Il Libor Market Model: aspetti teorici e applicazioni al pricining dei derivati sul tasso d'interesse

5INTRODUZIONE "Indietro? Neanche per prendere la rincorsa!" ______________________________________ (Ernesto Che Guevara) L’evoluzione dei modelli di pricing dei derivati sul tasso è stata influenzata in misura considerevole dalle istanze provenienti dalle varie categorie di utilizzatori di questi modelli, ossia i trader di relative value su bonds, i trader di dervati plain vanilla e soprattutto da trader di derivati esotici. A seconda di quanto pesassero sul conto economico della banca i profitti generati da ciascuna di queste categorie, i quant hanno dovuto incorporare nel modello delle caratteristiche che soddisfasero le esigenze dell’una o dell’altra categoria. Così, a metà anni settanta il mercato dei strumenti fixed income era dominato dai bond, e i trader attivi su questi strumenti erano interessati alla capacità prescrittiva del modello, ossia data una certa curva iniziale dei tassi, eventuali disallineamenti tra prezzi di modello dei bond e i corrispondenti prezzi di mercato, non indicavano necessariamente carenze del modello, bensì opportunità di trading. Lo stesso valeva, diversi anni più tardi per i trader di derivati plain vanilla, che erano interessati al confronto tra la volatilità implicità nei prezzi di mercato di caps e swaptions e la volatilità prodotta dal modello. I trader di bond erano soddisfati con i short rate models. Infatti anche il modello primitivo di Vasicek consentiva di prezzare i bond data una certa curva dei tassi. Man mano che nascevano nuovi strumenti emergevano anche nuove esigenze, come ad esempio quella dei trader di caps e swaptions di calibrare il modello al loro sottostante, ossia i bond. Fu Hull e White che, rendendo il drift e il coefficiente diffusivo funzione del tempo, hanno consentito il fitting ad una curva iniziale dei tassi e ad una certa struttura a termine della volatilità. Tuttavia, nel giro di poco tempo gli stessi caps e swaption sarebbero diventati i nuovi sottostanti di derivati esotici, e i trader di strumenti esotici diventavano il gruppo più importante e l’interlocutore principale di chi costruiva il modello. Per questa categoria di operatori è di criciale importanza arrivare ad allineare i prezzi di modello del proprio sottostante (caps e swaptions) con quelli di mercato, in modo da prezzare ed hegiare corretamente i prodotti esotici scambiati. La capacità descrittiva del modello, resa possibile tramite la calibrazione al prezzo di mercato di caps e swaptions diventava il nuovo must. Il Libor Market Model nasce appunto con questo intento, di prezzare derivati esotici tramite la calibrazione alla curva iniziale di tasso e al prezzo dei derivati plain vanilla. Questo modello si inseriva nel quadro del teorema di Heath-Jarrow-Morton che applicava al contesto fixed income i principi del arbitrage-