Approcci Multicriteriali per Problemi di Selezione di Portafoglio: un'applicazione alla Finanza Socialmente Responsabile

 5
fornire le nozioni necessarie per poter affrontare adeguatamente il dibattito che si è 
sviluppato tra gli studiosi nel tentativo di estendere la portata di tale modello.  
Sebbene, infatti, sia indubbio il valore dei contributi apportati da Markowitz, 
l’imposizione di un mondo descritto da due sole variabili potrebbe risultare troppo 
restrittivo, ”imposing this two dimensional world may be too restrictive in practice 
because the mean-variance framework uses rather strong assumptions on the 
preferences of the investor and/or the representation of investment alternatives” 
[Hallerbach e Spronk, 1997, p.276]. 
Nel capitolo 2 si presenteranno i fondamenti e le proprietà caratterizzanti la 
formulazione di un problema multicriteriale, evidenziando come l’abbraccio di tale 
approccio comporti necessariamente una ridefinizione del concetto di “scelta 
ottima”: ”in today’s complex organizational environment economic man is not trying 
to maximize, but is trying instead to satisfice” [Lee, 1973, p.13]. Queste 
considerazioni, applicate al problema della selezione di un portafoglio, verranno poi 
analizzate e approfondite attraverso l’illustrazione di alcuni dei più importanti e 
recenti contributi presenti in letteratura. 
Nel capitolo 3 si analizzerà il rapporto tra la disciplina della finanza e quella 
dell’etica che fino ad un passato recente sono state spesso considerate tra loro in 
antitesi. Dal loro processo di avvicinamento, infatti, si è sviluppata la disciplina della 
cosiddetta finanza etica. Si cercherà quindi di caratterizzare il significato di questa 
nuova materia delineandone i suoi principali aspetti e approfondendo lo strumento 
finanziario denominato investimento socialmente responsabile, che rappresenta una 
delle esperienze di finanza etica di maggior successo. 
Nel capitolo 4 si presenterà una particolare metodologia risolutiva per problemi 
di natura multicriteriale elaborata da Jaap Spronk e chiamata Interactive Multiple 
Goal Programming. Si illustrerà quindi un modello per la selezione del portafoglio 
che cerca di integrare l’approccio multicriteriale, oggetto del capitolo 2, con elementi 
di natura etica, oggetto invece del capitolo 3. Tale modello verrà poi applicato alla 
realtà italiana consentendo di arrivare alla determinazione di un portafoglio 
socialmente responsabile. 
 6
Infine, nel capitolo 5, verranno presentate delle riflessioni conclusive 
finalizzate ad un migliore inquadramento dell’ambiente in cui si è sviluppato questo 
lavoro, per terminare con un’analisi critica dei benefici e dei limiti che tale modello 
presenta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7
1. IL MODELLO MEAN- VARIANCE (M-V) DI 
MARKOWITZ 
 
 
1.1 Le basi della Selezione del Portafoglio 
 
Con il termine investimento si intende “l’impiego di denaro in attività 
produttive, titoli e simili, allo scopo di ottenere o accrescere un utile o un reddito”
1
. 
In una teoria dell’investimento, però, assurgere ad unico criterio decisionale il 
profitto rappresenterebbe una scelta quanto mai triviale poiché rappresenterebbe il 
tentativo di voler massimizzare una funzione complessa come quella dell’utilità 
globale dell’investitore servendosi di una sola variabile
2
. Inoltre, nel momento in cui 
si passa dallo studio di un investimento da un punto di vista storico (ex post) ad uno 
prospettico (ex ante) di alternative possibili, nel complesso meccanismo delle 
valutazioni decisionali si inserisce una variabile completamente nuova, il rischio. Un 
decisore, infatti, nel momento in cui è chiamato a scegliere tra più possibilità di 
investimento si trova ad operare in un ambito necessariamente incerto “per 
mancanza, incompletezza o inattendibilità, delle conoscenze ed informazioni a 
disposizione” [Bortot et al., 1993, p.439].  
Per definire il rischio va precisato che anziché di qualcosa di generale ciò che 
si ricerca è una definizione utilizzabile per scopi particolari e che quindi dovrà 
potersi tradurre in un qualche indice quantitativo. Espressioni infatti come “molto 
rischioso”, “poco rischioso”, “abbastanza rischioso” ecc. sono del tutto inutilizzabili 
a fini decisionali perché tutti gli investimenti sono “più o meno rischiosi”, il 
problema è sapere di quanto. Poiché “distinguere ciò che ad un certo momento 
ignoriamo da ciò che invece ci risulta essere o certo o impossibile serve a permetterci 
di contemplare l’ambito delle possibilità, ossia l’ambito su cui si estende la nostra 
                                                 
1
 DOGLIOTTI M., ROSIELLO L. (a cura di), 1994, Lo Zingarelli,  Bologna , Zanichelli Editore. 
2
 Per la definizione di Utilità si veda Canestrelli, Nardelli (1991, p.15). 
 8
incertezza. Ciò non basta tuttavia come strumento e guida per orientarci, per 
decidere, per agire: per tale scopo occorrerà basarsi su un ulteriore concetto: quello 
di probabilità” [De Finetti, 1970, p.35], vi è la necessità di associare ad ogni 
rendimento futuro che si ritenga possibile una valutazione probabilistica, 
permettendo così di descrivere la variabile aleatoria rendimento del progetto di 
investimento in uno spazio multidimensionale comprendente anche la variabile 
rischio. Inoltre, l’esigenza di quantificare l’aleatorietà per poterla poi inserire in un 
modello decisionale scaturisce anche dalla necessità di omogeneizzare i termini 
essenziali di una scelta e renderli passibili di misura e confronto. Il rischio si 
configura quindi come l’elemento che relativizza l’entità rendimento e stabilisce 
un’ulteriore dimensione, assolutamente imprescindibile, dell’utilità dell’investitore. 
L’importanza della Selezione del Portafoglio teorizzata da Markowitz (1952) 
risiede nell’aver fornito un modello che tratti in maniera sistemica il problema della 
ripartizione di risorse finanziarie tra diverse possibilità di investimento con 
rendimento aleatorio, avendo come obiettivo primario quello di controllare sia il 
rendimento sia il rischio degli investimenti. La giustificazione teorica della scelta di 
questi due criteri decisionali nasce dalla constatazione dell’impossibilità di affrontare 
la totalità delle potenziali conclusioni ottenibili circa l’analisi di portafoglio, e quindi 
dall’inevitabile necessità di ridurre la complessità delle variabili a quelle strettamente 
funzionali alla comprensione di ciò che è importante e rilevante da ciò che, invece, 
non lo è. Infatti, come peraltro sostenuto dallo stesso Markowitz, la corretta scelta 
dei criteri decisionali dovrebbe avvenire sulla base delle priorità preferenziali 
espresse da ciascun investitore, “the investor should build toward an integrated 
portfolio which best suits his needs” [Markowitz, 1991, p.3]. Fattori istituzionali, 
limitazioni legali, la relazione tra il rendimento del portafoglio e il costo della vita 
potrebbero rappresentare variabili rilevanti e significative per alcuni ma non per altri.  
Ad esempio, per alcuni la variabile più importante è rappresentata dalla tassazione, 
per altri, come le aziende no-profit, questa è irrilevante. 
 9
Quindi, le variabili da utilizzare nell’analisi di portafoglio andrebbero 
opportunamente selezionate sulla base delle caratteristiche e degli interessi specifici 
di ciascuna categoria di investitori. 
Ad ogni modo, Markowitz individua due obiettivi, che utilizzerà poi quali 
criteri decisionali, comuni a tutti gli investitori
3
:  
1- la preferenza di “rendimenti” alti. La definizione appropriata di “rendimenti” può 
variare da investitore a investitore, ma in qualsiasi modo vengano definiti essi ne 
preferiscono una quantità maggiore rispetto ad una quantità minore; 
2- la preferenza di rendimenti sicuri, stabili, non soggetti all’incertezza. Certamente 
esistono investitori che preferiscono maggiormente il carattere dell’aleatorietà, come 
gli scommettitori ad una corsa di cavalli, ma non è a questi speculatori che il modello 
di Markowitz è indirizzato, poiché l’ambiente in cui si sviluppa è invece 
caratterizzato da un contesto di avversione al rischio. 
In conclusione, si può quindi affermare che l’investitore razionale di 
Markowitz cerca di massimizzare un indice bicriteriale composto da rischio-
rendimento e di definire un campo di potenziali alternative decisionali efficienti. Per 
risolvere tale problema, il metodo della Selezione del Portafoglio analizza una sola 
unità temporale ed applica all’insieme delle possibili scelte il criterio M-V (Mean-
Variance). Questo metodo ipotizza che il soggetto decisore persegua nella scelta del 
proprio portafoglio non solo la massimizzazione del rendimento atteso (M), ma 
anche la minimizzazione del rischio (V). 
Prima di passare all’approfondimento delle due fasi in cui è articolato il 
modello di Markowitz, e cioè la determinazione dell’insieme delle opportunità di 
investimento attraverso il ricorso alla frontiera efficiente, e l’individuazione del 
portafoglio efficiente per l’investitore su tale frontiera, i paragrafi successivi 
forniranno una trattazione introduttiva del concetto di rendimento e del concetto di 
rischio applicata allo studio prima di un titolo, poi di un portafoglio di titoli, 
                                                 
3
“Two objectives, however, are common to all investor for which the techniques of this monograph 
are designed: 1. they want return to be high; 2. they want this return to be dependable, stable, not 
subject to uncertainty” [Markowitz, 1991, p.6]. 
 10
finalizzata a omogeneizzare nella sostanza l’utilizzo che ne verrà fatto nel prosieguo 
del lavoro. 
 
 
1.1.1 Il rendimento e il rischio di un titolo 
  
Il rendimento di un titolo è funzione di tre distinte componenti: 
1- l’apprezzamento del capitale, che può indicarsi come la differenza tra la 
quotazione alla fine di un intervallo temporale – anno, mese, settimana, giorno, ora, 
minuto - e il prezzo di acquisto; 
2- il dividendo riscosso in quell’intervallo temporale; 
3- ogni premio addizionale ricevuto – cedole, premi sorteggiati, opzioni, etc. – al 
netto dei possibili oneri– commissioni, tasse, etc. 
 In formula, si definisce 
ti
R
,
 il tasso di rendimento previsto in t dell’i-esimo 
titolo nell’intervallo temporale (t, t+1) come:                   
                                                              
ti
tititi
ti
P
DPP
R
,
1,,1,
,
    
   
   
(1.1)
 
dove: 
ti
P
,
   : prezzo (quotazione) dell’i-esimo titolo all’istante t; 
1,   ti
D : dividendo e premi eventuali previsti all’istante t+1
4
; 
1,   ti
P  : prezzo (quotazione) previsto dell’i-esimo titolo all’istante t+1. 
 Per semplificare l’analisi non verranno considerati in seguito i premi, il 
dividendo e gli oneri. Si trascurerà inoltre l’indice temporale poiché verrà utilizzato 
un modello uniperiodale. Ci si occuperà infatti di una sola unità temporale. 
 Il rendimento di un titolo può essere considerato una variabile casuale. Infatti, 
il prezzo di un titolo in t = 0, cioè ad inizio periodo, è noto, mentre in t + 1, cioè a 
                                                 
4
 Il rendimento del titolo deve essere corretto nel caso di variazioni del capitale sociale e nel caso in 
cui dividendi o premi o cedole fossero corrisposti in momenti diversi dall’istante finale. 
 11
fine periodo, non è certo. Di conseguenza, il soggetto decisore dovrà assegnarle a 
priori una distribuzione di probabilità che sebbene alcune verifiche empiriche 
abbiano portato ad accettarne di forme diverse, ancora oggi quella maggiormente 
utilizzata risulta essere la distribuzione normale o, altrimenti detta, Gaussiana
5
. Per 
favorirne però la funzionalità, invece della distribuzione di probabilità dei rendimenti 
si utilizzano degli indici sintetici, e in particolare vengono utilizzati i primi due 
momenti della distribuzione: il valore atteso, che rappresenta il rendimento medio 
dell’investimento, e la varianza, presa come misura della sua rischiosità. 
Nel caso in cui la variabile casuale rendimento sia discreta si attribuisce ad 
ogni rendimento un valore di probabilità, perciò il valore atteso e la varianza del 
rendimento futuro dell’i-esimo titolo, sono rispettivamente dati da: 
 
    
i
m
j
ijiji
RpRRE    
ƒ
  1
 
(1.2)
 
           
2
1
22
i
m
j
ijiijiiji
pRRRRERV  ς       
ƒ
  
 
(1.3)
 
dove 
ij
R  : j-esimo possibile rendimento dell’i-esimo titolo, con j = 1,2,..., m  e i = 1,2,..., n ; 
ij
p  : probabilità associata a 
ij
R , con 10  δ δ
ij
p  e 1
1
  
 ƒ
  
m
j
ij
p , con j = 1,2,..., m  e                     
i = 1,2,..., n ;  
    
ii
RRE   : rendimento atteso dell’i-esimo titolo, con i = 1,2,..., n ; 
    
2
ii
RV  ς  : varianza dell’i-esimo titolo, con i = 1,2,..., n . 
 
La varianza è il valore atteso del quadrato degli scarti dei valori della variabile 
casuale dal suo valore atteso ed è stata proposta da Markowitz (1952) come misura 
del rischio d’investimento. A varianza crescente corrisponde una variabilità, e quindi 
un rischio, crescente.  
                                                 
5
 Per approfondire il tema delle diverse distribuzione di probabilità proposte si veda Canestrelli, 
Nardelli (1991, p.47). 
 12
Spesso, però, poiché la varianza è espressa in termini quadratici e potrebbe 
risultare quindi di difficile interpretazione, si preferisce utilizzare lo scarto quadratico 
medio, omogeneizzando così l’unità di misura della variabile casuale, che è 
semplicemente la radice quadrata della varianza
6
: 
 
 
   
2
ii
RSQM  ς   (1.4)
 
In conclusione, nonostante la proposta di Markowitz sia suscettibile di critiche 
poiché i due criteri decisionali valore atteso e varianza non sintetizzano tutte le 
informazioni contenute nella distribuzione della variabile aleatoria rendimento, essa 
è tuttora largamente utilizzata sia nella teoria (ad esempio nel CAPM e nell’APT
7
) 
che nella pratica finanziaria poiché è con il modello di Markowitz che si riesce a 
determinare sia l’insieme dei portafogli efficienti sia la composizione di ciascuno di 
essi. 
 
 
1.1.2 Confronto fra più titoli: un esempio numerico 
  
 Dopo aver introdotto i concetti di valore atteso e di varianza, si fornisce un 
esempio numerico per mostrare come questi due parametri decisionali possano essere 
utilizzati per ordinare e scegliere tra più titoli rischiosi. 
 Nella tabella 1 sono riportati il valore atteso, lo scarto quadratico medio e il 
rendimento atteso per unità di rischio, di sei titoli denominati A, B, C, D, E, F. Il 
valore di 
i
R  rappresenta un valore percentuale (ad esempio, 16 sta per 16%), mentre 
il rapporto 
ii
R  ς esprime il rendimento atteso per unità di rischio, che in Finanza 
viene altresì definito come rendimento periodale medio aggiustato per il rischio
8
. 
                                                 
6
 Cfr. Mood, Graybill, Boes (1992, p.78).  
7
 Per il CAPM si veda Sharpe (1964) e Lintner (1965), mentre per l’APT si veda Ross (1976).  
8
 Cfr. Ruozi (1987, p.89). 
 13
 
 
 
A B C D E F 
i
R  16 20 14 20 12 22 
i
 ς 
0,71 0,95 0,83 1,35 0,57 1,24 
ii
R  ς 22,47 20,97 16,88 14,86 21,15 17,74 
 
Tabella 1.1: Rendimento,  scarto  quadratico  medio e  rendimento  atteso  per unità di rischio                                        
di sei titoli. 
Dall’analisi dei dati numerici si può notare che: 
- F ha il rendimento atteso più alto, ma non il rischio più alto; 
- D ha il rischio più alto, ma non il rendimento più alto; 
- E ha il rischio e il rendimento più basso; 
- A è il titolo che remunera maggiormente ogni unità di rischio; 
- B e D hanno lo stesso rendimento, ma D è più rischioso perché ha uno 
i
ς maggiore   
di quello di B. 
Il rendimento atteso e lo scarto quadratico medio di ciascun titolo è stato 
rappresentato sul piano ( R , ς) in figura 1.1. 
 
A
B
C
D
E
F
0
5
10
15
20
25
00,20,40,60,811,21,41,6
 
   Figura 1.1: Rendimento atteso e scarto quadratico medio dei sei titoli presi in esame. 
 
 14
Ora, si supponga che gli unici titoli disponibili sul mercato siano i titoli A, B, 
C, D, E, F ed un investitore si trovi nella situazione in cui voglia investire tutto il suo 
capitale disponibile in uno solo dei sei titoli considerati. Affinché l’investitore possa 
effettuare una scelta razionale, è necessario che egli ricorra all’individuazione di un 
criterio guida nella fase decisionale sulla base dei contenuti informativi da questo 
espressi. “Va cioè introdotto un principio o criterio generale valido per un’ampia 
classe di investitori, per mezzo del quale, e sulla base di informazioni molto generali, 
sia possibile individuare quegli investimenti che risultano non efficienti (o dominati 
da altri) e che pertanto vanno scartati” [Canestrelli, Nardelli, 1991, p.29]. 
Per poter effettuare una scelta tra i diversi titoli rischiosi oggetto di analisi 
razionalmente giustificata, è possibile utilizzare i criteri decisionali valore atteso (E)-
varianza (V), ed il metodo della dominanza, che opera come segue: 
1) a parità di rendimento atteso, viene scelto l’investimento meno rischioso 
(dominanza per rischio); 
2) a parità di varianza (o di  ς) viene scelto l’investimento con rendimento atteso 
maggiore (dominanza per rendimento); 
3)  se 
i
R <
j
R  e 
2
i
 ς<
2
j
 ς il titolo j-esimo non domina il titolo i-esimo: in questo 
caso a rendimento maggiore corrisponde un maggiore rischio, quindi non si 
può decidere solamente sulla base al metodo E-V e si ha una situazione di 
indecisione poiché entrambi i titoli sono efficienti. 
 L’applicazione del metodo alle sei precedenti possibilità di investimento porta 
alle seguenti conclusioni: 
1)  nessun decisore razionale deve scegliere il titolo C perché dominato da A sia 
per rischio che per rendimento;  
2)  nessun decisore razionale deve scegliere il titolo D perché dominato da: 
 - B per rischio; 
 - F sia per rischio che per rendimento; 
3)  A, B, E, F non sono dominati, e quindi sono efficienti poiché a maggior 
rendimento corrisponde maggior rischio. 
 15
In conclusione, l’applicazione di tale metodo porta all’esclusione dei titoli C e 
D, ma non permette, per ora, di individuare quale tra i titoli A, B, E, F rappresenti la 
soluzione migliore. Questo è dovuto al fatto che il criterio E-V non è un metodo di 
ordinamento totale, ma di ordinamento parziale. Quindi, i titoli non dominati si 
dicono efficienti (in E-V) ed economicamente sensati, ma “la scelta di uno di essi è 
invece questione da lasciare al decisore sulla base del suo atteggiamento verso il 
rischio o, più in generale, sulla base del proprio sistema di preferenze” [Castagnoli, 
Peccati, 1991, p.11]. 
 
 
 
1.1.3 Rendimento e rischio di portafogli di titoli 
 
 Nel precedente paragrafo si è visto che le variabili da considerare nel modello 
di Markowitz sono due: una variabile di guadagno, espressa dal valore atteso del 
rendimento di un titolo, ed una variabile di rischio, che l’autore identifica nella 
varianza del rendimento del titolo. Utilizzando queste due variabili è stato inoltre 
fornito un esempio di analisi rischio-rendimento applicato al caso della scelta fra più 
titoli. Ora si cercherà di estendere tale analisi al caso di un portafoglio di titoli, 
ovvero a tutte le infinite possibili composizioni degli stessi, che rappresenta il vero 
obiettivo del modello proposto da Markowitz. 
 Il rendimento atteso di un portafoglio, 
P
R , è la media aritmetica ponderata 
dei rendimenti attesi dei singoli titoli.  Sia 
i
x  la quota di capitale investita nell’i-
esimo titolo e sia n il numero dei titoli, in formula diviene: 
 
    
 ƒ
  
   
n
i
iipP
xRRER
1
 
(1.5)
 
con 1
1
  
 ƒ
  
n
i
i
x  che rappresenta il vincolo di bilancio, condizione per la quale 
tutto il capitale disponibile viene investito. 
 16
La varianza di un portafoglio P , indicata con 
2
P
 ς, è data dal valore atteso del 
quadrato degli scarti del rendimento di portafoglio dal rendimento atteso del 
portafoglio stesso, in formula:   
 
    
2
2
PPP
RRE      ς  
(1.6)
 
 Nel caso di un portafoglio composto da due soli titoli la (1.6) può essere 
scritta come: 
 
2
P
 ς 
       > ≅           
2
22112211
2
RxRxRxRxERRE
PP
 
 
        > ≅       
2
222111
RRxRRxE  
(1.7)
 
              > ≅              
221121
2
22
2
2
2
11
2
1
2 RRRRxxRRxRRxE  
 
 
              > ≅             
221121
2
22
2
2
2
11
2
1
2 RRRRExxRRExRREx  
 
        > ≅
221121
2
2
2
2
2
1
2
1
2 RRRRExxxx            ς ς   
 
L’espressione        > ≅
2211
RRRRE      rappresenta la covarianza fra i rendimenti 
dei due titoli e viene indicata con 
12
 ς; essa rappresenta il valore atteso del prodotto 
degli scarti dalla media dei rendimenti dei titoli, misura cioè quanto i rendimenti di 
due titoli siano legati da una relazione lineare e può assumere valori positivi, nulli o 
negativi.  
La varianza del portafoglio P può quindi essere scritta come 
 
1221
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2  ς ς ς ς xxxx
P
       (1.8)
 
Si noti come la varianza di un portafoglio dipenda sia dalle varianze dei singoli 
titoli che dalle covarianze tra i due titoli. Date le varianze dei singoli titoli, una 
covarianza positiva fa aumentare la varianza dell’intero portafoglio. Una covarianza 
negativa riduce le varianza dell’intero portafoglio. Questo risultato sembra 
ragionevole: se il rendimento di uno dei titoli tende a salire quanto l’altro scende, o 
viceversa, i due titoli si compensano e il rischio dell’intero portafoglio si ridurrà. 
Invece, nel caso in cui i rendimenti di entrambi i titoli aumentano o diminuiscono 
contemporaneamente, il rischio dell’intero portafoglio sarà maggiore.  
 17
Poiché la covarianza è espressa nell’unità di misura di scarti al quadrato, è 
frequente il ricorso al concetto di coefficiente di correlazione, che si ottiene 
dividendo la covarianza per il prodotto degli scarti quadratici medi dei rendimenti dei 
due titoli.  In formula 
 
21
12
12
 ς ς
 ς
 Υ   
(1.9)
 
Poiché ogni scarto quadratico medio è positivo, il segno della correlazione tra 
due variabili deve essere uguale a quello della covarianza tra le due variabili. Inoltre, 
può essere dimostrato che il coefficiente di correlazione è sempre compreso tra 1   e 
1  ; questo è dovuto alla procedura di standardizzazione operata dalla divisione per i 
due scarti quadratici medi. 
La formula della varianza di un portafoglio può essere generalizzata al caso in 
cui questo sia composto da più di due titoli. Ad esempio nel caso di tre titoli si 
ottiene 
2
P
 ς 
    
2
PP
RRE     
     > ≅
2
332211332211
RxRxRxRxRxRxE             (1.10)
da cui 
2
P
 ς            
2
333222111
RRxRRxRRxE           (1.11)
 
Elevando al quadrato e sviluppando l’espressione si ottiene 
 
2
P
 ς            
2
33
2
3
2
22
2
2
2
11
2
1
RRExRRExRREx            
 
       > ≅        > ≅
331131221121
22 RRRRExxRRRRExx              
 
       > ≅
332232
2 RRRRExx        
(1.12)
 
Indicate con 
2
i
 ς la varianza dell’i-esimo titolo e con 
ij
 ς la covarianza tra l’i-esimo e 
il j-esimo titolo si può scrivere 
 
2
P
 ς 
233213311221
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
222  ς ς ς ς ς ς xxxxxxxxx              
(1.13)
 
 18
L’espressione (1.13) può essere estesa a portafogli composti da più di tre titoli, 
osservando che la prima parte dell’espressione della varianza di un portafoglio di 
titoli è data dalla somma delle varianze dei singoli titoli moltiplicate per il quadrato 
della proporzione in questi investita, 
 ƒ
  
3
1
22
i
ii
x  ς, e che la seconda parte 
dell’espressione è costituita dalle covarianze tra tutte le coppie di titoli possibili. 
Inoltre, nella (1.13), ciascuna covarianza è moltiplicata per due volte il prodotto delle 
proporzioni di ciascun titolo detenute, per cui, essendo una caratteristica della 
covarianza la simmetria (
2112
 ς ς  ), la parte dell’espressione (1.13) che tiene conto 
delle covarianze può scriversi come     
ƒ ƒ
  
 ζ
  
3
1
3
1i
ij
j
ijji
xx  ς .
 
  Nel caso di un portafoglio composto da n  titoli, la varianza di portafoglio 
può calcolarsi come 
 
       
ƒ ƒ ƒ
 ζ
  
   
n
i
n
i
n
ij
j
ijjiiiP
xxx
11
222
 ς ς ς  
(1.14)