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Capitolo 4
Analisi Statica Lineare
L’analisi statica lineare è, fra le analisi atte alla definizione delle sollecitazioni di
progetto sotto le azioni dinamiche, ed in particolar modo quella sismica, la più semplice e
veloce. La possibilità di poter eseguire tale analisi, è legata principalmente alle condizioni
al contorno del problema (regolarità della struttura, tipologia del terreno, importanza
dell’opera). Per ciò che riguarda le strutture esistenti, tale analisi, può rivestire il ruolo di
una verifica preliminare della vulnerabilità dell’edificio. La procedura seguita per
l’analisi è quella riportata nel §7.3.3.2 del D.M. 14/01/2008.
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Ipotesi e Teoria alla base del procedimento
L’analisi statica lineare consiste nell’applicazione di forze statiche equivalenti alle
forze d’inerzia dell’azione sismica e può essere compiuta per edifici regolari in altezza a
condizione che il primo periodo di vibrazione della struttura, nella direzione esaminata,
non superi
(con
pari al periodo d’inizio del tratto a velocità costante dello
spettro di risposta elastico). La regolarità in altezza garantisce che il primo modo di
vibrazione sia effettivamente quello rappresentativo del comportamento della struttura
soggetta al sisma, mentre il controllo del valore del primo periodo di vibrazione permette,
con sufficiente precisione, di essere sicuri che il contributo dei modi superiori al primo,
risulti trascurabile.
L’applicazione di un metodo lineare in un sistema dissipativo, come l’edificio in
esame richiede l’utilizzo di un fattore di struttura, che abbattendo lo spettro elastico,
modelli implicitamente le capacità dissipative della struttura. Nella verifica di
vulnerabilità degli edifici, la stima di tale fattore di struttura, e di tutte le regole di
progetto che dal suo utilizzo discendono (Gerarchia delle Resistenze), è molto
complesso, perciò a tal fine l’analisi statica lineare e in generale le analisi lineari, sono
impraticabili. Nel nostro caso si è comunque preferito procedere con l’analisi
considerando soddisfatte le regole di progetto suddette e utilizzando i fattori di struttura,
proposti dalla Norma, per edifici di nuova costruzione che sono in CD”B” pari a 4 per
entrambe le direzioni di applicazione dell’azione sismica.
La struttura investigata, pur presentando un periodo
(calcolato mediante
l’analisi modale) nelle due direzioni principali, inferiori a
, esibisce delle
caratteristiche di non regolarità in altezza non rispettando il punto f) e g) del §7.2.2. del
D.M. Questo è dovuto al fatto che alcuni elementi resistenti verticali, non si estendono per
tutta l’altezza dell’edificio e la massa presente al livello di copertura (m
3
=34883 kg)
presenta una variazione maggiore del 25% rispetto alla massa presente al secondo
orizzontamento (m
3
=562773 kg). Per questo motivo i fattori di struttura utilizzati
dovranno esser abbattuti del 20% moltiplicando q per un fattore K
R
=0,8 (§7.3.1.
D.M.14/01/2008) e comunque i risultati devono essere considerati ai soli fini di
comparazione con l’altra analisi lineare eseguita cioè la Dinamica Lineare Modale.
Nota: Le masse utilizzate per la determinazione della regolarità in altezza tengono conto delle
combinazione allo SLV Sismiche, che prevedono oltre che alle masse dovuti ai carichi
permanenti, anche quelle derivanti dal 60% dei carichi accidentali. (
§2.5.3
del D.M.14/01/2008)
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Modellazione dell’Azione Sismica
L’entità delle forze statiche da applicare al modello si ottiene dall’ordinata dello
spettro di progetto corrispondente al periodo T
1
calcolato mediante la formula [7.3.5]
fornita dalla normativa:
⁄
Tale formula darebbe come risultato per entrambe le direzioni principali (ponendo
):
⁄
Ritenendo inverosimile che una struttura rettangolare (15x40 m) abbia lo stesso
periodo di oscillazione per le due direzioni ortogonali, e soprattutto avendo, la struttura in
esame, due diversi tipi di meccanismi sismo-resistenti (a telaio e a controventi
concentrici), si è ritenuto più opportuno utilizzare i valori dei periodi d’oscillazione
provenienti dall’analisi modale.
Perciò si è assunto:
Direzione Principale
Periodo T
1
[s]
X (controventi – lato maggiore) 0,931
Y (telaio – lato minore) 0,878
Tab. 4
Nota: L’assunzione dei periodi di vibrazione proposti da normativa, avrebbe proposto una
sovrastima dell’azione sismica, in accordo con l’idea che minore è il grado di
approfondimento dell’analisi, maggiore dovrebbe essere il Fattore di Sicurezza da essa
pervenuto.
La forza da applicare a ciascuna massa della costruzione (in questo caso gli
orizzontamenti) è data dalla formula seguente:
∑
Dove:
;
è la forza da applicare alla massa i-esima;
sono i pesi, rispettivamente, della massa i e della massa j;
sono le quote, rispetto al piano di fondazione, delle masse i e j;
è l’ordinata dello spettro di risposta elastico diviso per il fattore q;
è il peso complessivo della costruzione;
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è un coefficiente pari a 0,85 se la costruzione ha almeno tre
orizzontamenti e se
, pari a 1 in tutti gli altri casi;
è l’accelerazione di gravità.
Fig. 13
Di seguito sono riportate le forze statiche così calcolate per entrambe le direzioni
principali.
DirX DirY
T= 0,931 0,881 [s]
S
e
(T
1
)= 0,346 0,443 [adim]
q= 3,200 3,200 [adim]
S
d
(T
1
)= 0,108 0,139 [adim]
W
1
= 569623 569623 [kg]
z
1
= 4,5 4,5 [m]
W
2
= 562773 562773 [kg]
z
2
= 9 9 [m]
W
3
= 34883 34883 [kg]
z
3
= 13,5 13,5 [m]
W
t
= 1167305 1167305 [kg]
λ= 0,85 0,85 [adim]
F
h
= 1052 1348 [kN]
Σ
j
(z
j
W
j
)= 8099174 8099174 [kg·m]
F
1
= 333 427 [kN]
F
2
= 658 843 [kN]
F
3
= 61 78 [kN]
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Tab. 5
Poiché l’edificio esaminato presenta rigidezze laterali e masse distribuite
simmetricamente in pianta, gli effetti torsionali accidentali dovuti all’incertezza della
corrispondenza fra centro di massa dei piani e centro di massa delle rigidezze dei piani,
possono essere consideranti amplificando le sollecitazioni su ogni elemento resistente,
calcolate con la distribuzione su fornita, attraverso il fattore δ:
Dove x è la distanza dell’elemento resistente verticale dal baricentro geometrico
di piano. Misurata perpendicolarmente alla direzione dell’azione simica considerata ed
è la distanza tra i due elementi resistenti più lontani, misurata allo stesso modo.
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Modellazione della Struttura
Il modello utilizzato per tale tipo di analisi non presenta grandi differenze rispetto
al modello base utilizzato per l’analisi modale. L’unica modifica è stata apportata ai
controventi di parete presenti nella direzione X. Nel modello base infatti questi sono stati
modellati dimezzandone le rigidezze assiali per tener conto del fatto che se esposti a
compressione non avrebbero opposto nessuna resistenza.
Nel nuovo modello, avendo la sollecitazione un verso ben definito, si è potuto
procedere eliminando completamente i controventi che sarebbero andati in compressione
(e quindi avrebbero sofferto l’instabilità). Tale approssimazione ha reso il modello un po’
più realistico rispetto al precedente per via della più corretta distribuzione delle forze
trasmesse dal sistema sismo-resistente (i controventi di parete) al resto della struttura.
Fig. 14
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Risultati e Conclusione
La verifica degli elementi strutturali è stata condotta in accordo al
D.M.18/01/2008 e in particolare ai paragrafi §4.2.4.1. Per le membrature Presso-Inflesse è
stata eseguita la verifica d’instabilità tramite il Metodo A proposto nella Circolare
Esplicativa 02/02/2009.
Oltre alle verifiche di resistenza e stabilità, si sono verificate le regole di progetto
specifiche per strutture con controventi concentrici e strutture intelaiate in acciaio. In
particolare si sono riscontrati problemi evidenti per ciò che riguarda la resistenza dei
collegamenti, che non rispettano con sufficiente regolarità il concetto di Gerarchia di
Resistenza. Inoltre la snellezza adimensionale dei profili utilizzati nei controventi a X
risulta notevolmente al di sopra dei limiti imposti:
Limiti
(§7.5.5. D.M.18/01/2008)
Le verifiche sono state eseguite su un numero limitato di elementi. Sono stati
esaminati tutti gli elementi verticali e i controventi di parete più gli elementi formanti due
travi fra loro ortogonali del primo impalcato del fabbricato.
Essendo la struttura bi-simmetrica si sono rese necessarie due sole combinazioni
di tipo sismico:
1)
2)
Sono state considerate anche le combinazioni non sismiche, ma poiché
risultavano poco significativi rispetto alla resistenza della struttura non sono state
riportate.
I risultati sono riassunti in forma tabellare nell’Allegato A.
Dalla lettura dei risultati si evincono le seguenti conclusioni:
Le colonne sono ben dimensionate sia per resistenza ultima sia per
instabilità presso-flessionale;
I controventi di parete soggetti a trazione del primo livello non sono
verificati, mentre lo sono quelli al secondo e terzo livello;
Alcuni elementi delle travi reticolari, in particolare le diagonali, non sono
verificati sia in trazione sia per l’instabilità.
Di seguito è riportato in forma tabellare un riassunto dei coefficienti di sicurezza e
dei fattori di sicurezza ottenuti separatamente per le tre classi di elementi utilizzati,
prendendo il massimo delle due combinazioni sismiche.
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Nota: Per coefficiente di sicurezza si è inteso il rapporto fra valore di progetto e valore limite,
mentre per fattore di sicurezza il suo inverso, cioè il rapporto fra il valore limite e il
valore di progetto.
Resistenza Elementi
Classe Elementi
C.S. F.S.(=1/ C.S.)
Medio Massimo Medio Minimo
Colonne 0,18 0,38 5,56 2,63
Controventi di parete 0,72 1,44 1,39 0,69
Elementi travi reticolari 0,30 1,65 3,33 0,61
Tab. 6
Instabilità Elementi
Classe Elementi
C.S. F.S.(=1/ C.S.)
Medio Massimo Medio Minimo
Colonne 0,30 0,65 3,33 1,54
Controventi di parete - - - -
Elementi travi reticolari 0,35 1,32 2,86 0,76
Tab. 7
Nota: Per i controventi di parete non si è considerata l’instabilità poiché gli elementi compressi
(che non contribuiscono alla rigidezza della struttura in virtù della loro snellezza) non
sono stati considerati.
I valori medi dei coefficienti di sicurezza e dei fattori di sicurezza possono essere
intesi come un utile strumento per la valutazione del grado di sfruttamento degli elementi
di un opera. Un basso livello di del coefficiente di sicurezza medio a fronte di un alto
valore di quello massimo, è segno di progettazione che non guarda allo sfruttamento
completo delle risorse messe a disposizione.
Aldilà di queste considerazioni secondarie, è possibile riassumere il grado di
sicurezza dell’edificio attraverso un unico numero che rappresenta il Fattore di sicurezza
minimo della struttura. Nel caso in questione, e per questo tipo di analisi, detto fattore è
pari a :
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Capitolo 5
Analisi Dinamica Lineare
L’analisi dinamica modale lineare è ritenuta a oggi, la più conveniente, per due
aspetti fondamentali: la velocità di esecuzione e la possibilità di cogliere, rispetto
all’analisi statica lineare, alcuni aspetti di comportamento della struttura dovuti
all’irregolarità in pianta ed in elevazione della stessa. Anche quest’analisi è stata
compiuta in accordo alla normativa italiana vigente (D.M.14/01/2008), che inoltre
afferma come tale analisi sia quella base per la verifica degli edifici in zona sismica.
E’ da aggiungere che il procedimento suggerito da normativa prevede l’utilizzo,
come azione sismica, dello spettro di risposta di progetto, che pur essendo comodo
nell’utilizzo, non è tuttavia l’unico modo di rappresentare l’azione sismica in tale tipo di
analisi.
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Ipotesi e Teoria alla base del procedimento
L’analisi dinamica modale lineare è condotta secondo tre passaggi fondamentali:
1. Determinazione dei modi di vibrare naturali della costruzione (analisi
modale);
2. Calcolo degli effetti dell’azione sismica, rappresentata dallo spettro di
risposta di progetto, per ciascuno dei modi di vibrare individuati;
3. Combinazione degli effetti relativi a ciascun modo di vibrare.
Per ciò che concerne il primo punto, devono essere considerati tutti i modi con
massa partecipante superiore al 5% e comunque un numero di modi la cui massa
partecipante totale sia superiore all’85%.
Il calcolo degli effetti dell’azione sismica per ciascuno dei modi di vibrare
individuati, è effettuato direttamente dal calcolatore, che necessita come input dello
spettro di progetto. Il programma individua automaticamente i periodi di oscillazione dei
singoli modi, cui sarà associata, grazie proprio allo spettro di risposta di progetto, una
accelerazione univoca per tutte le masse in gioco in quel determinato modo.
Associate le accelerazioni alle masse (le accelerazioni avranno verso concorde al
verso dei membri degli autovettori riguardanti i singoli modi), il programma
automaticamente combinerà le soluzioni di ogni “singolo oscillatore” secondo quanto
previsto dalla Norma, cioè attraverso una combinazione quadratica completa (CQC):
(∑ ∑
)
In cui
rappresenta il coefficiente di correlazione tra il modo i e il modo j.
In accordo a quanto già detto riguardo all’analisi statica, l’applicazione di un
metodo lineare in un sistema dissipativo, come l’edificio in esame richiede l’utilizzo di un
fattore di struttura, che abbattendo lo spettro elastico, modelli implicitamente le capacità
dissipative della struttura. Nella verifica di vulnerabilità degli edifici, la stima di tale
fattore di struttura, e di tutte le regole di progetto che dal suo utilizzo discendono
(Gerarchia delle Resistenze), è molto complesso, perciò a tal fine l’analisi statica lineare
e in generale le analisi lineari, sono impraticabili. Nel nostro caso si è comunque preferito
procedere con l’analisi considerando soddisfatte le regole di progetto suddette e
utilizzando i fattori di struttura, proposti dalla Norma, per edifici di nuova costruzione che
sono in CD”B” pari a 4 per entrambe le direzioni di applicazione dell’azione sismica.
Anche nel caso dell’analisi dinamica lineare modale con spettro di risposta,
sussistono tutte le regolarità evidenziate nel precedente capitolo, e di conseguenza i valori
dei coefficienti da utilizzare per portarle in conto.
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Modellazione dell’Azione Sismica
In questo tipo di analisi, l’azione sismica è rappresentata semplicemente dallo
Spettro di risposta di Progetto, ottenibile da quello elastico, riducendo le ordinate,
relative a periodi superiori a
(inizio del tratto ad accelerazione costante), tramite il
fattore di struttura, che nel nostro caso è (stante la riduzione del 20% dovuto
all’irregolarità in altezza dell’edificio).
Fig. 15
Gli effetti dell’eccentricità accidentale del centro di massa sono stati determinati
mediante l’applicazione di carichi statici costituiti da momenti torcenti di valore pari alla
risultante orizzontale della forza agente al piano, determinata come nel caso dell’Analisi
Statica Lineare, moltiplicata per l’eccentricità accidentale del baricentro delle masse
rispetto alla sua posizione di calcolo. Tal eccentricità è:
Direzione X (Lato maggiore in pianta dell’edificio)
Direzione Y (Lato minore in pianta dell’edificio)
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