Algebre di prolungamento di equazioni di evoluzione non lineari

CAPITOLO I 1.1. Funzioni d’onda. I fenomeni naturali per la descrizione dei quali è necessario utilizzare delle equazioni d’onda sono numerosi. Basta ricordare qualche esempio per rendersene conto. La propagazione del moto ondoso sulla superficie del mare, le onde che si sviluppano a causa di un terremoto, la propagazione della luce nello spazio e del suono nell’atmosfera, il moto degli elettroni nell’atomo e dei protoni e neutroni nel nucleo, tutta la meccanica quantistica e molti altri fenomeni sono sviluppati a partire dal concetto di onda. In quest’area svolge un ruolo importante la legge della propagazione d’onda, la cui espressione matematica più semplice è relativa ai modelli uni-dimensionali, vale a dire, la propagazione di un moto ondoso lungo una retta. L’equazione di partenza per questo particolare tipo di problema è data da 0 2 2 2 = ∂ ∂ − ∂ ∂ x u c t u (1.1.1) dove ()txu , è detta “ampiezza d’onda” e c è una costante. La (1.1.1) ha una soluzione generale semplice e ben conosciuta, espressa da () ( ) ( )ctxgctxftxu ++−=, , (1.1.2) dove f e g sono funzioni arbitrarie. Le funzioni f e g possono essere determinate imponendo delle condizioni iniziali, risolvendo, così, il problema di Cauchy associato alla (1.1.1). Le soluzioni del problema di Cauchy (1.1.2) sono usualmente chiamate “soluzioni di D’Alembert”;