Sistemi dinamici: questioni di stabilità ed applicazioni economiche

A lungo si è cercato di spiegare parecchi fenomeni che si verificano nei sistemi economici attraverso l’uso di leggi matematiche e numerosi sono stati i tentativi di costruire modelli teorici descrittivi dei mutamenti e dei comportamenti delle variabili economiche. Ciò è stato fatto attraverso diversi approcci ma la natura dinamica dei sistemi economici ha sempre reso agli economisti il compito estremamente arduo, soprattutto perchè in una scienza sociale come l’economia politica, le variabili da considerare sono sempre numerose e aspetti, per così dire, soggettivi sono quasi sempre presenti, anche nei modelli esclusivamente deterministici (ossia non contenenti variabili aleatorie). Nel corso degli ultimi due secoli di studi vi è sempre stata almeno una duplice analisi dell’economia, ossia dal punto di vista della statica comparata e della dinamica. Nel descrivere l’evoluzione del sistema economico i più recenti contributi si sono concentrati su quest’ultimo punto di vista per consentire ai modelli matematici di essere sempre più aderenti alla realtà economica.
Il presente lavoro, che si occupa dell’analisi dei sistemi dinamici (continui e discreti) ed in particolare dell’analisi della stabilità degli equilibri, è articolato in otto capitoli. I primi due sono dedicati all’esposizione degli strumenti matematici necessari alla comprensione dei modelli analizzati.
Il primo capitolo si apre con una definizione di sistema dinamico, distinguendo tra III sistemi continui e discreti: questi sono inoltre interpretati mediante alcune possibili rappresentazioni grafiche. In seguito viene introdotta la nozione di equazioni differenziali (che costituiscono a loro volta un caso particolare delle cosiddette
“equazioni funzionali”), con le relative nomenclature e distinzioni. Successivamente sono presentati i sistemi di equazioni differenziali del primo ordine ed analoga esposizione viene fatta per le equazioni alle differenze finite del primo ordine. Un ulteriore paragrafo è dedicato ai sistemi dinamici di ordine superiore, ove viene esposta la possibilità di diminuire con una particolare trasformazione le difficoltà di risoluzione. Il primo capitolo si chiude quindi con una breve analisi delle condizioni di esistenza ed unicità delle soluzioni.
Nel secondo capitolo lo studio si incentra sui metodi di risoluzione dei sistemi dinamici lineari poiché questi, oltre ad essere di più semplice manipolazione, trovano maggiori impieghi in campo economico.
Il terzo capitolo è dedicato alla definizioni di “punto di equilibrio” di un sistema dinamico e di “stabilità”. Si prosegue quindi con l’esposizione di alcuni metodi qualitativi e quantitativi per l’accertamento della stabilità degli equilibri, che sono:
il metodo dei diagrammi di fase, il metodo di linearizzazione ed il secondo metodo di Liapunov.
Nel quarto capitolo viene considerato il modello di equilibrio walrasiano, il modello che riveste storicamente un ruolo di primo piano nella teoria economica dalla seconda metà dell’Ottocento fino agli ultimi sviluppi degli anni cinquanta.
Il capitolo si apre con una breve esposizione delle ipotesi introdotte in questa teoria cui segue il problema dell’esistenza dell’equilibrio; successivamente l’analisi verte sul problema della stabilità dell’equilibrio. In chiusura del capitolo vi sono le ultime teorie che spiegano il processo di assestamento in un mercato in squilibrio
in un modo più vicino alla realtà.
Il quinto capitolo riguarda in particolare il caso di stabilità locale dell’equilibrio IV walrasiano, ove si prenderanno in considerazione diverse proposte, fatte nella letteratura economica e matematica, atte ad assicurare che una matrice quadrata sia stabile, ossia abbia autovalori con parte reale negativa.
Nel sesto capitolo si passa all’esame di alcuni modelli economici dinamici e alla loro stabilità. Il capitolo si struttura nel seguente modo: il confronto tra stabilità walrasiana e marshalliana, il modello della ragnatela, il modello keynesiano, il modello del moltiplicatore–acceleratore, il modello delle aspettative, il modello
di Domar, ed infine il modello di crescita di Solow–Samuelson.
Negli ultimi due capitoli si analizzano le applicazioni dei sistemi dinamici in alcune problematiche aziendali. Il settimo capitolo è dedicato ai modelli di marketing: sono esposti il modello di proiezione delle vendite, il modello di transizione da marca a marca ed il modello di spesa pubblicitaria.
L’ottavo capitolo tratta i modelli finanziari con particolare riferimento ai regimi di capitalizzazione, al calcolo dei valori attuali e dei montanti di rendite finanziarie ed infine alla problematica relativa alla determinazione della riserva matematica delle compagnie assicurative.