La Trasformata di Stockwell - Rappresentazione multirisoluzione dello spazio tempo-frequenza

Il campo dell'analisi dei segnali in tempo-frequenza ha avuto come stimolo iniziale lo sviluppo della Short-Time Fourier Transform (STFT). Questa è una rappresentazione nel piano tempo-frequenza che usa una funzione finestra per localizzare nel tempo e la trasformata di Fourier per localizzare in frequenza. La finestra d'analisi ha lunghezza fissa e, perciò, la STFT ha una risoluzione fissa. La Wavelet Transform (WT) invece presenta una risoluzione dipendente dalla frequenza. Tuttavia la WT non fornisce informazioni relative alla fase di tipo assoluto, ma sempre riferite al centro della finestra d'analisi, impedendo una connessione diretta con lo spettro di Fourier. Inoltre la rappresentazione del risultato della sua applicazione non avviene sul piano tempo-frequenza, ma su quello tempo-scala, riducendone la leggibilità e la facilità di interpretazione. Le distribuzioni quadratiche, pur presentando caratteristiche interessanti e una risoluzione elevata, soffrono della presenza di termini d'interferenza, la cui incidenza è riducibile solo a scapito della risoluzione. La trasformata qui introdotta, sviluppata da Robert Stockwell nel 1996 e detta S-Transform (ST), combina le caratteristiche positive di questi strumenti, cercando, allo stesso tempo, di superare le loro limitazioni. La ST può essere vista come una STFT dipendente dalla frequenza oppure come una WT con correzione di fase. La ST presenta una risoluzione progressiva dipendente dalla frequenza come la WT, ma si differenzia nell'avere informazione sulla localizzazione della fase che è riferita in modo assoluto e risposta in ampiezza invariante con la frequenza. Infine, essendo una distribuzione lineare, non presenta termini d'interferenza, tipici delle distribuzioni quadratiche. Nel corso degli anni sono state proposte versioni modificate della ST, allo scopo di migliorarne ulteriormente le prestazioni. Tuttavia una delle limitazioni maggiori è rappresentata dalla ridondanza del risultato ottenuto dalla versione discreta della ST (DST). Per questo, più di recente, è stata proposta una versione della DST molto più efficiente in quanto ortonormale. Dopo una breve rassegna degli aspetti importanti e dei concetti fondamentali relativi all'analisi del segnale in tempo-frequenza (Capitolo 1), vengono introdotte le principali distribuzioni (Capitolo 2) che servono da base per la comprensione della S-Transform (Capitolo 3). In fine verranno verificate le effettive proprietà della ST attraverso una serie di esempi comparativi (Capitolo 4).