Smoothers e Gam per l'analisi delle serie storiche

Tra gli strumenti utilizzati nelle applicazioni statistiche un ruolo di fondamentale importanza è sempre stato riconosciuto al modello di regressione lineare grazie alla sua semplicità di interpretazione. Negli ultimi anni, a seguito della notevole evoluzione dei computer, in termini di velocità e di prestazione, è stato possibile affiancare al tradizionale modello lineare nuovi metodi che potenzialmente permettono di trarre maggiori informazioni dall’insieme di dati a disposizione dell’analista.
Uno di questi metodi è il modello additivo, una generalizzazione del modello di regressione lineare. Il principio su cui esso si basa è sostituire la classica funzione lineare di una covariata con una funzione di Smooth non specificata. L’additività del modello consiste in una somma di tali funzioni, inoltre è possibile definire lo stesso non parametrico, in quanto non impone rigide forme parametriche su di esse ma ne fornisce una stima in modo iterativo attraverso l’uso di uno scatterplot smoother.
Nel 1984 Hastie e Tibshirani hanno esteso l’idea di base del modello additivo ai modelli lineari generalizzati, creando quelli che nella moderna statistica computazionale sono conosciuti come Modelli Additivi Generalizzati (GAM).
In questa trattazione è stato realizzato una sorta di viaggio nel tempo per ripercorrere alcune delle tappe più importanti dello sviluppo degli smoothers e dei GAM in statistica. Il percorso didattico seguito ha avuto come punto di partenza una descrizione dei diversi metodi di analisi noti. La regressione lineare, la base della scienza statistica, è stata illustrata nei suoi tratti più salienti per passare poi all’introduzione delle tecniche di regressione non parametrica.
Nei modelli non parametrici un ruolo di fondamentale importanza è svolto dagli smoothers. La letteratura statistica è ricca di contenuti in merito a questi stimatori. Tuttavia, quelli maggiormente conosciuti e indagati restano il bin smoother, definito anche regressogramma, il running mean, o simmetric nearest neighborhood, il running median, smoothing splines, lowess e kernel smoothers. Ognuno di questi smoothers è stato oggetto di specifica trattazione per una completa comprensione del metodo di base, e per porre l’accento su vantaggi e svantaggi di ciascuna tecnica.
Una posizione di privilegio, nel contesto storico di riferimento, è comunque detenuta dai modelli additivi introdotti da Stone. Questi modelli presentano il duplice pregio di evitare il problema della dimensionalità (ogni termine additivo è, infatti, stimato da una funzione di smooth) e della semplicità interpretativa, ogni stima dei termini individuali spiega come la variabile dipendente cambia al variare della variabile indipendente.
Questa prima parte si conclude con l’illustrazione dei GAM e dell’algoritmo di Backfitting, attraverso il quale si giunge alla stima delle funzioni di smooth inserite nei GAM.
La seconda parte è un’analisi storica in senso stretto. La ricerca bibliografica ha avuto come oggetto articoli tratti da riviste specializzate e scritti da studiosi di rilievo nel campo della statistica applicata e computazionale. Gli argomenti analizzati seguono un ordine cronologico e sono divisi per contenuto in tre sezioni.
Nella prima sezione sono riportati studi e conclusioni cui sono giunti autori come Mallows, che si è occupato di alcune teorie relative a smoothers non lineari (1980); Gebski, che ha valutato l’uso dello splicing per smoothers non lineari (1985); Breiman e Peters (1992) che attraverso un confronto tra smoothers automatici valutano i vantaggi dello smoothers DKS, di cui essi sono i responsabili delle modifiche dell’idea di base per l’incorporazione nella nuova versione di ACE; Fan e Gijbells (1992), che discutono la possibilità concreta di giungere ad una scelta ottimale di un bandwidth variabile anche per smoothers lineari.
Nel seconda sezione, invece, sono contenuti diversi articoli tra cui quello di Hastie e Tibshirani che nel 1989 hanno pubblicato, nella rivista Annals of Statistics, uno studio su smoothers lineari e modelli additivi (debitamente riportati anche i commenti finali di altri autori su questo studio, tra cui Cox, Eubank e Speckman, Gasser e Golub); l’articolo di Kauerman e Opsomer (2000) sulla stima di probabilità locale nel modello additivo e quello di Walker e Write (2001), che usano i modelli additivi per verificare la variazione di variabili significative di processi relativi al campo dell’ingegneria.