Modelli di pricing basati sulla volatilità implicita

La volatilità di un titolo finanziario fornisce la misura della variabilità dei suoi rendimenti, in particolare, il valore della volatilità di un titolo sottostante, che eguaglia il prezzo dell’opzione al suo valore di mercato è definito volatilità implicita.
Il modello principale, utilizzato per determinare il prezzo di opzioni call e put di tipo europeo, è senza dubbio quello di Black e Scholes (1973), il quale però si fonda su delle ipotesi non coerenti con la realtà dei mercati finanziari. Le ipotesi, alla base di questo modello, fanno riferimento alla completezza ed efficienza dei mercati, (arbitrage free) e all’idea di una volatilità costante nel tempo e nei differenti stati di natura.
La realtà dei mercati finanziari evidenzia però un’evoluzione diversa, rispetto a quella ipotizzata da Black e Scholes, della volatilità, caratterizzata dal cosiddetto “smile effect”. La volatilità implicita di mercato, di opzioni su indici azionari, solitamente varia al variare sia dello strike che della scadenza dell’opzione, questo conferma l’assunto evidente che la superficie della volatilità implicita è tutt’altro che piatta, come richiesto dal modello di Black-Scholes, che ipotizza una volatilità costante.
Uno dei problemi più difficili da risolvere, nella determinazione del prezzo delle opzioni, è stato quello di capire come conciliare questa struttura della volatilità con il modello di Black-Scholes. In questo lavoro si cerca di estendere il modello di Black-Scholes in maniera tale da renderlo coerente con lo smile della volatilità evidenziato sul mercato.
La possibile soluzione risiede nell’implementazione dei modelli mediante alberi impliciti, che fanno riferimento al modello di Derman e Kani (1994).
Nei mercati delle opzioni, in cui è presente una significativa “volatility smile”, i modelli mediante alberi impliciti sono in grado di assicurare la coerenza dei prezzi di opzioni di tipo esotico con i prezzi di mercato di opzioni standard quotate.
Gli alberi impliciti possono essere costruiti seguendo molteplici metodologie. Gli alberi impliciti binomiali sono i meno complessi e sono anche caratterizzati da un numero di parametri (prezzi e probabilità di transizione), appena sufficiente a raggiungere una perfetta armonizzazione con lo “smile” della volatilità letto sul mercato, soffrono però di un’eccessiva rigidità, legata alla determinazione di un unico albero implicito nella struttura dei prezzi letta sul mercato.
In questo lavoro vediamo anche come costruire un albero implicito di tipo trinomiale. Gli alberi impliciti trinomiali hanno al loro interno più parametri rispetto a quelli previsti negli alberi impliciti binomiali, è possibile quindi utilizzare questi parametri addizionali nella scelta conveniente dello “state space” dei nodi dell’albero trinomiale e lasciare in questo modo solamente le probabilità di transizione vincolate ai prezzi di mercato delle opzioni. Questa libertà, nella scelta dello “state space”, fornisce al modello una flessibilità non ottenibile attraverso gli alberi impliciti di tipo binomiale.
Nell’applicazione riportata viene illustrata l’implementazione di un albero implicito trinomiale, partendo da valori letti sul mercato azionario, si determinano così le volatilità implicite, in corrispondenza dei differenti strikes e scadenze, e le probabilità di transizione. Si utilizzano infine questi valori per la determinazione del prezzo di un’opzione asiatica di tipo “average strike”.
Dopo il “crash” del mercato azionario evidenziato nel 1987, le opzioni su indici azionari sono state caratterizzate da una persistente “skew” della volatilità implicita. È interessante chiedersi come questa “skew” vari al modificarsi dell’indice di mercato corrispondente. La corretta risposta al quesito suggerisce un’appropriata metodologia per la valutazione e la copertura di qualsiasi tipologia di opzione su indice.
In questa sezione viene esaminato l’andamento della volatilità implicita dell’indice S&P 500, durante un anno, nel tentativo di specificare i modelli sottostanti i valori dell’indice. Sono stati isolati alcuni differenti periodi, all’interno dei quali prevalgono differenti modelli di evoluzione della volatilità. In ogni periodo viene analizzata la regola o il modello che la volatilità di mercato sembra seguire, e la possibile spiegazione.