Premessa
Il tema della ricerca da me svolta è incentrato sull’analisi della volatilità.
Per far ciò è stato analizzato l’andamento della volatilità di diverse serie storiche finanziarie e a queste sono state
apportati vari strumenti in grado di catturare tale movimento.
Gli strumenti cui si è fatto riferimento sono i modelli GARCH (Generalized Autoregressive Conditional
Heteroskedasticity) di Bollerslev (1986).
Più precisamente, l’obiettivo di questa ricerca è stato proprio quello di riportare i risultati empirici prodotti dai
vari modelli GARCH esistenti, per le varie attività analizzate e di interpretarli e confrontarli per vedere quali tra
questi processi risulta il più adeguato a quantificare il possibile valore assunto dalla volatilità nel tempo, dato che
questo, specie per le serie storiche finanziarie, non risulta mai costante.
Prima di passare alla parte pratica sono stati elaborati 2 capitoli che trattano della teoria e dei vari studi che
stanno dietro questi modelli.
Per cui nel primo capitolo, sono stati analizzati vari processi stocastici, con tale termine si vuole indicare il
possibile processo che può seguire una variabile casuale all’interno di una popolazione finita e quindi di un
campionamento di dati.
Nel secondo capitolo si è passato alla rassegna dei vari processi stocastici che può seguire la varianza di una
determinata variabile casuale e quindi sono stati rappresentati vari modelli in grado di rappresentare una
funzione quadratica per la variabile esaminata.
Si è rappresentato prima di tutto la teoria inerente ai processi ARCH (Engle 1982), dopodicchè sono stati
analizzati singolarmente i vari processi GARCH che rappresentano una categoria generalizzata dei primi.
Infine nel terzo capitolo si è passato al calcolo di tali modelli sulle serie storiche finanziarie oggetto della tesi.
I parametri stimati per tali modelli sono stati calcolati attraverso l’utilizzo di un determinato software
econometrico, ovvero Eviews.
Le conclusioni e le statistiche descrittive di tali modelli sono riportate in dettaglio nel capitolo 3.
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CAPITOLO 1
I PROCESSI STOCASTICI
1.1 Investimenti in un mondo privo di incertezza.
Se consideriamo di vivere in un mondo caratterizzato da assenza di aleatorietà, stiamo considerando l’ipotesi in
cui ogni individuo può effettuare qualsiasi tipo di investimento producendo un rendimento certo in un
determinato periodo di tempo. Il principio alla base del rendimento prodotto sta nel fatto che un investitore si
priva di denaro oggi al tempo
per ricevere un importo maggiore in una scadenza futura ad es.
. Dunque
l’investitore cede parte dei suoi consumi presenti per ottenere un maggior vantaggio in termini di reddito e di
consumo futuro. Per cui un’ipotetica curva a scadenza dei tassi di rendimento potrebbe essere la seguente:
R
d
Ci possono essere molti metodi per analizzare i rendimenti prodotti dai vari investimenti:
1+R t =
Rendimento semplice lordo
Rendimento semplice netto
Questo per quanto riguarda un periodo di tempo uniperiodale, se invece considerassimo un periodo di tempo
multiperiodale di grandezza k avremo:
Per cui
2
Se consideriamo il rendimento uniperiodale prodotto da questo lasso di tempo k si avrà che:
Dunque
Stesso discorso vale anche se consideriamo un lasso di tempo più piccolo, per cui avremo che gli interessi
verranno capitalizzati più volte durante l’anno. Supponendo di avere un tasso R semestrale del 5% avremo:
A=C(1+0.05)(1+0.05)=C(1.05)
2
Più in generale se R è il tasso d’interesse annuale e questo viene capitalizzato più volte l’anno avremo:
Al limite si avrà che il tasso R verrà capitalizzato in maniera continua nel tempo e la sua forma sarà la seguente
n=anni
In questo caso R rappresenta il tasso istantaneo d’interesse ed è la forza massima che può avere un rendimento,
effettuando la capitalizzazione per R che tende all’infinito.
Considerando un deposito del valore nominale di 100€ avremo che il rendimento varia a seconda del tipo di
regime di capitalizzazione
Frequenza di capitalizzazione Valore di 100€ dopo un anno Tasso d’int per peiodo
Annuale(m=1) 110.00 0.1
Semestrale(m=2) 110.25 0.05
Trimestrale(m=4) 110.38 0.025
Mensile(m=12) 110.47 0.0083
Settimanale(m=52) 110.506 0.1/52
Giornaliera(m=365) 110.516 0.1/365
Continuamente( 110.517
3
La realtà è caratterizzata dal fatto che ogni investimento ha un certo grado di aleatorietà, per cui c’è incertezza
circa il risultato che produrrà un determinato investimento e ad ogni periodo si associa un determinato spazio
probabilistico
p
1
R
t
p
2
p= probabilità
P
3
Ai fini della nostra analisi è interessante valutare non soltanto i rendimenti semplici, ma anche i log-rendimenti:
og
questi non sono nient’altro che la trasformazione logaritmica dei tassi di rendimento semplici lordi e vengono
anche chiamati tassi composti continuamente, dato che rappresentano la forza dell’interesse in un periodo di
tempo continuo. Se consideriamo un periodo di tempo annuale con n=1 si avrà
I tassi di rendimento logaritmici godono di alcune proprietà interessanti, ad esempio prendendo in
considerazione un lasso di tempo multiperiodale:
og
og
per cui il rendimento medio di questo periodo sarà una mera media aritmetica e non una media geometrica come
invece avveniva nel caso dei rendimenti semplici.
Quando si passa da un mondo risk-free ad un mondo incerto è necessario monitorare i rendimenti attraverso delle
distribuzioni di probabilità. In genere i rendimenti seguono l’andamento di variabili casuali che possono essere
discrete nel tempo e in tal caso avremo la funzione di distribuzione di probabilità e sarà una funzione a gradoni
F(X)
p
3
p
2
p
1
X
1.2 Investimenti in un mondo reale e definizione di processo stocastico
4
oppure la variabile casuale può seguire un processo continuo e in tal caso si avrà la funzione di densità di
probabilità che sarà la seguente
f(x)
x
0 X
In genere nell’effettuare le valutazioni sugli investimenti si utilizza le ditribuzione congiunta di due famiglie di
variabili casuali X e Y
Per cui nel caso dei rendimenti si avrà:
Lo scopo della nostra indagine però è quello di trovare una funzione che sia in grado di captare il legame che c’è
tra i vari rendimenti col passare del tempo, quindi bisogna separare la distribuzione congiunta per formare una
distribuzione condizionata tale che:
Se riusciamo a trovare una distribuzione parametrica di questa distribuzione condizionata, allora siamo in grado
di valutare il legame che c’è tra una famiglia di variabili casuali ordinate nel tempo, ovvero come evolve nel
tempo la distribuzione dei log-rendimenti.
Dunque per processo stocastico si intende lo studio di una variabile casuale che è situata all’interno di una
popolazione finita, ordinata per il tempo t e che è stimata attraverso il miglior stimatore possibile .
5
In genere nella maggior parte dei casi si accetta la forma della distribuzione normale casuale come la miglior
forma di distribuzione possibile. Sostanzialmente questa funzione ci dice che i rendimenti semplici se sono
indipendenti e identicamente distribuisti (iid) si distribuiscono attorno ad un valore medio con una certa
probabilità e ci dice qual è l’indice di dispersione dei rendimenti attorno a questo valore medio.
La forma di distribuzione di densità di probabilità della normale è campanulare:
f(x)
µ-σ µ µ+σ x
Questa formula è molto utilizzata nella teoria perché utilizza solo i primi due momenti della distribuzione.
Nell’analisi empirica però è stato spesso riscontrato che ci sono anche altri momenti che bisogna considerare
come l’asimmetria (skewness) e la curtosi (kurtosis). A volte oltre alla distribuzione normale viene utilizzata
anche quella lognormale, per cui si prendono in considerazione i log-rendimenti e si fanno distribuire secondo
una funzione normale. A differenza della funzione normale, quella log-normale è asimmetrica a sinistra , quindi
riesce a catturare meglio l’asimmetria che nell’evidenza empirica si riscontra nell’analisi dei rendimenti:
f(x)
x
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1.3 Momenti di un processo stocastico
Prima di analizzare nel dettaglio i vari processi stocastici è necessario considerare i vari momenti della
distribuzione di una variabile casuale continua. Sappiamo che il momento di un campione è
Attorno al momento di una variabile casuale continua esistono degli indici di dispersione dei valori della
distribuzione attorno al loro valore centrale, ovvero il loro momento centrale:
Il secondo momento centrale è la varianza
. Facendo ulteriori trasformazioni attorno al momento centrale della
distribuzione si avranno rispettivamente l’asimmetria (skewness) e la curtosi (Kurtosis)
Queste quindi sono le ulteriori trasformazioni che si fanno attorno al valore medio e captano i valori
dell’asimmetria della distribuzione e della curtosi, cioè del valore della grandezza attorno alle code della
distribuzione che eccede quella di una variabile casuale normale che è di 3.
Chiaramente i momenti della distribuzione possono essere calcolati anche empiricamente attraverso i dati del
campione, per cui se consideriamo un campione casuale di
osservazioni si avrà la
media campionaria:
La varianza campionaria
L’asimmetria campionaria
e la curtosi campionaria
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Una della principali caratteristiche di un processo stocastico è l’ipotesi di stazionarietà, che può essere intesa in
stazionarietà in senso forte e stazionarietà in senso debole. La prima implica che i rendimenti r
t
e r
t+k
abbiano la
stessa forma di distribuzione di probabilità e quindi che siano identici qualsiasi sia il periodo di tempo di
riferimento. La stazionarietà in senso debolo (weak stazionarity) è quella più utilizzata nella pratica, questa
prevede che le distribuzioni di probabilità dei rendimenti r
t
e r
t+k
abbiano momenti finiti e siano indipendenti dal
tempo. L’ipotesi di stazionarietà in senso debole quindi implica lìipotesi di omoschedasticità, per cui qualunque
sia l’orizzonte temporale oggetto di valutazione la seria storica avrà sempre gli stessi momenti caratteristici
calcolati attraverso la miglior stima disponibile.
Se questo è vero si avrà che l’autocovarianza tra r
t
e un’altra serie di rendimenti ritardata di un particolare lag-l,
sarà indipendente dall’orizzonte temporale ma dipenderà solo dal processo storico con la quale vogliamo fare la
covariazione:
L’autocovarianza gode di due importanti proprietà. Infatti Υ
0
=Var[r
t
] e Υ
-l
= Υ
l
. La seconda proprietà tiene
perché
Dall’autocovarianza si ottiene anche la funzione di autocorrelazione (ACF)
Dato che
Dove
Data una determinata popolazione è possibile calcolare anche la funzione d’autocorrelazione campionaria:
La funzione di autocorrelazione ci mostra quantitativamente il legame che c’è tra una variabile aleatoria con la
stessa varibile ritardata di un determinato passo temporale (lag)
1.4 Proprietà di un processo stocastico
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Ai fini dell’analisi dei processi stocastici, un altro elemento molto importante da considerare è la funzione di
autocorrelazione parziale (PACF). In genere la stima dei parametri di un particolare processo stocastico, viene
fatta attraverso un modello di regressione multiplo, in cui i parametri del modello vengono stimati attraverso il
metodo dei minimi quadrati (ipotesi debole), oppure attraverso la funzione di massima verosomiglianza (ipotesi
forte). L’PACF ci mostra l’interdipendenza che c’è tra un rendimento oggi
con un altro rendimento passato
indipendentemente dagli altri rendimenti a cui comunque il rendimento odierno è legato
.
1.5 Processi Autoregressivi AR
I processi autoregressivi AR sono quelli in cui una parte del valore di una determinata variabile casuale è legata
con quelli che sono stati gli eventi passati di questa stessa variabile casuale. Prendendo in considerazione i
rendimenti come variabile casuale, il modello più semplice è quello AR(1) in cui:
Questo modello è molto simile al modello di regressione in cui r
t
è la variabile dipendente e la retta di
interpolazione con il rendimento passato ha inclinazione 1.
è una variabile casuale indipendente e identicamente distribuita (iid) che segue un processo normale o
gaussiano e che ha media e varianza finite. Oltre a ciò si ha che
L’andamento di questa variabi e è indipendente da ’andamento de a variabi e ne passato per cui anche
ACF=0.
Considerando ’ipotesi di stazionarietà in senso debo e si avrà che:
e che
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Da ciò si deduce che i parametri del processo AR(1) giocano un ruolo fondamentale, infatti sia la media
che la varianza possono considerarsi dei momenti finiti solo se:
Ciò può essere dimostrato effettuando anche alcuni procedimenti. Sappiamo che
Effettuando questo procedimento a ritroso si avrà che
La differenza tra il valore di una variabile casuale e la sua media è pari ad una serie di valori di variabili
casuali che sono tra loro indipendenti per cui
La varianza di r t sarà
Per cui la condizione necessaria e sufficiente affinchè il processo sia stazionario è che
.
Riconsiderando l’espressione precedente è possibile anche calcolare l’autocovarianza, infatti
se
se
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Dunque anche l’autocovarianza dipenderà in parte dall’autocovarianza della serie storica vista a ritroso, in questo
semplice caso solo ad un periodo. Considererando che
L’ACF sarà
quindi anche la funzione di autocovarianza avrà un valore finito e tenderà a 0 per l
se
se
lag lag
Lo stesso procedimento vale anche per un AR(2) in cui:
se
per quanto riguarda la funzione di autocorrelazione si avrà:
se consideriamo l’operatore ritardo B secondo cui
si avrà
L’ultima espressione rappresenta un’equazione differenziale in cui B è una funzione di
e le sue radici
caratteristiche
che risolvono questo sistema possono essere calcolate attraverso un’equazione
polinomiale di second’ordine:
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In genere in molti casi empirici nella letteratura finanziaria sono frequenti le ipotesi in cui le radici caratteristiche
sono negative, in tal caso la forma della funzione di autocorrelazione sarà di tipo sinosuidale.
Spesso può sembrare banale generalizzare un processo AR solo ai primi due valori storici dei rendimenti, infatti
nella maggior parte dei casi la dipendenza della variabile casuale dal suo passato è determinata da molti più
valori ed è per questo che si utilizza la forma AR(p) in cui:
dove:
La scelta del numero di parametri sul quale far regredire la variabile
non è semplice da valutare
empiricamente, in genere nella scelta dei parametri da utilizzare gioca un ruolo importante la funzione di
autocorrelazione parziale (PACF). Un primo approccio per stimare i parametri dai quali dipende in parte il valore
della variabile
viene fatto considerando un modello di regressione multiplo
La stima dei parametri, quindi degli PACF campionari può essere fatta attraverso il modello dei minimi quadratri
per cui:
min
Considerando un modello AR(1), si possono effettuare le stime dei parametri di questo modello, se
allora avremo che la variabile
è condizionata anche dal suo lag-2 del PACF campionario. Per cui l’analisi a
ritroso dei rendimenti passati che condizionano il valore del rendimento attuale verrà effettuata fin quando non
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