La probabilità neutrale al rischio e la valutazione dei titoli di mercato

Le opzioni finanziarie rappresentano una classe molto importante di derivati e negli ultimi anni stanno riscuotendo notevole successo presso gli investitori.
La teoria della determinazione del prezzo delle opzioni finanziarie è nata sostanzialmente facendo ricorso a due metodi: quella della valutazione in tempo continuo con il modello di Black e Scholes, e quella in tempo discreto con il modello di Cox-Ross-Rubinstein.
Il nome di misura di probabilità neutrale al rischio deriva dal fatto che, sotto di essa, tutte le attività finanziarie dell'economia hanno il medesimo tasso di rendimento atteso (detto privo di rischio), a prescindere dalla loro rischiosità.
Il modello di Black-Scholes-Merton del 1973 è un modello dell'andamento nel tempo del prezzo di strumenti finanziari, in particolare delle azioni. Questi due illustri matematici hanno utilizzato il calcolo stocastico, disciplina che consente di studiare le variabili nel tempo, anche in presenza di incertezza. Obiettivo di questo primo capitolo è quello di ricavare una espressione esplicita del prezzo di equilibrio di un’opzione call di tipo europeo scritta su titoli che non pagano dividendi. L’equazione differenziale di Black e Scholes rappresenta un punto concettuale di primaria importanza nel modello di determinazione del prezzo delle opzioni “option pricing model”. Il modello Black e Scholes offre una descrizione meno che perfetta del mondo reale; gli operatori però ricorrono, nella pratica molto frequente, a tale modello sia perché è di facile utilizzo, sia perché richiede la stima di un solo parametro: la volatilità considerata costante nel tempo.
Nella teoria dell’option pricing il prezzo (aleatorio) dell’azione, rappresenta la variabile base del mercato e l’unica fonte di incertezza; si accetta l’ipotesi che gli operatori abbiano “opinioni conformi” sui futuri stati del mercato. Si fa riferimento ad un mercato non-frizionale, composto da titoli infinitamente divisibili, dove gli scambi siano possibili con continuità, senza costi di transizione e gravami fiscali e siano ammesse vendite allo scoperto. Il tasso di sconto è considerato costante nel tempo o, al più, si considera una struttura per scadenza dei tassi di interesse non-costante ma deterministica. Gli investimenti di tipo obbligazionario sono trattati esenti da rischio e il loro rendimento (certo) è assunto come livello di riferimento per ricavare formule di valutazione dei titoli rischiosi.
Nel capitolo successivo viene analizzata una tecnica molto diffusa per la valutazione delle opzioni su azioni la quale comporta la costruzione di un cosiddetto “albero binomiale”. Si tratta di un diagramma che rappresenta i diversi sentieri che potrebbero essere seguiti dal prezzo dell’azione durante la vita dell’opzione. Obiettivo di questo secondo capitolo è mostrare sotto quali condizioni il modello Black-Scholes risulta equivalente all’approccio binomiale, elaborato da Cox, Ross, Rubinstein (1979) per la valutazione delle opzioni in tempo discreto. Nell’approccio binomiale valgono le stesse ipotesi alla base del modello Black-Scholes, tranne quella riferita al processo stocastico seguito dal titolo sottostante. L’ipotesi dell’approccio in questione è che il prezzo del titolo sottostante segua un processo stocastico di tipo binomiale. Nel presente capitolo viene infine fatto cenno ad un ulteriore metodo di valutazione delle opzioni: il metodo Monte Carlo che si applica soprattutto a derivati di tipo europeo. Può essere usato nel caso in cui il titolo derivato dipenda da più variabili stocastiche: in questo caso per ogni variabile si devono simulare traiettorie, per poi procedere al calcolo del valore dell’opzione.