolo complesso].
Si noti che l’integrale e` esteso ad R2n perche´ x e` complesso, per cui si deve
8
CAPITOLO 2. CAPACITA` DEL CANALE MIMO 9
integrare sia sulla parte reale che sulla parte immaginaria.
h(x) = − log2(e)
∫
R2n
f(x) ln
( 1
pin|R|e
−(x−µ)HR−1(x−µ)
)
dx =
= log2(e)
∫
R2n
f(x) ln(pin|R|)dx+
+ log2(e)
∫
R2n
f(x)(x− µ)HR−1(x− µ)dx. (2.2)
Risolvendo separatamente il primo integrale della (2.2) si ha:
∫
R2n
f(x) ln(pin|R|)dx = ln(pin|R|).
Dal secondo integrale invece, si ottiene:
∫
R2n
f(x)(x− µ)HR−1(x− µ)dx =
=
∫
R2n
f(x) tr(R−1(x− µ)(x− µ)H)dx =
= E[tr(R−1(x− µ)(x− µ)H)] =
= tr(R−1R) = n.
Sostituendo i risultati ottenuti nella (2.2) si ha:
h(x) = log2(e) ln(pin|R|) + n log2 e =
= log2(e) ln(pin|R|) + log2 en = log2((pie)n|R|). (2.3)
Dunque, un vettore Guassiano complesso proprio a media µ e matrice di
covarianza R, ha entropia differenziale h(x) che non dipende dalla media,
ma solo matrice di covarianza R.
Teorema 2.0.1. Sia x ∈ Cn un vettore aleatorio complesso con E[xxH ] =
R. Allora
h(x) ≤ log2((pie)n|R|)
dove l’uguaglianza vale se e solo se x e` Gaussiano proprio.
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