Analisi Isogeometrica. Vantaggi derivanti dall'uso di funzioni di forma a continuità elevata per problemi monodimensionali

Introduzione Ad oggi, nel panoramea dei metodi di maggior successo nell’ambito della meccanica computazionale, al classico metodo degli elementi niti (FEM), nell’ultimo decen- nio, si e aancata l’Analisi Isogeometrica (IGA). Il metodo degli elementi niti trae le sue origini negli anni ’50 da alcuni articoli di Turner [1] e Argyris e Kelsey [2], che raccolsero una serie di articoli sull’argomento pubblicati tra il 1954 ed il 1956. Esso si fonda sull’idea di studiare un problema dierenziale partendo dalla sua formulazione debole; il concetto basilare del metodo e quello di approssimare la geometria del problema e la sua soluzione con un set di funzioni note. Questo permise agli ingegneri di studiare strutture sempre pi u complesse, potendo disporre di uno strumento di calcolo molto pi u potente rispetto al tradizionale calcolo manuale. Questo ruolo cos importante per la progettazione port o il FEM ad un rapido progresso; in particolare, nella seconda met a degli anni ’60 vennero introdotti gli elementi isoparametrici [3, 4] che fecero fare un notevole passo in avanti al metodo. Il problema era che questi elementi valevano solo per funzioni di forma di classe C 0 ; vennero introdotte nuove tecniche per estendere il metodo a funzioni di forma con maggiore regolarit a, ma il risultato era troppo poco eciente. Inoltre, rimaneva il problema della corretta denizione della geometria mediante le sole funzioni di forma scelte. A met a degli anni ’70 cominci o a svilupparsi l’idea di poter risolvere entrambi que- sti problemi scegliendo come funzioni di forma le funzioni (altamente regolari) usate per la rappresentazione CAD dell’elemento da studiare (di cui si esporr a in dettaglio nel capitolo 2). Quest’idea non trov o piena realizzazione, poich e tali funzioni erano molteplici e non tutte adatte alle tecniche di analisi numerica; tuttavia lo svilup- parsi dell’IGA ha spinto anche gli sviluppatori delle rappresentazioni CAD a venire incontro alle esigenze degli analisti strutturali cosicch e i due mondi stanno in questi anni convergendo, secondo i piani iniziali. In questa tesi considerer o due casi circa un’asta in stato tenso-deformativo monodi- mensionale con lo scopo di: calcolare gli spostamenti assiali sotto un carico distribuito (per esempio sinu- soidale) ed i relativi errori 11