I sistemi dinamici discreti ad un passo e l’equazione logistica

Introduzione L’obiettivo di questo lavoro consiste nell’analizzare qualitativamente e quantitativamente alcuni sistemi dinamici discreti scalari, ad un passo temporale ed autonomi; un esempio particolarmente interessante e il modello logistico di cui si e illustrata ed esaminata la complessit a della dinamica. L’interesse che spinge verso lo studio dei sistemi dinamici discreti e dato dalla grande importanza che rivestono in moltissimi campi, ad esempio in Analisi Numerica e nella modellistica in Biologia. Nel primo capitolo si denisce concettualmente e matematicamente cosa si intende per sistema dinamico discreto scalare, autonomo ed a un passo. Viene illustrato come tali sistemi possono essere caratterizzati mediante leggi ricorsive, chiamate equazioni alle dif- ferenze che generano una successione di valori X k , partendo da una funzione continua f e da uno stato iniziale X 0 : Tranne che in casi particolarmente semplici, non e possibile determinare una soluzione esplicita. Pertanto e necessaria un’analisi qualitativa e gra- ca del sistema dinamico discreto. A tal proposito si deniscono i concetti di punti di equilibrio e delle orbite periodiche. L’interesse va oltre alla denizione di tali concetti, perch e per ciascuno di essi si vuole studiare la stabilit a e l’attrattivit a. La stabilit a e l’at- trattivit a sono fondamentali nell’analisi qualitativa poich e valutano se il comportamento di una soluzione del sistema dinamico discreto risulti indierente a perturbazioni agenti sullo stato iniziale e sui parametri presenti nelle varie equazioni che descrivono il sistema 1