7
INTRODUZIONE AL CONCETTO
DI MEDIA
1.1 DEFINIZIONE GENERALE DI MEDIA
L’importanza delle medie, nello studio e nella rappresentazione dei vari fenomeni,
sembra ampiamente dimostrata, sia dalla loro applicazione nei numerosi campi della scienza
(non solo della statistica descrittiva, inferenziale e calcolo delle probabilità), nonchè dalla
vasta letteratura in merito. Non sempre però gli studiosi matematici e statistici sono stati
concordi sulle varie definizioni di tale concetto. Di conseguenza, la teoria delle medie ha
subito, nel corso degli anni, una notevole evoluzione subordinata alle varie condizioni,
estensioni e generalizzazioni poste dai vari Autori. È altrettanto vero che il concetto di media
di uso comune e generale anche nella vita pratica, spesso non è stato analizzato nella sua
vera essenza.
Chiedersi, con spirito critico, quale sia il significato del concetto di media, vuol dire
analizzare i motivi profondi e essenziali dello scopo per cui quel concetto è stato introdotto e
che spiegano la ragione intima della sua utilità.
CAPITOLO
UNO
8
Allora bisogna cominciare, mettendo in rilievo che la ricerca di una media ha come scopo
essenziale quello di dare una misura sintetica dell’intensità del fenomeno collettivo
considerato
1
.
Infatti, per mezzo della media, possiamo sostituire a due o più quantità una sola quantità
che valga a sintetizzarle senza alterarne la visione di insieme. Di conseguenza, come osserva
il Chisini, “non ha senso parlare di media di due o più quantità, ma ha senso parlare di media
di esse all’effetto della valutazione sintetica di un’altra grandezza che ne dipende”.
Vediamo adesso brevemente i contributi dei vari Autori .
Partendo
2
dalla nota definizione di Cauchy secondo la quale “ la media fra più quantità
date è una nuova quantità compresa tra la più piccola e la più grande delle quantità
considerate ”, bisogna osservare, che la media, può in realtà coincidere con una delle
quantità considerate che sia intermedia fra le altre, inoltre non si può escludere che essa
possa coincidere con la quantità più grande o con la più piccola tra le considerate. È da
notare anche che la condizione di internalità, considerata da alcuni autori come condizione
necessaria, viene ad essere considerata da Cauchy anche come condizione sufficiente.
La definizione di Cauchy deve dunque essere perfezionata, come propone il Gini, dicendo
che “ la media tra più quantità è il risultato di un' operazione eseguita con una data norma
sulle quantità considerate, la quale rappresenta o una delle quantità stesse che non sia
superiore nè inferiore a tutte le altre (media reale) oppure una quantità nuova intermedia tra
la più piccola e la più grande delle quantità considerate (media di conto) ”.
La precisazione della norma in questione porta alla definizione di un particolare tipo di
media: aritmetica o geometrica, armonica o esponenziale (quest’ultima in particolare, trova
importanti applicazioni alla matematica attuariale) e così via. È da osservare, a questo
proposito, che tale norma può o meno trovare espressione in una forma analitica, che porta
alla corrente distinzione tra medie analitiche e medie di posizione.
Un’ altra nota definizione, tradotta matematicamente dal Chisini, è la seguente:
data una funzione :
ffxx x
n
( , ,... )
12
1
Si veda B. De Finetti in [2]
2
Si veda C. Gini in [3]
9
di un certo numero n di grandezze xx x
n12
, ,... , dicesi media delle xx x
n12
, ,... rispetto alla
funzione f quel numero M che, sostituito alle xx x
n12
, ,... dà il medesimo valore per la f
delle xx x
n12
, ,... stesse, cioè quel numero M tale che
3
:
fMM M(,,..) fxx x
n
(, ,..)
12
. (1.1.1)
Prima di entrare nel campo analitico, consideriamo ancora la definizione data da De
Finetti che secondo una formulazione più generale considera come “ media di una grandezza
in una data distribuzione (di qualunque natura essa sia) per rapporto a un’assegnata
circostanza, quell’unico valore della grandezza che si può sostituire alla distribuzione senza
alterarvi la circostanza in parola ”.
Sotto questa forma, la definizione si applica senz’altro anche ai numeri aleatori, dove si
ha appunto a considerare una distribuzione di probabilità; la media, rispetto a una data
circostanza, di un numero aleatorio, sarà quel numero fisso cui è rispetto a quella
circostanza, equivalente.
3
Si veda O. Chisini in [1]
10
1.2 ESPRESSIONE ANALITICA DELLA MEDIA DI UN NUME-
RO FINITO DI QUANTITÀ
Vediamo comunque adesso, di dare l’espressione analitica della media di un numero
finito di quantità, supponendo che la funzione sia biunivoca (almeno nell’insieme dei numeri
che interessa considerare).
Data una funzione:
ffxx x
n
(, ,..)
12
di un certo numero finito di variabili indipendenti, poniamo in essa, al posto di xx x
n12
, ,...
il valore M che rappresenta il valore della media che si vuole calcolare. Così facendo, la
funzione data diventa una funzione di una sola variabile, M.
Indichiamo questa nuova funzione:
fM fMM M
1
() (,,..)
ora, se M è la media cercata, occorre che tenuto conto della (1.1.1) sia:
fM fxx x
n112
() (,,..)
da cui, passando alla funzione inversa, si ottiene :
> ≅
Mffxx x
n
1
1
12
(,,.) (1.2.1)
che è appunto l’espressione analitica esplicita della media di un numero finito di quantità.
E risulta necessariamente che f è funzione simmetrica, nel caso che le x intervengano con
pesi uguali e che in ogni caso, la media di n grandezze uguali ad x sia uguale ad x .
11
1.3 ALCUNE MEDIE DI UN NUMERO FINITO DI QUANTITÀ
Abbiamo già visto la distinzione tra medie di posizione e medie analitiche; in realtà, tale
distinzione, non è netta . Più precisa è la distinzione tra medie ferme, che dipendono da tutti i
termini, cosi` che se uno di questi varia, varia la media e medie lasche, che non dipendono da
tutti i termini, per modo che alcuni di questi possono variare senza che vari la media. Le
medie ferme corrispondono per lo più alle medie analitiche e le lasche alle medie di
posizione.
Dato un insieme : xx x
n12
, ,... è chiaro che un termine x
i
può figurare una sola volta o
essere ripetuto più volte. Nel caso in cui x
i
si presenti per ogni valore di i una sola volta, la
media si dice semplice. Se x
i
è ripetuto p
i
volte, abbiamo un insieme con ripetizione del
tipo :
xp
11
.........
xp
22
.........
xp
nn
.........
dove le p
i
prendono il nome di pesi e la media calcolata su tale insieme si dice ponderata
o pesata. In tale caso, se si tratta di media analitica, M sarà funzione anche di un certo
numero di pesi oltre che dei termini stessi e si potrà scrivere :
Mfxx xpp p
nn
(, ,.., , ,.. )
12 1 2
.
Consideriamo adesso alcune delle medie analitiche più comuni. Consideriamo la seguente
funzione :
fpx px px
rr
nn
r
11 2 2
...
Se poniamo in essa, al posto di xx x
n12
, ,... il valore unico M (media che si vuole
calcolare), otteniamo una nuova funzione di una sola variabile, M, che indichiamo con
fM
1
().
12
Affinchè M sia la media cercata,
fM
1
()
, giusta la (1.1.1) deve essere
4
:
fM
1
()=px px px
rr
nn
r
11 2 2
... (1.3.1)
e poiché :
f M pM pM pM p p p M
rr
n
r
n
r
112 12
( ) ... ( ... )
poniamo al posto di fM
1
( ) , al primo membro della (1.3.1), l’espressione fornita dal
terzo membro di quest’ultima.
Dividendo ora ambo i membri per ( ... )pp p
n12
ed estraendo dai medesimi la radice
r
ma
otteniamo :
> ≅
M
px px px
pp p
px
p
rr
nn
r
n
r
s
ss
r
n
s
s
n
r
ƒ
ƒ
♠
←
↔
≡
…
≈
11 2 2
12
1
1
1
1
...
...
(1.3.2)
che rappresenta appunto l’espressione della media ponderata di potenze d’ordine r di n
quantità.
Date n quantità xx x
n12
, ,... , rispettivamente con i pesi ( , , ... , )pp p
n12
, la media
ponderata di potenze di ordine r , è data dalla radice r
ma
del rapporto fra la somma algebrica
dei prodotti delle potenze r
me
delle stesse quantità per i rispettivi pesi, e la somma dei pesi.
Dalle medie di potenze di ordine r , dando opportuni valori ad r , otteniamo altre medie
delle quantità xx x
n12
,,...
Se poniamo nella (1.3.2) r 1 , otteniamo l’ espressione della media aritmetica
ponderata :
M
px
p
s
ss
n
s
s
n1
1
1
ƒ
ƒ
♠
←
↔
≡
…
≈
(1.3.3)
4
Si veda O. Chisini in [1]
13
Se poniamo nella (1.3.2) r 2 , otteniamo l’espressione della media quadratica
ponderata :
M
px
p
s
ss
n
s
s
n2
2
1
1
1
2
ƒ
ƒ
♠
←
↔
≡
…
≈
(1.3.4)
Se poniamo nella (1.3.2) r 3 , otteniamo l’espressione della media cubica ponderata :
M
px
p
s
ss
n
s
s
n3
3
1
1
1
3
ƒ
ƒ
♠
←
↔
≡
…
≈
(1.3.5)
Se poniamo nella (1.3.2) r 4 , otteniamo l’espressione della media biquadratica
ponderata :
M
px
p
s
ss
n
s
s
n4
4
1
1
1
4
ƒ
ƒ
♠
←
↔
≡
…
≈
(1.3.6)
Se poniamo nella (1.3.2) r 1, otteniamo l’espressione della media armonica
ponderata :
M
p
p
x
s
n
s
s
n
s
s
ƒ
ƒ
♠
←
↔
↔
↔
↔
≡
…
≈
≈
≈
≈
1
1
1
(1.3.7)
Se facciamo il limite della (1.3.2) per r tendente a zero, si dimostra che si perviene
all’espressione della media geometrica ponderata
5
:
5
Si veda C. Gini in [3]
14
> ≅
Mx
s
n
s
p
s
P
S
S0
1
1
ƒ
(1.3.8)
Se poniamo nelle espressioni precedenti dalla (1.3.3) alla (1.3.8) p
s
1 otteniamo le
rispettive medie semplici.
Rimangono in ultima analisi da considerare le medie esponenziali che, pur rimanendo
nell’ambito delle medie comprensive, come le medie di potenze, si differenziano da queste
ultime e costituiscono un gruppo a parte.
La media esponenziale riguarda funzioni del tipo :
fx x x c c c
n
x x x
n
( , ,... ) , ,...
12
12
Se le quantità x
s
sono qualsiasi e i pesi p
s
positivi (c>0, c ζ1), il valore E desunto dalla
relazione :
c
c
n
cp
p
E
s
n
s
s
s
n
x
c
x
c
x
x
n
s
ƒ
ƒ
12
1
1
...
(1.3.9)
è un valor medio. Infatti dalla (1.3.9), si nota che c
E
è media aritmetica delle c
x
s
con i
pesi p
s
e quindi :
ccc
x xE
n1
δ δ
da cui si ha :
xEx
n1
δ δ
Dato un certo insieme di termini, vi sono tanti valori di E quanti sono i valori che può
assumere la base (in questo caso il valore c). Per il calcolo di E conviene ricorrere ai
logaritmi facendo uso della formula :
E
c
c
x
c
x
c
x
n
n
log(
log
... ) log
12
15
La media esponenziale dedotta dalla (1.3.9) è propriamente la media esponenziale
aritmetica. Si possono però ottenere tante medie esponenziali quante sono le medie basali
(media esponenziale geometrica, armonica ecc.).
16
1.4 MEDIE DI UN NUMERO INFINITO DI QUANTITÀ
Supponiamo che le quantità x , di cui cerchiamo la media, dipendano da un parametro t,
variabile con continuità in un intervallo (a, b), cioè :
x = xt() per a δ t δ b
e sia Ι()x , una funzione assegnata della x , continua, crescente o decrescente, e definita
nell’intervallo in cui cadono i valori della xt().
Ciò posto, supponiamo di voler calcolare la media delle x , rispetto alla seguente
funzione :
⊥ fxtdt
a
b
≥
Ι()
per trovare l’espressione della media delle x , procediamo nel seguente modo : poniamo:
6
nell’espressione della f , al posto di xt( ) , il valore unico M (media che si vuole calcolare).
Così facendo si ottiene una nuova funzione che indichiamo con :
⊥ ⊥ ⊥ > ≅
fM Mdt M dt Mba
a
b
a
b
1
()
≥ ≥
Ι Ι Ι (1.4.1)
Se M è la media cercata, occorre che, giusta la (1.1.1), sia :
⊥ fM xtdt
a
b
1
() ()
≥
Ι
6
Si veda O. Chisini in [1]
17
da cui, tenuto conto del 4º membro della (1.4.1), risulta :
⊥ > ≅ ΙMb a ⊥ Ιxt dt
a
b
()
≥
Dividendo per > ≅ba ambo i membri e successivamente, passando alla funzione inversa,
otteniamo :
M=
⊥
Ι
Ι
≥
♠
←
↔
↔
↔
↔
↔
≡
…
≈
≈
≈
≈
≈
1
xt dt
ba
a
b
()
(1.4.2)
che è appunto l’espressione della media delle nostre x variabili con t ( a δ t δ b).
Consideriamo alcune medie di un numero infinito di quantità e poniamo :
⊥ > ≅ Ιxt pt xt
r
() () ()
ove p t() rappresenta la funzione pesi, la x t() la funzione di cui si vuole calcolare la
media, ove la t varia con continuità nell’intervallo (a,b).
In tal caso, la funzione f, sarà del tipo :
> ≅fptxtdt
a
b
r
≥
() ()
Poniamo in quest’ultima al posto di x t() un unico valore M (media che si vuole
calcolare). Otteniamo cosi una nuova funzione che indichiamo con fM
1
()la quale, giusta la
(1.1.1), deve essere :
> ≅fM ptxt dt
r
a
b
1
() ()()
≥
(1.4.3)
18
poichè :
f M pt M dt M ptdt
rr
a
b
a
b
1
( ) () ()
≥ ≥
poniamo, al posto di fM
1
() al 1º membro della (1.4.3), l’espressione fornita dal 3º
membro di quest’ultima.
Ciò fatto, dapprima dividiamo ambo i membri per ptdt
a
b
()
≥
, poi estraendo dai medesimi
la radice r
ma
, si ricava allora :
> ≅
M
pt xt dt
ptdt
r
a
b
a
b
r
♠
←
↔
↔
↔
↔
↔
≡
…
≈
≈
≈
≈
≈
≥
≥
() ()
()
1
(1.4.4)
che rappresenta l’espressione della media ponderata di potenze d’ordine r della x t() con
i pesi p t().
Dalle medie di potenze d’ordine r dando opportuni valori ad r, otteniamo altre medie
della x t().
Se poniamo nella (1.4.4) r = 1, otteniamo l’espressione della media aritmetica
ponderata :
M
pt xtdt
ptdt
a
b
a
b1
≥
≥
() ()
()
(1.4.5)
19
Se poniamo nella (1.4.4) r = 2, otteniamo l’espressione della media quadratica
ponderata :
> ≅
M
pt xt dt
ptdt
a
b
a
b2
2
1
2
♠
←
↔
↔
↔
↔
↔
≡
…
≈
≈
≈
≈
≈
≥
≥
() ()
()
(1.4.6)
Se poniamo r = 3, otteniamo l’espressione della media cubica ponderata :
> ≅
M
pt xt dt
ptdt
a
b
a
b3
3
1
3
♠
←
↔
↔
↔
↔
↔
≡
…
≈
≈
≈
≈
≈
≥
≥
() ()
()
(1.4.7)
Se poniamo nella (1.4.4) r = 4, otteniamo l’espressione della media biquadratica
ponderata :
> ≅
M
pt xt dt
ptdt
a
b
a
b4
4
1
4
♠
←
↔
↔
↔
↔
↔
≡
…
≈
≈
≈
≈
≈
≥
≥
() ()
()
(1.4.8)
Se poniamo nella (1.4.4) r = 1, otteniamo l’espressione della media armonica ponderata :
M
ptdt
pt
xt
a
b
a
b
≥
≥
1
()
()
()
(1.4.9)
20
Se prendiamo il
r ο0
lim della (1.4.4), si dimostra che si perviene all’espressione della media
geometrica ponderata
7
:
Me
pt xtdt
ptdt
a
b
a
b
0
≥
≥
()log ()
()
(1.4.10)
Se poi poniamo nelle espressioni precedenti, dalla (1.4.5) alla (1.4.10), p t() 1,
otteniamo le rispettive medie semplici.
La media esponenziale di base c della (1.3.9) si può definire come il valore E che
soddisfa la relazione :
c
cpxdx
pxdx
E
x
a
b
a
b
≥
≥
()
()
Le proprietà delle medie, considerate in questo primo capitolo, saranno esposte nel
capitolo successivo.
7
Si veda C. Gini in [3]
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