Geometria degli origami

Introduzione Con la parola origami (dal giapponese ori, piegare, e kami, carta) si indica sia quell’arte, tradizionalmete giapponese, di piegare la carta per ottenere, utilizzando uno o piu` fogli quadrati, oggetti di qualunque forma senza mai tagliarli ne` incollarli, sia l’oggetto ultimato. In generale, si pensa che la costruzione di origami abbia semplicemente scopi figurativi; tuttavia negli ultimi decenni il loro studio approfondito ha pero` portato a sorprendenti risultati in campo matematico: fino ad allora l’uso degli origami in questo campo era limitato al perseguimento di obiettivi pu- ramente didattici. Intuitivamente, si comprende che la disciplina matematica a cui gli origami si prestano maggiormente e` la geometria, anche se e` possibile fare in propos- ito considerazioni che invadono anche i campi dell’analisi e dell’algebra; tali considerazioni sono racchiuse in vere e proprie teorie. Tra queste, si e` scelto di esporre una teoria geometrica, ideata dal matematico giapponese H. Huzita, il quale ha conferito agli origami una struttura propria- mente assiomatica, in analogo alla piu` illustre, e palesemente piu` conosciuta, geometria euclidea. In particolare, si e` cercato di fare un confronto tra le due geometrie ottenendo risultati abbastanza sorprendenti e mettendo cos`ı in luce i limiti, se cos`ı si puo` dire, delle costruzioni euclidee rispetto alle costruzioni fatte con gli origami. Si possono citare, a questo proposito, due dei tre problemi classici della matematica: la trisezione dell’angolo e la du- plicazione del cubo. Fin dall’antichita` si e` cercato di risolvere, insieme al problema della quadratu- ra del cerchio, tali questioni mediante costruzioni euclidee eseguite con riga e compasso; cio` si e` dimostrato essere impossibile solo nel 1882. Ebbene, e` possibile eseguire con gli origami delle costruzioni che permettono di dividere in tre sezioni uguali un angolo qualunque, o di trovare un segmento che, preso come spigolo di un cubo, dia la possibilita` di costruire un altro cubo il cui volume sia doppio di quello del cubo dato. Cio` e` dovuto al fatto che, come esposto nel seguito, con gli origami e` possibile risolvere equazioni cubiche, mentre con riga e compasso si puo` dare la risoluzione al piu` di equazioni 2