Introduzione
XII
particolare, l’attenzione è rivolta alla sintesi di trasmettitori e ricevitori che garantiscano un
buon compromesso tra le prestazioni e la complessità computazionale, che cresce con il
numero di antenne adottate. In questo lavoro di tesi, ci si è focalizzati sui principali aspetti
riguardanti la sintesi del ricevitore per un assegnato trasmettitore.
Come ben noto, il ricevitore ottimo in termini di probabilità di errore è il ricevitore a
massima verosimiglianza. Sfortunatamente, tali prestazioni sono raggiunte al costo di una
complessità computazionale insostenibile. Tale problema è ancora più rilevante
nell’ambito dei sistemi MIMO dove la complessità computazionale cresce
esponenzialmente sia con la lunghezza della sequenza di simboli d’ingresso sia con la
lunghezza della memoria del canale. Ciò ha portato alla definizione di diversi ricevitori
sub-ottimi al fine di ottenere prestazioni quanto più vicino possibile alla soglia dell’ottimo
con una complessità computazionale contenuta. In questo ambito si collocano i ricevitori
basati sulla retroazione delle decisioni (DF, Decision Feedback): oltre ad elaborare il
segnale ricevuto (elaborazione feedforward), essi elaborano anche il risultato delle
decisioni relative ai simboli trasmessi precedentemente al fine di migliorare la stima del
segnale utile.
Questo lavoro di tesi presenta uno studio delle prestazioni dei ricevitori MMSE di tipo DF
nei sistemi MIMO. In particolare viene trattata la sintesi di differenti configurazioni di
ricevitori di tipo DF, ciascuna delle quali differisce nel tipo d’informazione posta in
retroazione. E’ presentato, inoltre, un ricevitore DF MMSE basato sulla elaborazione
lineare estesa (WL, Widely Linear) che generalizza la convenzionale elaborazione lineare e
consente di ridurre l’MMSE in uscita all’equalizzatore quando i segnali in gioco
presentano un simmetria non circolare.
Così come nella maggior parte della letteratura specifica, la sintesi dei ricevitori MMSE di
tipo DF presentata in questa tesi è derivata in ipotesi di assenza di errori di rivelazione per
le decisioni poste in retroazione. Tale assunzione consente di semplificare la trattazione
analitica che, a rigore, dovrebbe portare in conto la non linearità introdotta dal meccanismo
decisionale, ma non consente una esauriente analisi delle prestazioni in quanto trascura
l’effetto della propagazione degli errori. Per questo motivo la parte più consistente di
questo lavoro di tesi è stata svolta in laboratorio al fine di studiare mediante simulazioni
numeriche al calcolatore le prestazioni effettive che i diversi tipi di ricevitori riescono a
garantire in uno scenario di lavoro reale dove il filtro di feedback è alimentato anche da
decisioni errate. Le simulazioni sono state condotte in modo da verificare la sensibilità
delle prestazioni dei ricevitori considerati al variare di diversi parametri di progettazione,
nonché le differenze di comportamento in canali con e senza ISI ed in presenza di codifica
spazio-temporale. Infine, è stato realizzato un confronto tra diversi schemi di ricezione in
Introduzione
XIII
termini di prestazioni e complessità computazionale misurata in numero di operazioni in
virgola mobile (flops).
La tesi si sviluppa secondo la struttura seguente:
Capitolo 1. Si introduce il modello matematico di sistema MIMO nel caso di canale
dispersivo nel tempo e non. Si procede con la definizione della sua capacità di canale,
ponendo in risalto il vantaggio che è possibile conseguire rispetto al tradizionale sistema
SISO. Infine sono brevemente illustrate le principali strutture riceventi per canale MIMO.
Capitolo 2. Inizialmente si procede con la sintesi dei ricevitori MMSE di tipo DF per
sistemi MIMO con riferimento a tre soluzioni possibili, caratterizzate da una diversa
definizione del filtro di feedback. Dopo aver introdotto la tecnica della elaborazione lineare
estesa (WL) con riferimento al problema della stima di parametri aleatori, è proposto un
ricevitore DF che utilizzi filtri WL anziché i convenzionali filtri lineari. Infine, sono
descritti alcuni dei principali risultati conseguiti nell’ambito della definizione di codici
spazio-temporali, soffermandosi sulla proprietà di alcuni di essi che introducono una
simmetria non circolare nel segnale trasmesso e che quindi rendono utile l’adozione di un
ricevitore WL.
Capitolo 3. Contiene i risultati delle simulazioni condotte in laboratorio. Le simulazioni
considerano diversi scenari, quali canali dispersivi e non, assenza/presenza di codifica
spazio-temprale. I risultati si soffermano sulla dipendenza delle prestazioni dei ricevitori
considerati rispetto a diversi parametri di sistema e sulla complessità computazionale dei
vari schemi.
Capitolo 1 Il modello di canale MIMO
1
Capitolo 1
1 Il modello di canale MIMO
n questo capitolo sarà introdotto il modello matematico di un sistema lineare multi-
ingresso multi-uscita (MIMO, Multiple Input Multiple Output) tempo variante e tempo
invariante. L’importanza di tale modello nell’ambito delle telecomunicazioni sarà
illustrata considerando numerosi scenari applicativi (sistemi CDMA, sistemi OFDM,…)
sia possibile ricorrere ad un modello MIMO per descrivere le relazioni ingresso-uscita del
sistema. Successivamente si illustrano i recenti risultati raggiunti nell’ambito della teoria
dell’informazione evidenziando i vantaggi conseguibili con un sistema MIMO in termini di
capacità di canale rispetto ai convenzionali a singolo ingresso e singola uscita (SISO,
Single Input Single Output). Il capitolo si chiude introducendo alcune delle principali
strutture riceventi per canali MIMO.
1.1 Modello di canale multi-ingresso multi-uscita
In Figura 1.1 è rappresentato lo schema a blocchi di un canale MIMO con ingressi ed
uscite. Il generico segnale tempo-continuo generato in trasmissione e costituente
l’ingresso i-esimo del canale MIMO è definito come ,
dove denota il k-esimo simbolo trasmesso e definisce il periodo di simbolo. I
segnali sono elaborati dal filtro in trasmissione con funzione di risposta impulsiva
tempo-invariante . La relazione tra l’ingresso i-esimo e l’uscita ℓ-esima del sistema
MIMO è definita dalla funzione di risposta impulsiva tempo-variante del
generico sottocanale. In generale, ciascuna delle uscite del canale MIMO è una
combinazione lineare di tutti gli segnali d’ingresso [1].
I
Capitolo 1 Il modello di canale MIMO
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In virtù di ciò, il canale multi-ingresso multi-uscita è completamente caratterizzato da
funzioni di risposta impulsiva tempo-varianti . Si noti, a tal proposito, che
definisce la risposta del filtro valutata nell’istante temporale t per effetto di un
ingresso di tipo impulsivo (delta di Dirac) applicato nell’istante t-τ. In ricezione sono
adottati filtri con funzione di risposta impulsiva tempo-invariante . Il sistema in
Figura 1.1 assume, inoltre, che ciascuna uscita sia affetta da rumore ambientale di tipo
additivo indicato con . In accordo con tale modello, l’uscita dell’ ℓ-esimo filtro in
ricezione può essere scritta come segue:
(1.1)
dove
(1.2)
e
(1.3)
con * che è la convoluzione tempo-continua. Nel resto del lavoro di tesi
indicherà la risposta impulsiva del sottocanale mentre la matrice definita in (1.4)
indicherà la matrice di canale.
MIMO System Receiver
Figura 1.1 Schema a blocchi di un sistema MIMO
Transmitter
Capitolo 1 Il modello di canale MIMO
3
(1.4)
Si nota che nei casi particolari in cui ( , ) e ( , ) il sistema MIMO
degenera, rispettivamente, nel sistema SIMO e nel sistema MISO; se ( , ), il
sistema MIMO diventa SISO.
In accordo con lo schema di Figura 1.1, la generica uscita nel k-esimo intervallo di simbolo
è campionata con passo , per cui la versione discretizzata nel tempo
dell’uscita risulta:
(1.5)
dove . Sostituendo tale posizione nella (1.5), si ottiene
(1.6)
Ridefinendo la sequenza di simboli trasmessi come segue
(1.7)
e ponendo , la (1.6) può essere riscritta in funzione della versione sovra
campionata di :
(1.8)
dove .
Senza perdita di generalità, si assumerà all’interno di questo lavoro di tesi , ovvero,
, salvo dove diversamente specificato.
Si noti che e sono, in generale, processi aleatori a valori complessi. Più
in dettaglio, le singole funzioni di risposta impulsiva del canale MIMO possono
essere modellate come processi aleatori bianchi ed incorrelati, così come spazialmente e
temporalmente correlati nell’ambito di scenari applicativi particolari. Per quanto concerne
, và sottolineato che tale contributo rumoroso include esclusivamente il rumore
Capitolo 1 Il modello di canale MIMO
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additivo termico e in virtù di ciò può essere caratterizzato come rumore bianco gaussiano
statisticamente indipendente rispetto ai segnali utili trasmessi. Tale caratterizzazione
statistica non è invece valida per i contributi rumorosi legati all’interferenza co-canale e/o
al rumore esterno (es. rumore atmosferico, man-made ecc.).
1.2 Canale MIMO dispersivo nel tempo
Come ben noto, un canale wireless presenta due caratteristiche non riscontrabili in un
canale wired. La prima di queste due proprietà è che il canale wireless può modificare le
proprie caratteristiche fisiche nel tempo. Possibili cause di un cambiamento delle proprietà
del mezzo fisico possono essere eventuali ostacoli non preventivabili a causa della loro
mobilità o la variazione delle condizioni atmosferiche. Ciò fa si che la risposta di un
singolo canale a qualsiasi segnale trasmesso attraverso esso cambi nel tempo. L’evidente
imprevedibilità dell’occorrenza di tali variazioni e della tipologia di tali variazioni
costringe ad una descrizione in termini statistici del fenomeno della tempo-varianza di un
canale wireless. Una seconda caratteristica che può essere correlata o meno alla prima è
definita dalla presenza del cosiddetto fading. Con tale termine, che letteralmente significa
“dissolvenza”, si vuole indicare il fenomeno di fluttuazioni in ampiezza che il segnale
radio in ricezione subisce nell’ambito di scale temporali confrontabili con il periodo di
simbolo. Queste fluttuazioni sono causate dalla combinazione aleatoria di differenti
contributi del segnale originariamente trasmesso e che nascono a causa della propagazione
dell’energia trasportata dal segnale in trasmissione lungo più di un cammino tra
trasmettitore e ricevitore. L’esistenza di diversi cammini di propagazione è da imputare ai
fenomeni fisici che coinvolgono la propagazione di un campo elettromagnetico in spazio
libero, quali riflessione, rifrazione e diffrazione. Ciascuno di questi cammini multipli, in
quanto a sua volta tempo-variante, introduce attenuazione, ritardo e sfasamento aleatori
per cui le differenti versioni del segnale originario si combinano in ricezione in maniera
stocastica, come contributi che istante per istante possono variare nella loro natura
costruttiva o distruttiva. Ciò causa la rapida fluttuazione dell’ampiezza del segnale
ricevuto. Il fenomeno del fading dovuto alla presenza di canali multipli è meglio noto in
letteratura come multipath fading. Un ulteriore conseguenza del multipath fading è che il
segnale ricevuto risulta essere dilatato nel tempo. La presenza di tale fenomeno è indicata
definendo il canale dispersivo nel tempo [2]. La dispersività temporale del canale conduce
ad un ulteriore fenomeno riscontrabile nell’ambito delle trasmissioni numeriche e che
consiste nella sovrapposizione parziale o totale nel tempo di segnali corrispondenti ad
Capitolo 1 Il modello di canale MIMO
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intervalli di simbolo adiacenti. Tale fenomeno è noto come interferenza intersimbolica ed è
indicato con l’acronimo ISI (Inter-Symbol Interference). Se si procede ad una
caratterizzazione analitica dei due problemi di fading e tempo varianza, come quella
sviluppata in [2], si giunge alla definizione di quattro importanti parametri che consentono
di caratterizzare in modo estremamente immediato il comportamento di un canale wireless
nei confronti di un segnale con fissate caratteristiche. In particolare si indicano, tra questi
quattro parametri, la banda di coerenza e il tempo di coerenza. La banda di coerenza di un
canale si definisce come la minima separazione frequenziale affinché due sinusoidi a
frequenza diversa, e che si propagano sul canale, subiscano attenuazioni differenti. In
pratica, la banda di coerenza corrisponde a quell’intervallo continuo di frequenze entro cui
la risposta in ampiezza del canale è costante. Il reciproco della banda di coerenza è definito
come tempo di dispersione e corrisponde al più grande dei ritardi subiti dalle diverse
versioni del segnale originario e generate a causa del fenomeno della propagazione su
cammini multipli. Il tempo di coerenza del canale corrisponde a quell’intervallo di tempo
entro il quale le caratteristiche del canale variano molto poco [2] e, quindi, entro il quale il
canale può essere considerato tempo invariante. In pratica, considerando la definizione
suddetta di tempo di coerenza, è evidente che fin quando la durata temporale di un
generico segnale trasmesso su un canale wireless è inferiore al tempo di coerenza di
quest’ultimo, è ragionevole ritenere il canale tempo-invariante durante la trasmissione del
segnale in questione.
Nei moderni sistemi di telecomunicazioni digitali, ed in particolare per le applicazioni
mobili, il bisogno sempre più crescente di diffusione di contenuti multimediali sempre più
ricchi è un gancio di traino alla richiesta di rates di trasmissione sempre più elevati. Ciò
equivale ad un abbassamento del periodo di simbolo e quindi della durata dell’ impulso
base modulato dall’informazione da trasportare. Conseguentemente, la condizione per la
quale la durata del segnale corrispondente al singolo intervallo di simbolo risulta inferiore
al tempo di coerenza del canale, su cui il segnale medesimo si propaga, è facilmente
verificabile. In virtù di tale considerazione, in questo lavoro di tesi si assumerà il canale
MIMO stazionario nel tempo.
Con lo scopo di estendere al caso di canale dispersivo nel tempo il modello di canale
MIMO presentato nel paragrafo precedente, si fornisce, di seguito, una sintetica
caratterizzazione analitica del multipath fading. In accordo con quanto precedentemente
detto in merito alla descrizione qualitativa di quest’ultimo fenomeno, la funzione di
risposta impulsiva può essere rappresentata [3,4] nella forma
Capitolo 1 Il modello di canale MIMO
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(1.9)
dove indica l’attenuazione sul cammino di propagazione i-esimo, è la
frequenza del segnale portante, denota il ritardo temporale che subisce la versione
del segnale trasmesso che si propaga sul percorso i-esimo, è il numero di cammini
multipli all’istante t sui quali si divide l’energia del segnale originariamente trasmesso; si
evidenzia come, fatta eccezione per , tutte le altre grandezze sopra definite sono
dipendenti dal tempo e quindi modellabili come processi aleatori. In accordo con la (1.9),
l’uscita del canale , corrispondente all’ingresso , e per canale tempo
variante, è uguale a
(1.10)
dove . La variazione veloce di quest’ultimo termine di fase
corrisponde ad un rapido cambiamento delle nature costruttive e distruttive dei vari
contributi di multipath generati dal medesimo segnale: ciò causa rapide fluttuazioni di
ampiezza del segnale in ricezione. Quando il numero di cammini multipli è
sufficientemente elevato, per il teorema centrale del limite la risposta impulsiva
può essere modellata come un processo aleatorio Gaussiano con parametro a valori
complessi e nella variabile t oltre a media nulla assenza di un cammino diretto tra
trasmettitore e ricevitore e a media diversa da zero in presenza di una linea di vista (Line
Of Sight ) e/o di cammini dominanti (ovvero per i quali il contributo energetico trasportato
è molto grande). Nel caso specifico di presenza di una linea di vista tra trasmettitore e
ricevitore, il fading del canale ha una caratterizzazione di tipo Rice, in quanto l’inviluppo
ha, in ogni istante t, una distribuzione di Rice. Nel caso, invece, di assenza di
una linea di vista, il fading è detto di Rayleigh perché l’inviluppo ha una distribuzione di
tipo Rayleigh.
A questo punto, ribadendo l’assunzione di canale stazionario nel tempo, la (1.10) può
essere riscritta come segue
(1.11)
Pertanto, in accordo con la (1.11), la relazione ingresso-uscita del canale MIMO espressa
nella (1.1) e la sua corrispondente versione campionata con periodo , definita nella (1.8),
possono essere riscritte, rispettivamente, come
Capitolo 1 Il modello di canale MIMO
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(1.12)
(1.13)
Il numero dei coefficienti non nulli che definiscono i sottocanali dipende dal tempo di
dispersione del canale e dalla durata dei filtri in trasmissione e ricezione (che definiscono
la durata dell’impulso base del segnale in trasmissione). A tal proposito si osserva che la
durata di tale risposta impulsiva sarà legata alla banda del filtro e la necessità di progettare
filtri a banda limitata rende il sistema complessivo fortemente non dispersivo. Al limite, il
sistema può essere modellato mediante un filtro con funzione di risposta impulsiva infinita
(IIR, Infinite Impulse Response). Tuttavia, la possibilità di realizzare filtri in trasmissione
e ricezione con code che decadono rapidamente nel dominio del tempo consente di
assumere (con buona approssimazione) che la dilatazione temporale dei segnali sia
limitata, ovvero, che l’ISI coinvolga soltanto un numero limitato di simboli adiacenti.
Come risultato di tale approssimazione, modella un filtro tempo-discreto di durata
finita (FIR, Finite Impulse Response) tale che:
dove denota la memoria del sottocanale (ℓ ,i). Pertanto, la relazione ingresso-uscita
del canale MIMO nel dominio tempo-discreto diventa:
(1.14)
La (1.14) può essere convenientemente riscritta secondo la notazione vettoriale
raggruppando i campioni del segnale ricevuto da ciascuno degli canali di uscita nel k-
esimo intervallo di simbolo in un vettore colonna di dimensioni :
(1.15)
Ripetendo la medesima operazione per i corrispondenti simboli d’ingresso e le
corrispondenti componenti di rumore, si ottiene rispettivamente
(1.16)
(1.17)
Utilizzando le (1.15) - (1.17), la (1.14) può essere riscritta come segue:
Capitolo 1 Il modello di canale MIMO
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(1.18)
dove è la matrice di dimensioni , i cui elementi sono le risposte impulsive
dei sottocanali del sistema MIMO, è la memoria massima delle funzioni di
risposta impulsiva e ⊗ denota l’operatore della convoluzione discreta. Il diagramma a
blocchi del canale MIMO FIR è mostrato in Figura 1.2
dove il blocco corrisponde all’elemento che introduce un ritardo unitario nella
sequenza
In molte applicazioni, gli elementi della matrice di canale MIMO possono essere
modellati come sequenze aleatorie Gaussiane a media nulla e medesima varianza,
congiuntamente a simmetria circolare e SSL. Tuttavia, questa assunzione è di difficile
corrispondenza in numerosi scenari applicativi. In particolare, come già precedentemente
accennato, tale caratterizzazione non è più valida in modelli di multipath fading con la
presenza di una linea di vista. Inoltre, anche in assenza di cammino diretto tra trasmettitore
e ricevitore, può esistere una correlazione nello spazio e/o nel tempo tra i diversi canali a
causa del multipath stesso.
Per quanto concerne la caratterizzazione del rumore, è importante rimarcare come
l’assunzione di rumore gaussiano bianco sia lecita soltanto nel caso in cui tale processo
aleatorio descriva il rumore termico di trasmettitore e ricevitore. Tale caratterizzazione
perde validità nei casi in cui si voglia inglobare nel termine di rumore contributi come
fenomeni di cross-talk o di interferenza tra sistemi di telecomunicazioni differenti che
Figura 1.2 Schema a blocchi di un canale MIMO FIR
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