Un metodo di risoluzione dell’equazione di Radiosità

La presente tesi affronta il problema inerente alla risoluzione numerica di una particolare equazione integrale, nota come equazione di radiosità.
Lo studio e la risoluzione di tale equazione ha permesso, nel campo della Computer Grafica, di ottenere un alto livello di realismo nel rendering di immagini, cioè nella generazione dell’immagine di una scena tridimensionale a partire dalla sua descrizione matematica.

La tesi si compone di 4 capitoli.
Nel primo capitolo viene introdotta l’equazione di radiosità, ossia un modello matematico che descrive il fenomeno della diffusione luminosa di una superficie perfettamente diffusiva S, quando essa venga illuminata in qualche forma.
Per ogni punto di tale superficie vengono introdotte le componenti di radiazione emessa (E) e diffusa (R), che rappresentano rispettivamente la misura della radiazione luminosa emessa dal punto in quanto fonte luminosa, e di quella emessa dal punto come effetto della diffusione della radiazione
ricevuta dagli altri punti.
La radiosità u di un punto è definita come la somma di queste due componenti, u = R + E.
Ricavando un’espressione della componente R in termini della geometria di S e delle proprietà di diffusione della superficie considerata, si ottiene una equazione integrale di Fredholm del secondo tipo.
Vengono studiate le proprietà di tale equazione e viene dimostrato un risultato di esistenza e unicità della soluzione.

Nel capitolo 2 viene considerata la discretizzazione del problema, mediante l’uso dei metodi di proiezione e di collocazione.
Per la risoluzione dell’equazione di radiosità, viene descritto ed utilizzato un particolare metodo di collocazione noto come metodo dei Baricentri, che permette di approssimare la soluzione mediante una successione di funzioni costanti a tratti definite su una triangolazione di S.
La definizione del metodo dei baricentri, a differenza dei metodi di collocazione descritti in letteratura, presenta alcune problematiche che sono state affrontate e risolte mediante una particolare costruzione di funzionali di L∞ (S).
A conclusione del capitolo vengono presentati i risulti di stabilità e di convergenza del metodo descritto.
Dalla discretizzazione dell’equazione di radiosità si ottiene un sistema lineare n × n della forma
(I − K_n )u_n = E_n ,che viene analizzato nel terzo capitolo e che può essere risolto con un metodo
standard di iterazione.
Per la costruzione esplicita della matrice K_n , è richiesta la valutazione di numerosi integrali con un costo proporzionale ad n^2 ed una costante di proporzionalità elevata.
Allo scopo di ridurre sia il costo della costruzione di Kn , sia del processo iterativo, viene presentato un metodo veloce di moltiplicazione matrice-vettore, ottenendo un costo per iterazione dell’ordine di n (log n)^5.
Nell’ultimo capitolo vengono riportati alcuni risultati sperimentali ottenuti con l’utilizzo di un software che permette di risolvere le equazioni integrali.
I risultati ottenuti sono stati rielaborati e visualizzati in Matlab.