Analisi di Modelli per il Volo in Formazione di Satelliti

 4
In questa ipotesi, si è verificata la stabilità delle formazioni studiate. Si è 
quindi trovato un modo per tenere conto del rigonfiamento equatoriale 
della Terra anche nella soluzione delle equazioni di Hill, nel caso di 
satelliti su orbite polari ed in formazione circolare. 
 
 5
Introduzione  
 
Negli ultimi anni si è andato delineando un sempre più vivo interesse per 
la possibilità di far volare satelliti di piccole dimensioni in formazione. 
Una formazione è costituita da un gruppo di satelliti che orbitano in 
prossimità gli uni degli altri e che possono quindi scambiare tra loro dati 
e interagire per portare a termine la stessa missione.  
Il volo in formazione rappresenta un’alternativa interessante al 
tradizionale ricorso ad un unico satellite, e ciò sia dal punto di vista 
economico che tecnico. Infatti, piuttosto che costruire e mettere in orbita 
un satellite complesso e di grandi dimensioni, è più conveniente 
distribuire le apparecchiature necessarie alla missione su un certo numero 
di piccoli satelliti (vedi Fig.I-1), che operino insieme come se si trattasse 
di un unico satellite virtuale.  
 
      
 
 
Fig. I-1 Il volo in formazione di più satelliti come alternativa al 
ricorso ad un unico satellite 
 6
Finora il ricorso a formazioni di piccoli satelliti era impedito da un limite 
di natura tecnologica, legato dalle basse prestazioni che essi potevano 
fornire (in termini di potenza, memoria e capacità computazionali). Il 
recente sviluppo delle micro e delle nanotecnologie ha consentito di 
superare questo ostacolo. 
I vantaggi che si avrebbero dall’impiego di formazioni di piccoli satelliti 
sono molteplici:  
- il peso di ciascun satellite della formazione sarebbe compreso tra i 
10 ed i 100kg, mentre un satellite tradizionale ha un peso 
sicuramente superiore ai 1000kg. Questo ha senz’altro un 
immediato risvolto sui costi per la messa in orbita. Le dimensioni 
limitate, inoltre, consentono di alloggiare più satelliti sullo stesso 
lanciatore, ottimizzandone le capacità di carico.  
-       A ciò si devono aggiungere i vantaggi legati alla possibilità di poter 
modificare in qualsiasi momento la configurazione del gruppo di         
satelliti, semplicemente modificandone le posizioni relative. In 
questo modo è possibile cambiare la tipologia di missione alla quale 
è deposta la formazione. Si veda in proposito la Fig.I-2: 
 Fig.I-2 Le formazioni possono essere riconfigurate per svolgere missioni 
diverse 
 7
-  Inoltre è possibile, e ciò è particolarmente interessante per 
l’osservazione della superficie terrestre, disporre i satelliti in modo    
da avere una apertura senz’altro maggiore di quella ottenibile con un     
solo satellite, per quanto grande possa essere. In pratica l’apertura 
che è possibile ottenere è illimitata, dato che non dipende più dalle 
dimensioni del singolo satellite, ma piuttosto dal numero di satelliti 
impiegati. 
-  D’altra parte l’eventuale guasto di uno dei satelliti non pregiudica 
completamente la missione, ma si ha un degrado graduale delle    
prestazioni dell’intera formazione. Il singolo satellite può essere 
sostituito, con costi senz’altro inferiori di quelli che si avrebbero nel 
caso in cui si dovesse sostituire un satellite di grandi dimensioni. 
Inoltre la formazione può essere riconfigurata per minimizzare gli 
effetti del guasto.  
  -      La possibilità di produrre questi microsatelliti in serie riduce i  costi   
      di produzione. 
-  E’ possibile ricorrere, per ciascun satellite, ad un sistema di  
propulsione al plasma (si veda la Fig.I-3). 
 
Fig.I-3 Propulsore al plasma, adatto per satelliti di piccole dimensioni 
 8
- Ultimo aspetto da considerare è che spesso una piattaforma spaziale 
abitata, come la Stazione Spaziale Internazionale,  proprio a causa      
della presenza di equipaggio a bordo, e anche per le sue grandi 
dimensioni, non è in grado di realizzare condizioni di “0g” ottimali, 
specie nei punti ad una certa distanza dal centro di massa; a questo 
problema si può ovviare prevedendo piattaforme ausiliarie, non 
abitate, che volino in formazione con la I.S.S., ad una distanza che 
rimanga costante nel tempo.  
 
Per progettare le possibili configurazioni dei “clusters”, verificando che 
siano sufficientemente stabili (cioè che la formazione non si sciolga a 
causa dell’allontanamento relativo dei satelliti), è necessario riuscire a 
determinare con accuratezza la posizione dei vari satelliti. 
Tradizionalmente si è fatto ricorso alle equazioni di Hill (anche note 
come equazioni di Clohessy-Willshire), che sono un sistema di equazioni 
linearizzate che descrivono il moto relativo di due satelliti vicini, in 
orbite quasi-circolari, e immersi nel campo gravitazionale di un corpo 
centrale a simmetria sferica. Le equazioni di Hill furono inizialmente 
utilizzate con successo per problemi di rendezvous, ma la loro 
applicazione è stata  poi estesa anche al volo in formazione.  
In questo lavoro di tesi saranno ricavate analiticamente tali equazioni, e 
se ne determinerà la soluzione nell’ipotesi che i satelliti della formazione 
siano soggetti soltanto alla forza di attrazione gravitazionale della Terra, 
supposta a simmetria sferica.  
 9
Si passerà dunque a studiare alcune particolari configurazioni che una 
formazione di satelliti può assumere. In particolare, faremo l’assunzione 
che ciascuna formazione sia costituita da soli due satelliti, ipotesi, questa, 
che non lede in nessun modo la generalità dei risultati ottenuti. Uno dei 
due satelliti della formazione sarà assunto come riferimento, e il moto 
della formazione sarà descritto in  termini del moto relativo del secondo 
satellite rispetto ad esso.  
Si determinerà dunque il valore che bisogna assegnare all’istante iniziale 
ai vettori spostamento e velocità relativi del secondo satellite rispetto a 
quello di riferimento, in modo che effettivamente i due satelliti,  nel corso 
del loro moto di rivoluzione attorno alla Terra, si mantengano nella 
configurazione desiderata.  
Le configurazioni per il volo in formazione di satelliti che saranno 
esaminate sono quattro:  
- satelliti sulla stessa orbita, ad una distanza che si mantiene costante 
nel tempo; 
- satelliti che hanno la stessa traccia al suolo; 
- satelliti in formazione circolare (i satelliti della formazione, nel corso 
del loro moto orbitale attorno alla Terra, descrivono, in termini di 
moto relativo al satellite di riferimento, una circonferenza di raggio 
costante. In pratica, stiamo dicendo che il moto orbitale dei satelliti 
della formazione si traduce, se osservato dal satellite di riferimento, 
in una circonferenza di centro coincidente proprio con tale satellite); 
 10
- satelliti in formazione con proiezione circolare  (in questo caso i 
satelliti descrivono una traiettoria ellittica attorno al satellite di 
riferimento, che appare però essere una circonferenza se osservata 
dalla superficie terrestre). 
Tali formazioni sono state studiate da Sabol, Burns e McLaughlin (rif.5), 
in questa tesi si proporranno alcune dimostrazioni analitiche dei risultati 
da essi conseguiti. 
Una volta determinati, utilizzando le equazioni di Hill, i valori da 
assegnare ai vettori posizione e velocità iniziali dei due satelliti, si 
propagheranno nel  tempo tali vettori e si ricaveranno le caratteristiche 
delle orbite da essi descritte attorno alla Terra. Ciò servirà anche come 
verifica della validità delle equazioni di Hill, perché mostreremo come la 
previsione del moto relativo fatta sulla base di tali equazioni si discosti in 
maniera trascurabile dalla realtà fisica.  
Infine, si introdurrà nelle simulazioni numeriche l’effetto del 
rigonfiamento equatoriale della Terra, e si verificherà che esso è 
destabilizzante per le formazioni circolari ed a proiezione circolare 
esaminate, nel senso che è la causa di un allontanamento progressivo dei 
satelliti della formazione.  
Si proporrà dunque un modo per tenere conto dell’effetto del 
rigonfiamento equatoriale della Terra anche nelle equazioni di Hill, nel 
caso particolare di formazione circolare in cui i satelliti siano su orbite 
polari. 
 11
Introduzione dei sistemi di riferimento utilizzati. 
 
Nel testo si farà uso dei seguenti sistemi di riferimento: 
 
- sistema di riferimento geocentrico inerziale (X_p, Y_p, Z_p):  
il piano fondamentale è quello equatoriale terrestre, cui appartengono gli assi X_p e 
Y_p, in particolare l’asse X_p punta verso la direzione dell’equinozio di primavera; 
l’asse Z_p coincide con l’asse di rotazione della Terra. Si veda la Fig.1. 
 
 
Fig.1 Sistemi di riferimento geocentrico e perifocale 
Y_p 
X_p 
γ 
Z_p
Z_ω ≡  h 
i 
satellite 
X_ω 
linea 
  dei 
    nodi 
Ω 
ω
perigeo
 12
- Sistema di riferimento perifocale (X_ω, Y_ω, Z_ω): 
il piano fondamentale è quello dell’orbita; l’asse X_ω punta verso il perigeo; l’asse Y_ω 
è ruotato di 90° nella direzione del moto orbitale; l’asse Z_ω è lungo la direzione del 
vettore momento angolare, h, e completa la terna levogira. Nel testo si indicheranno 
rispettivamente con 
^^^
, WeQP  i versori di questi assi. Si veda la Fig.1. 
 
- Sistema di riferimento solidale al satellite (x, y, z): 
l’asse x si trova lungo la direzione radiale, ed è diretto dal centro della Terra al satellite, 
l’asse y è tangente all’orbita e orientato lungo il verso del moto, e l’asse z è normale al 
piano dell’orbita descritta dal satellite. Si veda la figura 2. 
 
              
 
  Fig.2  Sistema di riferimento solidale al satellite 
ρ 
c.T.
 13
1.1 Le equazioni di Hill 
 
 
Come detto le equazioni di Hill sono state impiegate con successo in tipici problemi di 
rendezvous, in cui nella fase finale, prima dell’aggancio vero e proprio, i due satelliti 
sono in prossimità l’uno dell’altro e spesso su traiettorie quasi-circolari, ed è necessario 
studiare il loro moto relativo. Tuttavia esiste una ampia letteratura a livello 
internazionale in cui le stesse equazioni sono applicate allo studio del volo in 
formazione.   
Consideriamo due satelliti in orbite vicine quasi-circolari  attorno ad un corpo centrale: 
sat_1 e sat_2.  
Possiamo ad esempio supporre che le due orbite abbiano lo stesso periodo, ma un valore 
diverso dell’eccentricità (e), sicchè ci sarà un moto relativo tra i due satelliti. Vogliamo 
ora descrivere questo moto relativo in un sistema di riferimento solidale con il sat_1 
(che assumiamo come satellite di riferimento), che sia così definito: l’asse x si trova 
lungo la direzione radiale, ed è diretto dal centro della Terra al sat_1, l’asse y è tangente 
all’orbita e orientato lungo il verso del moto, e l’asse z è normale al piano dell’orbita. Si 
veda la figura 3. 
 14
 
  
Fig.3  Posizione relativa dei due satelliti rispetto al sistema di riferimento geocentrico inerziale 
e rispetto a quello solidale al sat_1 
 
 
Assumiamo quindi che sul sat_1 agisca esclusivamente la forza di gravità esercitata dal 
corpo centrale. Di conseguenza possiamo descrivere il moto del sat_1 nel campo 
gravitazionale del corpo centrale con la classica equazione che descrive il problema dei 
due corpi (rif.1):  
                            (1)  
 
3
1
1
..
1
r
r
r
 Π
   
ρ 
^
x
^
z
^
y
Terra
sat_1 
sat_2 
 15
Le ipotesi che sono alla base della validità di questa equazione e che vanno 
evidentemente riprese anche a proposito delle equazioni di Hill che da essa discendono, 
sono le seguenti:  
 ξ  la Terra è assunta essere a simmetria sferica e quindi può essere trattata come 
un punto massa; 
 ξ  si può trascurare l’attrazione gravitazionale esercitata da ciascuno dei due 
satelliti sulla Terra e sull’altro satellite;  
 ξ  si può trascurare la massa del sat_1 e del sat_2 rispetto a quella della Terra 
A questo punto possiamo scrivere l’equazione che descrive la traiettoria del sat_2 
attorno al corpo centrale, prevedendo però la possibilità che questo sat_2 sia sottoposto 
a una qualche forza esterna, es. ad una spinta, in grado di modificarne la traiettoria: 
f
r
r
r      
3
2
2
..
2
 Π
                   (2) 
dove f è una forza specifica. Introduciamo un vettore posizione relativa ρ(x,y,z) tale che 
 
12
rr   + Υ                                   (3) 
 
      
 
e che rappresenta quindi il vettore posizione del sat_2 rispetto al sat_1. Andando a 
derivare due volte l’equazione (3), otteniamo evidentemente che: 
Figura 4 Triangolo dei vettori in esame  
sat_1 
sat_2 
 16
 
....
1
..
2
 Υ    rr           (4) 
e, quindi: 
 
..
1
..
2
..
rr      Υ                   (5)   
per cui, ricordando le (1) e (2), si ha: 
                                           
       (6) 
 
In base alla (3), e ricordando il teorema di Carnot applicato al triangolo di vettori 
riportato in Fig. 4,  possiamo scrivere che: 
 
       
2\3
1
22
1
1
2\3
2
2
1
3
2
2
cos2  − Υ Υ
 Υ Υ
rr
r
r
r
r
r
   
  
  
  
              (7) 
Per cui, sostituendo a  − Υcos
1
r   il prodotto scalare  Υ  
1
r , si ottiene: 
      
   
2\3
1
22
1
1
3
2
2
2  Υ Υ
 Υ
      
  
  
rr
r
r
r
               (8)                         
vale a dire:     
       
2\3
1
22
11
3
2
2
2
  
          ΥΥΥ rrr
r
r
            (9) 
A questo punto mettiamo in evidenza 
2
1
r  e, assumiamo che ρ<<r
1
 
e che quindi 1
2
1
2
    
r
 Υ
;  
possiamo allora scrivere: 
 
    
2\3
2
1
1
3
1
1
3
2
2
2
1
  
 ÷
 ÷
 ≠
 •
 ♦
 ♦
 ♥
♣  
  
  
  
r
r
r
r
r
r ΥΥ
       (10) 
fr
r
r
r
r
  
 ≈
 …
 ≡
 ↔
 ←
 ♠
    
2
3
2
3
1
1
3
1
..
 Π
 Υ
 17
Ricordando che: 
 )(1)1(
2
xoxx         ∆
 ∆
 
nell’ipotesi di x<<1 posso troncare la serie al termine del primo ordine, e quindi la (10) 
diventa:  
 
    
 °
↵
 °
 
 
 °
↓
°
 →
↑
  
 ÷
 ÷
 ≠
•
 ♦
 ♦
 ♥
♣   
  
  
  ...
2
2
3
1
2
1
1
3
1
1
3
2
2
r
r
r
r
r
r ΥΥ
      (1) 
dove abbiamo tenuto conto del fatto che sicuramente, nell’ipotesi di piccolo 
spostamento relativo tra i due satelliti, 1
2
1
1
    
  
r
r Υ
. 
Se ora andiamo a sostituire la (11) nella (6) otteniamo: 
    
f
r
r
r
r
rr
r
  
 °
↵
 °
 
 
 °
↓
 °
 →
 ↑
 ≈
 ≈
 …
 ≡
 ↔
 ↔
 ←
 ♠
 ÷
 ÷
 ≠
 •
 ♦
 ♦
 ♥
 ♣   
  
 
    
2
1
1
3
1
1
3
11
3
1
..
2
2
3
1
ΥΥ
 Π
 Υ           (12)  
 
Sviluppando il prodotto e trascurando il termine Υ 
 ÷
 ÷
 ≠
 •
 ♦
 ♦
 ♥
 ♣   
2
1
1
2
2
3
r
r Υ
si ha: 
f
r
r
rrr
r
  
 °
↵
 °
 
 
 °
↓
 °
 →
 ↑
 ÷
 ÷
 ≠
 •
 ♦
 ♦
 ♥
 ♣  
        
2
1
1
111
3
1
..
3
Υ
Υ
 Π
 Υ        (13) 
cioè: 
f
r
r
r
r
r
  
 °
↵
 °
 

 °
↓
 °
 →
↑
 ÷
 ÷
 ≠
 •
 ♦
 ♦
 ♥
 ♣
        ΥΥ
 Π
 Υ
1
1
1
1
3
1
..
3        (14) 
..
 Υè la accelerazione inerziale del sat_2 rispetto al sat_1. In realtà a noi interessa 
conoscere l’accelerazione relativa del sat_2, vale a dire l’accelerazione del sat_2 così 
come è vista dal sat_1.