Analisi di fattibilità per la fabbricazione di strutture a cristallo fotonico mediante tecniche di laser micromachining

gerito che in microstrutture dielettriche fortemente affette da scatter-
ing dovrebbe essere possibile ottenere un perfetto isolamento dei mo-
di elettromagnetici, quindi e` possibile il formarsi di una distribuzione
localizzata di luce[4]. Il concetto di cristallo fotonico e` stato introdot-
to gia` nel 1987[1, 2], incluso il concetto di bandgap fotonico (PBG).
Questo termine e` stato adottato in analogia con il bandgap elettronico
presente nei cristalli, dove lo scattering periodico di onde elettroniche
fa aumentare le bande proibite per la propagazione di elettroni[5, 6].
Allo stesso modo, si hanno bande proibite per la propagazione di fotoni
in strutture con modulazioni periodiche di indice di rifrazione[7]. Oltre
al photonic bandgap, queste strutture possono dar luogo a fenomeni
di risonanza, se illuminati da una radiazione incidente normalmente e
ad opportune lunghezze d’onda. Tali fenomeni sono detti risonanze
guidate. Recenti studi condotti dai gruppi di ricerca di Oproelettron-
ica e di Elettromagnetismo dell’Universita` del Sannio, hanno inoltre
dimostrato, per la prima volta, che tali fenomeni possono occorrere
anche in strutture aperiodiche[8]. Lo scopo del presente lavoro e` vali-
dare sperimentalmente ed ottimizzare, un processo di fabbricazione per
cristalli e quasicristalli fotonici al fine di realizzare, internamente al-
l’Universita` del Sannio, una struttura aperiodica in grado di innescare
le risonanze guidate.
Nella prima parte del presente lavoro sono state esaminate le proprieta`
ottiche di tali strutture ponendo particolare attenzione alle risonanze
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guidate che si innescano nei cristalli fotonici, fenomeno che rende in-
teressanti tali dispositivi. Nella seconda parte del lavoro sono presen-
tate le piu` diffuse tecniche di fabbricazione per microstrutture, quali
i cristalli fotonici. Ognuna delle tecniche e` funzionale all’ottenimen-
to di specifiche proprieta` di manipolazione della luce all’interno della
struttura[1, 6]. Tra le tecniche di fabbricazione esaminate, e` stata
focalizzata l’attenzione sul laser micromachining i cui principali aspet-
ti teorici sono stati esaminati dettagliatamente nel terzo capitolo. Il
quarto capitolo verte sullo studio di fattibilita` per la realizzazione di
tale struttura. Il quinto capitolo verte sulla realizzazione del prototipo,
mentre il sesto sulla sua caratterizzazione.
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Capitolo 1
Cristalli fotonici: nuova
generazione di
dispositivi ottici
In questo capitolo verra` data una breve descrizione teorica dei cristal-
li fotonici. La chiave per la comprensione delle proprieta` dei cristalli
fotonici e` la descrizione della struttura in termini di banda fotonica,
cioe` qual’e` l’inviluppo della banda e come lo si calcola. C’e` una forte
analogia tra il movimento degli elettroni in un potenziale periodico e
la diffusione di fotoni in strutture ad indice di rifrazione che varia peri-
odicamente che permette di utilizzare alcuni stumenti matematici per
descrivere la banda elettronica dei semicoduttori. Si iniziera` a descri-
vere la propagazione della luce in un mezzo con variazioni periodiche
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Cristalli fotonici: nuova generazione di dispositivi ottici
di indice di rifrazione monodimensionali (specchio di Bragg) e le sue
soluzioni analitiche. Tale descrizione verra` poi estesa qualitativamente
ad una struttura bidimensionale (slab a cristallo fotonico). Inoltre ver-
ranno illustrati tre metodi computazionali impiegati per lo studio di
cristalli fotonici 2D.
1.1 Introduzione
In generale, un cristallo e` una configurazione spazialmente periodica
di un blocco di materia. In un cristallo fotonico, ogni singola cella
e` prodotta con materiali caratterizzati da costanti dielettriche diverse
tra loro.
Figura 1.1: Strutture periodiche in 1, 2 e 3 dimensioni.
La dimensionalita` del cristallo fotonico e` determinata dal numero di
assi indipendenti lungo i quali sono presenti variazioni periodiche di
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Cristalli fotonici: nuova generazione di dispositivi ottici
indice di rifrazione relativamente alle lunghezze d’onda in esame, in
grado di modificare la propagazione della luce all’interno del cristallo
stesso.
E’ possibile realizzare cristalli fotonici ad 1, 2 e 3 dimensioni cos`ı come
illustrato in figura 1.1. a rappresenta il periodo della struttura, n1
ed n2 rappresentano gli indici ri rifrazione di due differenti materiali
dielettrici. Un cristallo fotonico 1D e` composto da una serie periodi-
ca di strati composti da differenti materiali dielettrici, un esempio di
tale struttura e` un sottile film multistrato. Le proprieta` ottiche di tale
struttura sono oggetto di studi ancor prima che venisse coniato il ter-
mine cristallo fotonico[9]. Qualitativamente, la propagazione di luce
in una struttura 1D puo` essere spiegata come segue: quando la luce
interagisce con materiali di differenti indici di rifrazione, si presentano
fenomeni di diffusione e diffrazione di luce.
Figura 1.2: Rappresentazione schematica della diffrazione di Bragg.
Una struttura multistrato composta da strati alterni (specchio di Bragg)
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Cristalli fotonici: nuova generazione di dispositivi ottici
costituisce il piu` semplice esempio di cristallo fotonico 1D capace di ma-
nipolare la propagazione della luce tramite diffusione per effetto Bragg
[10] come mostrato in figura 3.7.
Le onde incidenti vengono diffratte dagli strati del reticolo e possono
interferire in modo distruttivo se la massima e la minima delle onde
riflesse non si sovrappongono in fase, o costruttivo se si sovrappon-
gono in fase ovvero se la differenza di percorso tra onda incidente ed
onda diffusa e` pari ad un multiplo intero (m) della lunghezza d’onda
dell’onda incidente λ.
mλ = 2d sin θ (1.1)
dove d e` la spaziatura tra gli strati della struttura e θ e` l’angolo di
incidenza dell’onda rispetto al piano della struttura.
Nei cristalli fotonici, la spaziatura tra gli strati deve essere dello stesso
ordine della lunghezza d’onda, e cio` causa forti diffrazioni di Bragg
dovute al range specifico di lunghezze d’onda (frequenze ottiche). La
riflessione di Bragg di onde ottiche e` stata ampiamente studiata per
strutture multistrato come ad esempio gli specchi di Bragg [11] e puo`
anche spiegare parzialmente le origini fisiche delle proprieta` ottiche dei
cristalli fotonici. Un ben noto esempio di tali strutture e` un rivesti-
mento multistrato su specchi o lenti ottiche. Tali strutture consistono
in deposizioni multiple di sottili strati di materiale dielettrico con dif-
ferenti indici di rifrazione, che puo` avere o un’elevata riflettivita` o
un’elevata trasmittanza ad un dato range di lunghezze d’onda. Ad es-
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Cristalli fotonici: nuova generazione di dispositivi ottici
empio, un’onda piana incidente su un cristallo fotonico 1D da destra a
sinistra, cos`ı come mostrato in figura 3.8, verra` ripetutamente riflessa
ad ognuna delle interfaccie tra materiali, secondo la legge della rifles-
sione di Fresnel.
Dipendendo dalla differenza di percorso ottico, data dal periodo a del-
l’indice di rifrazione degli strati, la riflessione puo` interferire costrut-
tivamente o distruttivamente cos`ı che la luce sara` riflessa o trasmessa
piu` efficacemente dall’intera struttura.
Figura 1.3: Rappresentazione schematica del processo di interferenza su uno
specchio multistrato.
Alcune onde a determinate frequenze, possono essere completamente
riflesse usando cristalli fotonici con un gran numero di periodi come
in un specchio multistrato altamente riflettente. Questo e` un esem-
pio di un cristallo fotonico 1D avente una stopband1 nella direzione
perpendicolare alla modulazione dell’indice di rifrazione. La posizione
1Banda di lunghezze d’onda in cui non e` consentita la propagazione di onde elettromagnetiche
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Cristalli fotonici: nuova generazione di dispositivi ottici
spettrale di tale stopband puo` essere modificata cambiando lo spessore
e/o l’indice di rifrazione degli strati.
La differenza tra cristalli fotonici 1D e 2D sta nel fatto che i cristalli 2D
confinano la luce in due dimensioni anziche` in una. Un cristallo foton-
ico 2D consiste in una configurazione periodica di materiali con differ-
enti indici di rifrazione in due dimensioni, come mostrato in figura 1.1.
Tali strutture sono state ampiamente studiate da Joannopoulos[12]. La
propagazione di luce attraverso il cristallo e` spiegata dall’interferenza
della luce, che viene riflessa, rifratta e diffratta, nel piano del reticolo,
dalle variazioni periodiche di indice di rifrazione. Come risultato, la
propagazione di luce attraverso la struttura, mostra una dispersione
che dipende dalla direzione di propagazione pertanto, l’idea della re-
gione di Brillouin, usata per descrivere reticoli cristallini, e` utile nel-
lo studio dei cristalli fotonici. Dato che i cristalli fotonici hanno una
simmetria traslazionale discreta, il loro calcolo puo` essere ricondotto al
calcolo dei modi fotonici nella regione di Brillouin, che corrisponde alla
struttura reciproca a lattice (detta spazio k). Tale struttura e` l’inverso
dello spazio reale[13]. In questo modo, per calcolare la dispersione dei
modi ed il range di lunghezze d’onda della stopband, va considerato
unicamente il vettore d’onda nella prima regione di Brillouin[12].
Al fine di creare un bandgap fotonico (PBG), cioe` una stopband in
tutte le direzioni di propagazione[11] e` richiesto in principio un cristal-
lo 3D. Comunque, i cristalli fotonici 3D sono difficili da fabbricare in
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Cristalli fotonici: nuova generazione di dispositivi ottici
quanto e` necessario che vi sia una bassa densita` di difetti in tutte e tre
le dimensioni. Una struttura piu` semplice da fabbricare, controllan-
done i dfetti, e` senza dubbio una slab a cristallo fotonico 2D. In tale
struttura le variazioni di indice di rifrazione hanno un effetto guidante
tale da confinare la luce in tutte e tre le dimensioni.
Una rigorosa trattazione della propagazione di luce e della struttura a
bande dei cristalli fotonici e` disponibile in letteratura[14]. In questo
lavoro di tesi verranno richiamate solo le proprieta` di base dei cristalli
fotonici al fine di comprendere le proprieta` ottiche della slab a cristallo
fotonico che si intende realizzare. Le formulazioni teoriche impiegate
per predire le proprieta` dei cristalli fotonici sono basate sull’assunto
che i cristalli fotonici sono perfettamente periodici ed estesi all’infini-
to. Nella pratica invece, i cristalli hanno dimensioni finite e presentano
delle non-perfette periodicita`. Ad ogni modo, molte delle proprieta`
ottiche di strutture prefettamente periodiche ed infinite si ritrovano
ancora in cristalli fotonici finiti affetti da errori di fabbricazione.
1.1.1 Teoria dei cristalli fotonici
In questa sezione verranno richiamati gli aspetti teorici relativi ai
cristalli fotonici[12]. Al fine di determinare l’esistenza e quantificare le
stopband, e` necessario trovare la relazione di dispersione della luce nel
cristallo, cioe` la dipendenza della frequenza ottica ω rispetto al numero
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Cristalli fotonici: nuova generazione di dispositivi ottici
d’onda (o vettore d’onda) k all’interno del cristallo.
Il punto di partenza e` costituito dalle equazioni di Maxwell, usate per
descrivere ogni fenomeno elettromagnetico. Tali equazioni, nel dominio
della frequenza, sono espresse come segue:
∇× E = −∂B
∂t
(1.2)
∇×H = ∂D
∂t
+ J (1.3)
∇ ·D = ρ (1.4)
∇ ·B = 0 (1.5)
dove B e` il flusso magnetico [T ], ρ e` la densita` di carica [C/m3] e D e`
il vettore induzione elettrica [C/m2] legato al campo elettrico E [V/m]
tramite la costante dielettrica , J e` la densita` di corrente [A/m2] e
c e` la velocita` della luce nel vuoto [m/s]. E’ possibile semplificare le
equazioni di Maxwell introducendo una serie di approssimazioni; per
prima cosa si puo` assumere che il mezzo dielettrico non abbia cariche
libere o correnti per cui si pone ρ = 0 e J = 0. Una seconda approssi-
mazione e` assumere che il cristallo fotonico sia soggetto unicamente ad
un campo di radiazione evanescente il quale fa si che la polarizzazione
del mezzo rimanga proporzionale al campo elettrico della luce, igno-
ranto i termini di ordine elevato nella relazione tra E e D. Terza, si
puo` assumere che la  nella posizione r non dipenda dalla frequenza
per cui ogni dipendenza dalla frequenza nella relazione tra E e D viene
ignorata. Quarta, e` possibile considerare che il mezzo dielettrico abbia
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Cristalli fotonici: nuova generazione di dispositivi ottici
una permeabilita` magnetica circa pari a 1 cos`ı che il flusso magnetico
sara` uguale al campo magnetico (B = H). Infine, si possono consid-
erare esclusivamente mezzi dielettrici con basse perdite, cio` significa
avere un (~r) reale.
Considerando tali ipotesi, la relazione tra E e D si riduce a:
D(r) = (~r)E(r) (1.6)
dove la costante dielettrica puo` essere definita nel seguente modo:
(~r + ~R) = (~r) (1.7)
dove (~r) e` la costante dielettrica che contiene sia le informazioni sulla
struttura che quelle sul materiale che costituisce il cristallo fotonico.
In particolare, la costante dielettrica e` periodica rispetto al set ~R di
vettori del reticolo R = {n1~a1 +n2~a2 +n3~a3; (n1, n2, n3) ∈ Z3} generati
a partire da una base di vettori del reticolo ~ai, (i = 1, 2, 3) che descrive
la struttura del cristallo fotonico, con n1, n2, n3 numeri interi. Quindi
E puo` essere eliminato ottenendo l’equazione di Helmholtz per H(r)
(1.8). Tale equazione deve essere soddisfatta da un’onda che si propaga
attraversa il mezzo:
∇×
(
1
(~r)
∇×H(~r)
)
=
(ω
c
)2
H(~r) (1.8)
L’obiettivo e` quindi risolvere l’equazione (1.8), vanno calcolati gli au-
tomodi e gli autovalori per una data variazione di indice (~r).
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Cristalli fotonici: nuova generazione di dispositivi ottici
1.1.2 Soluzioni in un mezzo omogeneo
In un mezzo omogeneo la permittivita` e` costante ( = 0r) e l’e-
quazione (1.8) si riduce all’equazione di un’onda standard. Le soluzioni
sono onde piane o onde sferiche e loro sovrapposizioni arbitrarie di
forma:
H(~r) = H0(~(r))eik~r (1.9)
dove H e` il campo magnetico, la cui ampiezza dipende armonicamente
dallo spazio, e k indica la direzione di propagazione. Sostituendo l’e-
quazione (1.9) in (1.8), ne deriva la relazione tra la frequenza della luce
ed il vettor d’onda:
ω = c√

k (1.10)
chiamate relazione di dispersione del mezzo. Il significato dell’equazione
(1.10) e` che esistono automodi continui, H(r), che possono essere carat-
terizzati tramite gli autovalori (ω
c
)2 = k2

, i quali giacciono su una linea
nel diagramma k−ω cos`ı come mostrato in figura 1.4. Ogni punto della
curva di dispersione corrisponde ad un modo. La curva di dispersione,
di conseguenza, e` anche chiamata banda dei modi.
1.1.3 Soluzioni in un cristallo fotonico 1D
Il campo H per un cristallo fotonico 1D, si ricava risolvendo l’equazione
(1.8), essendo ora  una funzione periodica monodimensionalmente
delle coordinate spaziali, ad esempio z. La simmetria traslazionale
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Cristalli fotonici: nuova generazione di dispositivi ottici
discreta associata ad un cristallo, ha conseguenze nella risoluzione del-
l’equazione delle onde. Infatti, due modi, uno avente vettor d’onda kz
e l’altro kz + 2pi/a, hanno gli stessi autovalori.
Figura 1.4: Diagramma di dispersione di un mezzo omogeneo (linea tratteggiata) e
di un cristallo fotonico 1D (linea continua).
Come risultato, tutti i modi aventi vettor d’onda kz + m2pi/a, con m
intero, formano un set degenerativo di modi. Cio` significa che la strut-
tura a bande e` nota solo in un punto su un periodo della struttura
reciproca a lattice, ed e` altres`ı nota per ogni vettor d’onda. Quin-
di, e` necessario risolvere solo l’equazione di Helmholtz su un periodo
della struttura reciproca a lattice, detta anche regione di Brillouin.
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Cristalli fotonici: nuova generazione di dispositivi ottici
La regione di Brillouin e` formata dai vettori d’onda per cui ka/2pi e`
compreso tra −0.5 e +0.5. In figura 1.4 sono rappresentate in un di-
agramma a bande, sia la relazione di dispersione relativa al materiale
omogeneo che quella relativa al cristallo fotonico 1D, dove la frequenza
e` normalizzata in unita` di [2pic/a] ed il vettore d’onda e` normalizzato
in unita` di [2pi/a].
Si puo` notare che la curva di dispersione relativa al cristallo e` dis-
continua. La luce oscillante a valori di frequenze interni alla regione
proibita, non puo` propagarsi attraverso il cristallo, tale regione e` defini-
ta stopband o stopgap. In questa regione nessun valore di k e` in grado
di soddisfare l’equazione di Helmholtz quindi non c’e` propagazione di
luce attraverso il cristallo. La curva di dispersione relativa al cristal-
lo fotonico (figura 1.4), ha un andamento sovrapponibile a quello del
mezzo omogeneo per valori piccoli o grandi di vettore d’onda, mentre
per valori centrali tale andamento si differenzia nettamente, soprattut-
to per k = 0.5. In questo punto la curva di dispersione presenta sia
un valore massimo che uno minimo. Man mano che ci si avvicina alla
stopband del cristallo, l’indice di rifrazione varia. Ad esempio, sotto le
frequenze di stopband, l’indice di rifrazione e` elevato. Cio` e` motivato
dal fatto che la potenza del campo elettrico si trova principalmente
all’interno del materiale con l’indice di rifrazione piu` basso.
Curve di dispersione simili si hanno anche per cristalli 2D e 3D anche
se in quei casi il vettore d’onda k puo` assumere piu` di una direzione
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Cristalli fotonici: nuova generazione di dispositivi ottici
di propagazione. Se vale il principio di sovrapposizione per le stopgap
relative a fasci luminosi che si propagano in qualsiasi direzione, allora
e` presente un bandgap fotonico. Le dimensioni del bandgap possono
essere usate per una misura quantitativa di quanto viene modifica la
dispersione dagli stati fotonici del cristallo. Avere una larga bandgap
vuol dire avere un range di valori piu` elevato sul quale progettare il
dispositivo al fine di controllarne la dispersione[15].
1.1.4 Soluzioni in un cristallo fotonico 2D
In una slab a cristallo fotonico 2D, la variazione di dispersione puo`
essere calcolata a partire da una data struttura periodica mediante
un metodo che fa uso dell’irriducibilita` della regione di Brillouin. Per
trovare l’equazione di Helmholtz (1.8) relativa ad un cristallo fotonico
2D, vengono considerati solo i vettori d’onda che si trovano all’interno
dello spazio-k. Se si sceglie un particolare punto di tale spazio come
origine degli assi di riferimento, la regione di Brillouin sara` la regione
che contiene tutti i reciproci dei punti piu` vicini all’origine di ogni al-
tro punto della struttura. In figura 1.5, a sinistra, e` possibile osservare
una schematizzazione di una slab a cristallo fotonico 2D. E’ presente
una trama a simmetria quadrata di buchi riempiti d’aria praticati in
un materiale ad elevato indice di rifrazione, ad esempio sicilio: la luce
viene confinata nei buchi rispetto alle direzioni x ed y ed viene gui-
data lungo z. Un elevato contrasto di indice di rifrazione puo` essere
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