Analisi comparata di modelli per la gestione di portafoglio

Introduzione 
Supponiamo di detenere una ricchezza iniziale; la decisione che 
dovremo prendere è se mantenere intatto il nostro patrimonio (cioè 
evitare qualsiasi forma di rischio che potenzialmente potrebbe 
modificare le nostre risorse in negativo o in positivo) o investire la 
totalità, o una parte delle nostre disponibilità, sperando di conseguire 
ulteriori guadagni. Da questo punto di vista vi sono moltissime 
possibilità tra cui scegliere e gli operatori decideranno in base alle 
proprie esigenze; in particolare gli investitori si distinguono in soggetti 
avversi al rischio (cioè coloro che preferiscono una quantità certa a una 
aleatoria), propensi al rischio (ossia coloro che preferiscono una quantità 
incerta a una sicura) o neutrali al rischio (vale a dire coloro per i quali è 
indifferente investire o no). 
Con la teoria moderna di portafoglio, gli operatori hanno iniziato a 
diversificare i propri investimenti e negli ultimi cinquanta anni sono stati 
elaborati nuovi modelli; il più famoso è il Capital Asset Pricing Model 
che ha avuto molto successo tanto in ambito accademico quanto poco 
nel mondo reale degli scambi finanziari. A questo sono seguiti nuovi 
strumenti e linee guida per gli operatori in grado di incorporare le 
aspettative degli investitori a partire da rendimenti di equilibrio desunti 
dal mercato; lo scopo ultimo è chiaramente quello di eliminare la 
maggior parte delle distorsioni che portano ad errori di stima maggiori.  
Con la crisi attuale molte delle teorie valorizzate in passato sono state 
messe in discussione, com’è accaduto per la gestione di allocazione 
delle attività media-varianza. Inoltre, l’accresciuta volatilità dei titoli e il 
calo dei rendimenti azionari, hanno richiesto la necessità di nuove 
soluzioni per limitare i danni dovuti alla recessione.
Di recente viene sempre più utilizzato il modello denominato Risk 
Parity, o modello a parità di contributo di rischio, in grado di ripartire 
equamente il peso del rischio tra le componenti che costituiscono il 
portafoglio. Questo sistema consente di attenuare le eventuali perdite 
dovute all’andamento negativo di alcuni titoli, così da salvaguardare 
l’investitore nel caso in cui il mercato sia molto volatile. 
Nel corso di quest’analisi, esamineremo diversi modelli di investimento; 
entrando nello specifico, la tesi è strutturata così: nel primo capitolo 
riprendiamo la teoria di Markowitz soffermandoci sugli effetti della 
diversificazione, per poi introdurre il CAPM, seguito da un esempio 
pratico. Nel secondo capitolo deriveremo la formula principale del 
modello di Black-Litterman e studieremo diversi casi a seconda delle 
previsioni degli investitori. Nel capitolo successivo cercheremo di 
spiegare il nuovo modello del Risk Parity e vedremo come sfruttare tale 
criterio per la suddivisione dei pesi tra le attività. Infine nel quarto 
capitolo confronteremo i tre modelli considerati con un esempio che 
considera due periodi distinti: uno antecedente la crisi del 2008 e l’altro 
durante la crisi economica attuale. L’analisi verrà condotta analizzando 
dieci titoli azionari desunti dal FTSE MIB, dal Nasdaq e infine dal Dow 
Jones. Attraverso i calcoli svolti interamente con l’ausilio di Matlab, 
troveremo una relazione tra il grado di avversione al rischio 
dell’investitore e lo scarto tra i rendimenti nei due periodi considerati e 
giungeremo a un’interessante conclusione.
1 
 
Capitolo 1 
 
Dalla teoria di Markowitz al 
CAPM 
 
1.1   Introduzione 
La teoria moderna della scelta di portafoglio o, per brevità, (TP), fu 
introdotta da Harry Markowitz nel 1952. È infatti all’economista 
statunitense che si deve il primo contributo alla definizione e al 
successivo sviluppo dei modelli di allocazione delle attività. Prima di 
tale teoria, gli investitori incentravano le proprie attenzioni sulla 
valutazione dei rischi e dei benefici dei singoli strumenti che 
componevano il portafoglio. Sostanzialmente si identificavano quei titoli 
in grado di offrire migliori opportunità di guadagno con il minimo 
rischio e quindi costruire un portafoglio con essi. Tuttavia questa analisi 
non proteggeva gli investitori da eventuali rischi dovuti alla perdita del 
titolo designato esponendoli a gravi perdite. Markowitz formalizza la 
sua intuizione attraverso la diversificazione del portafoglio; gli operatori 
possono infatti concentrare le proprie attenzioni sull’analisi (uni-
periodale) dei rendimenti dei vari titoli e trattarli alla stregua di variabili 
casuali, alle quali assegnare determinati valori attesi, deviazione 
standard e grado di correlazione. Sulla base di questi dati, sarà possibile 
calcolare il rendimento atteso e la volatilità di un portafoglio di titoli, 
procedendo al bilanciamento ottimale dei rischi e dei rendimenti. Da 
queste considerazioni nasce la frontiera efficiente dei portafogli.  
James Tobin (1958) ha ampliato il lavoro di Markowitz con l’aggiunta 
di un titolo privo di rischio e la conseguente formulazione di una 
frontiera efficiente e della linea del mercato dei capitali caratterizzata da
2 
 
portafogli in grado di registrare performance superiori a quelli giacenti 
sul tratto crescente della curva d’inviluppo. 
Pochi anni dopo (1964) Sharpe formalizza il Capital Asset Pricing 
Model (CAPM). La formulazione standard di questo modello di 
equilibrio è stata proposta da Sharpe nel 1964; nel 1965 il modello è 
stato sviluppato in maniera indipendente da Lintner e successivamente 
da Mossin(1966). In accordo con quanto afferma il CAPM, tutti gli 
investitori deterranno una combinazione di due attività: il portafoglio di 
mercato e l’attività priva di rischio.  
La teoria di portafoglio fornisce gli strumenti per comprendere le 
possibili interazioni tra rischio e rendimento. La matematica alla base 
della teoria di portafoglio è utilizzata nella gestione dei rischi finanziari 
e rappresenta ad oggi l’unico precursore di tutti i modelli sorti per 
garantire agli investitori portafogli ottimali.
3 
 
1.2   Il paradigma di Markowitz 
Il paradigma media-varianza di Markowitz (1952) rappresenta in 
assoluto la formulazione maggiormente diffusa del problema di scelta di 
portafoglio. In questo capitolo si illustrano le basi della moderna teoria 
di portafoglio. Per iniziare, consideriamo N attività rischiose e 
un’attività priva di rischio con rendimento dato definiti, rispettivamente, 
con  
 
 e   
 
. Da questi due elementi, definiamo l’eccesso di rendimento, 
ossia:  
 
 
  
 
  
 
  
Assumiamo che  
 
 sia una variabile i.i.d. con momenti costanti. Infine 
denotiamo la matrice di covarianza con  . E’ opportuno poi individuare 
un parametro in grado di indicare lo scostamento di un rendimento 
effettivo da quello atteso. A tal fine viene utilizzata la varianza del 
rendimento, che indichiamo con: 
 
 
 ∑ 
 
 
 
 
 
  ∑ ∑ 
 
 
 
 
  
 
     
   
   
 
   
  
Dove  
 
 rappresenta il peso dell’i-esima componente del portafoglio. La 
varianza è funzione delle singole varianze dei rendimenti, delle 
covarianze tra i titoli e dei pesi dei titoli presenti nel portafoglio. La 
covarianza è espressa come: 
 
  
 
 
 
∑( 
  
  
 
 
) ( 
  
  
 
 
)
 
   
  
Dove indichiamo tra parentesi la differenza tra i tassi di rendimento dei 
titoli i e j ( 
  
 e  
  
) e i rispettivi rendimenti attesi ( 
 
 
 e  
 
 
). È possibile 
generalizzare la varianza in forma matriciale ottenendo:
4 
 
Supponiamo che gli investitori possano decidere di investire la propria 
ricchezza tra le N attività rischiose. In assenza di un titolo privo di 
rischio, il problema media-varianza consiste nella scelta dei pesi di 
portafoglio  
 
, che rappresentano l’allocazione relativa di ricchezza 
dell’investitore in ciascuno degli N titoli rischiosi.  
L’obiettivo dell’investitore consiste nel minimizzare la varianza dei 
rendimenti di portafoglio, quest’ultimi espressi come  
 
     , per un 
determinato rendimento atteso di portafoglio:  
   
 
   [ 
 
]    
 
 
 
 
  
 
  , 
s.v. 
 [ 
 
]  
 
    ,   
 
   . 
Il primo vincolo della (2) fissa un determinato obiettivo di rendimento 
mentre il secondo vincolo impone che la somma dei pesi sia pari a uno. 
È ora possibile impostare la Lagrangiana:  
 (   
 
  
 
)          
 
( 
 
   )  
 
( 
 
   )
  
 
( )  
 
( 
 
   )  
 
( 
 
   )  
 Dalla quale otteniamo la soluzione: 
 
 
  
 
   
 
 
dove: 
 
 
 
     
 
 
  
              
 
 
     
 
 
  
 
Sostituendo otteniamo che: 
 
 
 
     
 
 
  
  
     
 
 
  
 
(2) 
(1)
5 
 
dove   rappresenta un vettore con elementi pari a 1 di dimensione 
appropriata (   ) e dove: 
   
 
 
  
         
 
 
  
 ;       
 
 
  
 ;          
 
. 
La varianza minima del portafoglio sarà quindi:  
 
 
  
 
   
In particolare per ogni  
 
 si ha un portafoglio ottimale, composto dal 
vettore dei pesi w e rischio minimo pari a: 
 
 
 
√
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
Il paradigma di Markowitz offre due importanti intuizioni: 
1. Illustra l’effetto della diversificazione. Attività imperfettamente 
correlate possono essere messe in relazione dentro portafogli 
con determinate caratteristiche dei rendimenti attesi. 
 
2. Markowitz mostra che, quando un portafoglio è diversificato, è 
possibile raggiungere rendimenti attesi più elevati solo 
attraverso allocazioni estreme, ovvero aumentando il rischio. 
 
 
Nella figura 1 rappresentiamo la porzione di insieme che costituisce la 
frontiera efficiente; la parte interessata è quella superiore al portafoglio 
di varianza minima (Global Minimum Variance Portfolio, GMVP). In 
particolare la figura 1 raffigura il caso in cui non sia possibile prendere o 
investire al tasso privo di rischio.