Tentativo d’integrazione di misure geodetiche satellitari e terrestri: uno studio su Vulcano

Angelo Marco Naso 
Tentativo di integrazione di misure geodetiche satellitari e terrestri: uno studio su Vulcano 
4 
 
 
 
 
                    Elementi di cartografia 
 
La superficie terrestre nella rappresentazione cartografica 
Con la necessità di viaggiare, è nata l‟e si g e n za d i d is e g n a re i t e rr it o ri e l e coste dei continenti. In questo modo si aveva un valido mezzo per 
orientarsi nella scoperta di nuove terre e anche per tornare a casa. Per 
fare ciò, è stato necessario riportare in misura ridotta e sulle due 
dimensioni del piano, la superficie terrestre che si sviluppa nelle tre 
dimensioni spaziali.  
 
I primi tentativi nella costruzione di carte geografiche non si basavano su 
te cn ic h e rig o rose m a s o lo s u ll a se n s ib il it à e s cr u p o lo s it à d e l l‟e sp l o rato re . I risultati r a g g i u n t i e ran o l e g a ti a l li v e ll o d ‟accu rate zz a d e l le te c n ich e utilizzate, e quindi più vicini ad una interpretazione soggettiva che ad uno 
strume n to d ‟i n d a g in e scie n ti fi ca . Dopo millenni di tentativi si è arrivati a 
costruire quella che oggi conosciamo come carta geografica.  
La cartografia è la scienza che definisce le tecniche e gli strumenti 
matematici necessari per elaborare le carte geografiche. Poiché non è
Angelo Marco Naso 
Tentativo di integrazione di misure geodetiche satellitari e terrestri: uno studio su Vulcano 
5 
 
 
 
possibile riportare una superficie sferica su un piano senza deformarla, 
una carta geografica resta comunque una rappresentazione 
a p p rossi m a ta d e l la s u p e rfici e t e rr e stre. L ‟ u n ico vin c o lo ch e p o ssia m o apporre è la proporzionalità tra le aree o gli angoli o le distanze reali e 
quelle sulla carta, ridotte secondo una ben definita scala.  
Il problema si complica oltre le nostre possibilità di risoluzione, se 
consideriamo che la superficie terrestre non è perfettamente sferica.  
Per questo motivo riferiremo le nostre rappresentazioni sempre sfruttando 
l‟e ll isso id e c o m e l‟ a p p rossi m a zio n e d e ll a s u p e rfici e t errestre, essendo 
essa una superficie matematicamente rappresentabile. 
 
È la geodesia che ha il compito di trovare il modo come far corrispondere 
i p u n ti P e P ‟, su l le s u p e rfici risp e tt iv a m e n t e r e a le e imm a g i n a ria . 
 
La Terra e le superfici di riferimento 
Abbiamo già accennato a quanto sia necessario, per la rappresentazione 
dei punti fisici posti sulla superficie terrestre, riferirsi ad una superficie 
immaginaria di riferimento. Presentiamo ora come si è evoluta nel tempo 
la risoluzione del problema. 
 
 
 
 
La forma della Terra 
La superficie della Terra è di forma irregolare e non è rappresentabile 
attraverso una superficie matematica; inoltre la densità della massa 
a ll ‟in t e rno d i ta l e s u p e r fi cie n o n è o m o g e n e a . 
Per mettere in corrispondenza i punti della superficie fisica della Terra 
con quelli di un sistema cartesiano piano, mediante relazioni analitiche, i 
geodeti dovettero affrontare il problema di definire una superficie
Angelo Marco Naso 
Tentativo di integrazione di misure geodetiche satellitari e terrestri: uno studio su Vulcano 
6 
 
 
 
matematica della Terra, cioè di una superficie non coincidente con la 
superficie fisica ma ad essa prossima ed esprimibile in termini 
matematici. Come sistema di riferimento rispetto al quale riferire le 
coordinate di questa superficie matematica è stata scelta una terna 
cartesiana ortogonale (X, Y, Z) così definita: 
 origine della terna nel centro di massa terrestre 
 a sse Z co in c id e n te co n l‟ asse di rotazione terrestre 
 a sse X g i a ce n te n e l p ia n o co n te n e n t e l‟a s se d i rota zi o n e e u n punto arbitrario della superficie terrestre (Greenwich). 
 asse Y perpendicolare al piano generato dagli assi X e Z e 
giacente sul piano equatoriale 
 
Il sistema di riferimento così definito prende il nome di sistema 
geocentrico.  
Dato un punto P sulla superficie fisica della Terra, si definisce piano del 
meridiano terrestre passante per P, il piano π
P
 co n te n e n te l‟a sse d i rotazione terrestre ed il punto P. 
In questo modo, gni punto P della superficie terrestre può essere 
individuato:
Angelo Marco Naso 
Tentativo di integrazione di misure geodetiche satellitari e terrestri: uno studio su Vulcano 
7 
 
 
 
 in un sistema cartesiano, in funzione delle sue coordinate X,Y, Z 
nel sistema geocentrico 
 in un sistema polare, in funzione di una coppia di coordinate 
geografiche terrestri che sono la latitudine terrestre φ e la 
longitudine terrestre λ. 
L a l a ti t u d in e t e rr e stre è l‟a n g o l o φ che la verticale passante per il punto P 
forma col piano equatoriale; la longitudine terrestre è l ‟angolo λ che il 
piano co n t e n e n te il p u n to P e l‟a sse di rotazione terrestre forma con un 
piano di riferimento della longitudine, cioè il piano π
G
 passante per 
Greenwich. 
 
Il geoide 
Una delle grandezze fisiche legate al nostro Pianeta è la forza di gravità 
che, come sappiamo, è la risultante della forza di attrazione Newtoniana 
e della forza centrifuga. 
Considerando la non omogeneità della distribuzione della densità nella 
m a ssa te rr e stre e l‟irr e g o la rit à d e l la su a fo rm a , le linee di forza del campo 
gravitazionale, dette linee verticali, sono non regolari. La tangente in un 
punto P ad una linea verticale prende il nome di verticale. 
Nella seconda metà del XIX secolo, i geodeti assunsero come superficie 
matematica della Terra una superficie equipotenziale che è sempre 
perpendicolare alle linee di forza del campo gravitazionale; imposero poi 
che fosse quella passante per un determinato punto fisico della Terra, 
costituito dal livello medio del mare in un ben preciso punto del porto di 
Genova. Questa superficie è stata chiamata geoide. 
Definendolo in maniera grossolana, possiamo dire che il geoide è la 
superficie che si otterrebbe prolungando al di sotto delle terre emerse la 
superficie del mare in quiete, passante per il suddetto punto di 
riferimento.
Angelo Marco Naso 
Tentativo di integrazione di misure geodetiche satellitari e terrestri: uno studio su Vulcano 
8 
 
 
 
Poiché è possibile determinare le quote dei punti della superficie fisica 
della Terra partendo dal livello del mare, il geoide fu assunto come 
superficie di riferimento per l‟a lt ime tria.  
Esso però non risolve a pieno la necessità di avere una superficie di 
riferimento perché non è rap p rese n ta b il e d a u n ‟e q u a zio n e matematica 
effettiva. Infatti, l'equazione del geoide si ottiene come integrale del 
vettore forza di gravità esteso a tutta la massa terrestre, quindi 
occorrerebbe conoscere con esattezza la densità della massa della Terra 
in ogni suo punto, ma ciò praticamente non è possibile. 
Il geoide non può quindi essere preso come superficie di passaggio tra la 
superficie fisica della Terra e il piano della proiezione cartografica, 
poiché, anche se fossimo in grado di mettere in corrispondenza i punti 
della superficie fisica della Terra con quelli del geoide, non saremmo poi 
in grado di mettere in corrispondenza i punti del geoide con quelli di un 
sistema cartesiano piano. 
 
Il problema è stato risolto introducendo pri m a lo sf e roi d e e p o i l‟ e ll iss o id e . 
 
 
Lo sferoide 
Per semplificare il problema, i geodeti supposero, come fu scoperto in 
seguito, che la massa interna della Terra fosse distribuita in modo 
m e d ia m e n te simm e tr ico rispe tt o a ll ‟ass e d i rota zio n e Z; q u e st a semplificazione portò alla trasformazione del geoide in uno sferoide, cioè 
in un solido di rotazione.
Angelo Marco Naso 
Tentativo di integrazione di misure geodetiche satellitari e terrestri: uno studio su Vulcano 
9 
 
 
 
Se sezioniamo lo sferoide con un qualsiasi piano perpendicolare all ‟ass e di rotazione otteniamo dei cerchi. 
Nello sferoide possiamo quindi definire un raggio a del cerchio che giace 
nel piano equatoriale, e un valore b della distanza tra il piano equatoriale 
e i poli. Anche lo sferoide però, non h a u n ‟e q u a zio n e o p e rati v a . 
 
L ‟el li sso i d e 
A questo punto i g e o d e ti i n trod u sse ro u n ‟ ultima semplificazione: 
assunsero come superficie di passaggio tra la superficie fisica della Terra 
e la sua rappresentazione cartografica l‟ellissoide, cioè la superficie 
generata dalla rotazione, at to rn o a ll ‟asse Z d i u n ‟el l isse d i s e m ia ssi a e b. 
 
Dato, allora, un punto P sulla superfici e d e ll ‟ e ll isso id e , si d e fi n isce piano 
meridiano di P il piano co n t e n e n te l‟a sse d i r o ta zi o n e Z e d il P u n t o P ; si definisce meridiano di P l‟in te rsezi o n e d i detto piano con la superficie 
d e ll ‟e ll isso i d e . 
Vedremo che l'ellissoide ha un'espressione matematica semplice e quindi 
si presta bene alla soluzione del problema di mettere in corrispondenza i 
suoi punti con quelli di un sistema di coordinate cartesiane piane. 
Più complesso è il problema di mettere in corrispondenza i punti della 
superficie fisica della Terra co n q u e ll i d e l l‟e ll isso id e ; in fa tt i, e s se n d o l'ellissoide una superficie teorica, non è semplice stabilirne la posizione 
rispetto alla superficie fisica della Terra.  
Vedremo più avanti come è stato risolto il problema.
Angelo Marco Naso 
Tentativo di integrazione di misure geodetiche satellitari e terrestri: uno studio su Vulcano 
10 
 
 
 
Riferendoci al sistema geocentrico (X, Y, Z) già d e fi n i to , l‟e q u a zio n e 
d e ll ‟e ll isso i d e è la s e g u e n te :  1
2
2
2
2 2
 

b
Z
a
Y X
 
dove: 
a = 6378388 m è il semiasse equatoriale dell'ellissoide  
b = 6356912 m è il semiasse polare dell'ellissoide.  
Inoltre, dai semiassi è possibile calcolare l‟eccentricità e d e ll ‟el li sso i d e:  
... 006722 , 0
2
2 2



a
b a
e 
e lo schiacciamento s, cioè il rapporto tra la differenza di lunghezza dei 
due assi e la lu n g h e zza d e ll ‟ass e m a g g io re : 
... 003367 , 0 


a
b a
s 
La determinazione dei valori di a e b, è fatta attraverso misure 
astronomiche e gravimetriche accurate. I valori di a e b sopra riportati, 
sono quelli determinati nel 1909 dal geodeta Hayford; l‟e ll isso id e co n ta l i semiassi prende il nome di ellissoide internazionale. 
Tale ellissoide è stato assunto di riferimento dai geodeti italiani per il 
calcolo delle coordinate geografiche φ e λ dei vertici trigonometrici. 
Il sistema GPS, che vedremo in seguito, utilizza invece dei nuovi 
parametri ellissoidici denominati WGS84 che sono i seguenti: 
a = 6378137 m 
b = 6356752.314 m 
e = 0,000669... 
s = 1/298,25722... = 0.00335281... 
Ricapitolando: la posizione di un punto P sull'ellissoide può essere 
definita in due modi: 
1. in funzione delle sue coordinate nel sistema geocentrico 
2. in funzione di una coppia di coordinate ellissoidiche, che sono la 
latitudine ellissoidica φ e la longitudine ellissoidica λ. 
La latitudine φ è un valore assoluto, mentre la longitudine λ è un valore 
relativo, perché dipende dalla scelta del piano meridiano di riferimento 
che nel nostro caso è quello passante per Greenwich.
Angelo Marco Naso 
Tentativo di integrazione di misure geodetiche satellitari e terrestri: uno studio su Vulcano 
11 
 
 
 
Il sistema di Gauss 
Quando parliamo di sistema di Gauss intendiamo un sistema formato da 
due coordinate cartesiane N ed E e da due funzioni f e g che mettono in 
relazione un generico punto P‟ dell'ellissoide, dato in coordinate 
ellissoidiche ( φ, λ) e il punto corrispondente P” del piano cartesiano. 
 
Le formule di trasformazione f e g per passare dal sistema ellissoidico, al 
sistema piano N, E sono state ricavate da Gauss imponendo le seguenti 
condizioni:  
1. il meridiano ellissoidico, assunto come origine delle longitudini, 
deve trasformarsi nell'asse delle ordinate N; 
2. l'equatore ellissoidico deve trasformarsi nell'asse delle ascisse E; 
3. un arco di lunghezza m sul meridiano origine deve trasformarsi in 
un segmento di uguale lunghezza sull'asse delle ordinate N;  
4. l'angolo ɑ formato da due direzioni uscenti da un punto 
sull'ellissoide deve mantenersi uguale a quello delle corrispondenti 
direzioni riportate nella carta;  
5. il coefficiente di deformazione, pur variando da punto a punto, 
deve essere uguale in tutte le direzioni uscenti da un punto. 
Da queste condizioni analitiche si costruiscono le funzioni f e g che 
applicate alle coordinate, generano una proiezione analoga a quella che 
si otterrebbe proiettando i punti dell'ellissoide, dal centro d i q u e st‟ u lt imo , 
su un cilindro orizzontale avente per direttrici le ellissi di semiassi a e b 
uguali ai semiassi ellissoidici.  
Proiettare i punti dell'ellissoide su un cilindro equivale a proiettarli su un 
piano, in quanto il cilindro è una superficie che può svolgere su un piano.
Angelo Marco Naso 
Tentativo di integrazione di misure geodetiche satellitari e terrestri: uno studio su Vulcano 
12 
 
 
 
 
Dalla figura si vede infatti che proiettando i punti dell'ellissoide dal centro 
O sul cilindro, si ottiene che:  
1. i punti giacenti sul meridiano origine rimangono coincidenti con la 
direttrice di tangenza, la quale, sviluppando il cilindro sul piano, si 
trasforma nell'asse delle ordinate N; 
2. i punti dell'equatore vengono proiettati sulla generatrice tangente 
all'equatore, la quale sviluppando il cilindro sul piano, si trasforma 
nell'asse delle ascisse E;  
3. un generico arco m di meridiano, giacente sul meridiano origine, 
mantiene la sua lunghezza sull'asse N delle ordinate; 
4. un arco meridiano m su un meridiano di longitudine si deforma 
assumendo sul cilindro il valore m'; lo stesso avviene per qualsiasi 
generico arco di sezione normale congiungente due punti avente 
longitudine diversa da zero; 
5. la deformazione della carta cresce con l'aumentare della 
longitudine, come si vede confrontando gli archi di equatore s
1
, 
s
2
,..., s
5
 con le loro proiezioni sull'asse E, s‟
1
,s‟
2
, ... s‟
5
. 
In questo modo sono rispettate le cinque condizioni di Gauss per la 
determinazione delle trasformazioni f e g.
Angelo Marco Naso 
Tentativo di integrazione di misure geodetiche satellitari e terrestri: uno studio su Vulcano 
13 
 
 
 
 
Coordinate ellissoidiche geografiche e coordinate geocentriche 
Vediamo ora quali sono le relazioni che mettono in corrispondenza un 
punto di coordinate geografiche φ, λ e quota ellissoidica h, con le 
coordinate (X, Y, Z) che tale punto ha nel sistema cartesiano geocentrico: 
 

cos cos
1
2 2










 h
sen e
a
X 
 

sen h
sen e
a
Y cos
1
2 2










 
    sen h sen e a Z   
2 2
1 
Il passaggio inverso, cioè dalle coordinate ellissocentriche (X, Y, Z) alle 
coordinate geografiche φ, λ e alla quota h, risulta utile quando si utilizza il 
GPS. 
 
Ellissoide geocentrico ed ellissoide nazionale 
L ‟el li ss o id e so p ra d e sc ritt o , c h e è detto geocentrico, ha l‟a sse d i rot a zio n e ch e l o g e n e ra, c o in ci d e n t e co n l‟ a sse d i r o ta zi o n e te rr e stre e q u in d i 
co in ci d e n t e co n l‟a s se Z d e l sist e m a d i co o rd inate cartesiane 
geocentriche; il piano in cui giace il cerchio generato dalla rotazione del 
semiasse maggiore a (piano equatoriale), coincide col piano (X, Y) della 
terna geocentrica. 
In o lt re a tt rib u e n d o a l l‟ ellissoide i semiassi a e b, si ottiene una condizione 
di t a n g e n z a , a i p o li e a l l‟e q u a to re, tra e ll isso id e e g e o id e . 
Questa condizione minimizza lo scostamento tra ellissoide e geoide ai 
p o li e a ll ‟ equatore, e lo massimizza alle latitudini europee, ed in 
particolare alla latitudine media italiana. 
Per minimizzare le deformazioni che si introducono nel proiettare la 
superficie fisica della Terra su ll ‟el li ss o id e , i geodeti delle varie nazioni 
d e cise ro d i a d o tt a re n o n l‟e ll iss o id e g e o ce n trico , m a u n e ll i sso id e 
nazionale di uguale dimensione e forma di quello geocentrico, ma 
leggermente ruotato e traslato rispetto al sistema geocentrico, in modo da 
realizzare la condizione di tangenza al geoide in un punto baricentrico del 
territorio nazionale.
Angelo Marco Naso 
Tentativo di integrazione di misure geodetiche satellitari e terrestri: uno studio su Vulcano 
14 
 
 
 
P e r l‟It a li a , i g eodeti italiani scelsero di realizzare la coincidenza tra 
ellissoide nazionale e g e o i d e in co rr isp o n d e n za d e l l‟Osse rvat o rio d i Monte Mario a Roma. 
Di conseguenza, sono state sviluppate delle relazioni matematiche che 
mettono in corrispondenza le coordinate geografiche d e ll ‟ellissoide 
n a zio n a l e co n q u e l le d e ll ‟e ll isso i d e geocentrico; di conseguenza, da un 
punto di vista pratico, riferirsi alle une o alle altre è del tutto indifferente. 
 
La sfera locale 
Dal l‟e q u a zio n e c h e e s p rim e l o schiacciamento, è evidente che esso ha, 
p e r l‟e ll isso i d e t e rr e stre, u n va l o re m o lt o co n te n u to ; per questo, a volte, 
per descrivere la forma della Terra, si usa dire sfera leggermente 
schiacciata ai poli.  Segue che per un generico punto P di latitudine φ 
sull ‟el l isso id e, la calotta ellissoidica avente raggio r ≤ 1 0 0 km nell'intorno 
di P, detta campo geodetico, a meno di quantità trascurabili, coincide con 
quella di una sfera avente come raggio R il valore: 

2 2
2
1
1
sen e
e a
R


 
con φ la latitudine del punto P considerato, a il valore del semiasse 
equatoriale ed e l‟e cce n trici tà d e ll ‟el l isso i d e. 
La sfera di raggio R si chiama sfera locale in P. L'aggettivo locale 
significa che il suo raggio varia a seconda della latitudine del punto P. 
A n ch e l a fo rm a d e l g e o id e , n e ll ‟ a m b it o d e l c a m p o geodetico, può essere 
considerata coincidente con quella della sfera locale, a meno di anomalie 
locali, dovute a forti variazione di densità della massa terrestre. 
Lavorando su aree della superficie fisica della Terra aventi estensioni pari 
a quella di una calotta sferica di 100 km di diametro, la forma delle 
su p e rfici d e l g e o id e e d e ll ‟el l isso i d e p o ss o n o essere ritenute coincidenti 
tra di loro ed entrambi coincidenti con quelle della sfera locale. 
Questa semplificazione fu particolarmente utile per i geodeti per la 
determinazione delle distanze tra i vertici trigonometrici della rete di 
inquadramento nazionale.
Angelo Marco Naso 
Tentativo di integrazione di misure geodetiche satellitari e terrestri: uno studio su Vulcano 
15 
 
 
 
 
Le carte geografiche 
La cartografia stabilisce in che modo mettere in corrispondenza biunivoca 
un generico punto P‟ della superficie ellissoidica, con un punto P ‟‟ di 
coordinate N,E nel sistema della proiezione cartografica Gauss. 
Come già accennato, sfruttando le regole e le tecniche della cartografia, è 
p o ssib il e c o strui re u n a ca rta g e o g ra fi ca ; c o sì e ss a risul ta u n ‟a ff id a b il e raffigurazione piana di una parte o di tutta la superficie terrestre, pur 
mantenendo i limiti intrinseci di 
▬ approssimazione (perché non è possibile trasferire una superficie 
sferica su un piano senza modificarla proporzionalmente 
a ll ‟est e n sio n e ) 
▬ riduzione (essendo una rappresentazione ridotta della realtà che 
ha un certo fattore di scala) 
▬ essere simbolica (perché gli elementi del territorio vengono 
rappresentati attraverso simboli convenzionali. 
Inotre la scala può essere numerica o grafica. Nel primo caso essa è 
indicata da una frazione con al numeratore 1 e al denominatore il numero 
per cui bisogna moltiplicare una distanza misurata sulla carta, per risalire 
alla distanza reale. Nel secondo caso la scala è rappresentata da un 
segmento diviso in più parti uguali che corrispondono ad una unità di 
misura lineare indicata sui segmenti.  
 
I simboli convenzionali sono divisi in altimetrici o topografici; primi sono 
rel a ti vi a ll ‟a n d a m e n t o d e l ril ie vo (ad esempio le curve di livello, dette 
anche isoipse), i secondi rappresentano sia elementi naturali del 
paesaggio che artificiali.  
 
La classificazione delle carte geografiche 
L ‟amp io u ti l izzo d e ll e ca rte g e o g ra fi ch e in v a ri ca m p i d ‟ap p li ca zi o n e , h a reso necessaria una distinzione di esse. È possibile dunque trovare carte 
geografiche molto diverse tra loro, pur essendo relative ad una stessa 
area. È necessario perciò, a questo punto del discorso, classificare i 
0 100 200 300 400 500 m
Angelo Marco Naso 
Tentativo di integrazione di misure geodetiche satellitari e terrestri: uno studio su Vulcano 
16 
 
 
 
diversi tipi di carte per poterle distinguere. Esse possono essere 
catalogate sia in base alla scala, che in base al loro contenuto.  
In generale possono essere divise in:  
 carte a grande scala (ad esempio 1/5000), che risultano essere 
molto dettagliate dato ch e ra p p rese n ta n o u n ‟ a rea n o n m o lt o a m p ia  
 carte a piccola scala (ad esempio 1/5000000), che sono poco 
dettagliate dato ch e ra p p rese n ta n o u n ‟are a m o lt o a m p ia . 
Una classificazione più specifica, in cui il dettaglio diminuisce man mano, 
è la seguente: 
 le piante che rappresentano centri urbani e le mappe che 
rappresentano aree rurali hanno scale non superiori a 1/10000,  
 le carte topografiche hanno scale tra 1/10000 e 1/100000, e 
ve n g o n o u t il izza t e p e r l ‟orga n izz a zio n e d e l te r rito rio 
 le carte corografiche hanno scale comprese tra 1/100000 e    
1/1000000, e sono utili alla conoscenza generale del territorio 
 le carte geografiche strettamente dette hanno scale inferiori a     
1/1000000, includono planisferi e mappamondi. 
Le carte possono essere classificate anche in base al loro contenuto; così 
avremo le carte: generali (fisiche o politiche), speciali (nautiche, 
geologiche, ecc) o tematiche (descrivono la distribuzione di un certo 
fenomeno). Tra queste ultime si distinguono: le carte geomorfologiche 
(rappresentano la forma del terreno), quelle pedologiche (rappresentano i 
tipi di suolo) e le carte climatiche. 
 
Le proiezioni geografiche 
A ll a b a s e d e ll e te cn ic h e p e r co strui re u n a ca rta c‟è il reticolato geografico. 
I vari sistemi, matematici o geometrici, utilizzati per riportare sul piano il 
reticolato, vengono chiamati proiezioni geografiche; queste sono 
classificate in vere, modificate e convenzionali.  
Le proiezioni vere sono ottenute mediante il trasporto del reticolato 
geografico su una superficie ausiliaria applicando principi geometrici.  
Se questa superficie è un piano, si hanno proiezioni prospettiche; se 
invece corrisponde a quella di un cilindro o di un cono, si hanno le 
proiezioni per sviluppo.
Angelo Marco Naso 
Tentativo di integrazione di misure geodetiche satellitari e terrestri: uno studio su Vulcano 
17 
 
 
 
Le proiezioni modificate sono ottenute dalle precedenti applicando delle 
correzioni, quindi introducendo delle opportune formule matematiche, per 
ridurre le deformazioni. 
Le proiezioni convenzionali non sfruttano, come le precedenti, la 
geometria, ma sono sviluppate attraverso relazioni matematiche, scelte 
per ottenere particolari risultati. 
Qualunque sia il suo metodo di costruzione, una carta è definita esatta se 
rispetta almeno una tra le proprietà: 
 l‟isogonia, cioè la conservazione degli angoli tra le rette che 
congiungono i vari punti 
 l‟equivalenza, cioè la proporzionalità tra le aree reali e quelle sulla 
carta 
 l‟equidistanza, cioè la proporzionalità tra le distanze reali e quelle 
sulla carta 
La prima proprietà è scelta per le carte nautiche, la seconda per le carte 
geografiche comuni mentre la terza è rispettata nella realizzazione delle 
carte degli atlanti.  
 
- Le proiezioni vere 
Come accennato in precedenza, le proiezioni vere possono essere 
prospettiche o di sviluppo.  
Le proiezioni prospettiche si ottengono immaginando di proiettare un 
emisfero, o una sua parte, su un piano tangente o secante il globo 
terrestre. Se il punto di tangenza è un polo, un punto s u ll ‟eq u a t o re o u n qualsiasi altro punto intermedio, esse sono dette rispettivamente polari, 
equatoriali o oblique.  
Considerando l a p o si zio n e d e ll ‟osse rva to re , le p roi e zio n i p rosp e tt ich e hanno diverse rappresentazioni e diversi limiti; in particolare si hanno 
carte centrografiche (il punto di vista è il centro della Terra), 
stereografiche (il punto di vista è opposto rispetto a quello di tangenza del 
piano), ortografiche (il p u n t o d i vis ta è a ll ‟in fi n it o e i rag g i d i p roi e zio n e sono paralleli). 
Le proiezioni di sviluppo si ottengono sviluppando su di un piano la 
superficie curva (cilindro o cono) scelta per proiettare la superficie
Angelo Marco Naso 
Tentativo di integrazione di misure geodetiche satellitari e terrestri: uno studio su Vulcano 
18 
 
 
 
terrestre. Esse sono dette cilindriche o coniche e si dividono in tangenti e 
secanti, dirette (se l‟ a s se d e l so li d o co i n cid e co n quello terrestre), inverse 
(se l‟a sse d e l so l id o e q u e l lo t e rr e stre so n o p e rpe n d ico l a ri) , e d oblique (se 
l‟a sse d e l so li d o e q u e l lo t e rr e stre f o rm a n o u n a n g o l o q u a lsi a si). 
- Le proiezioni modificate 
Tra le proiezioni modificate la più conosciuta è la proiezione isogona di 
Mercatore che prende il nome dal matematico, cartografo e geografo 
fiammingo vissuto nel XVI secolo.  
Questa proiezione è ottenuta da una superficie cilindrica tangente 
a ll ‟eq u a t o re, co sì d a e sse re su ta l e p a ra ll e l o iso g o n a e d e q u iva l e n t e, ma 
andando verso i poli risulta essere altamente deformata. Meridiani e 
paralleli sono rappresentati da rette parallele ma, mentre i meridiani si 
mantengono equidistanti, i paralleli si allontanano sempre più andando 
d a ll ‟e q u a to re ve rso i p o li .  
Essendo tale proiezione isogona, è possibile tracciare su di essa una 
retta lossodromica, cioè che forma col reticolo angoli sempre uguali; in 
effetti, questa è la rappresentazione di una curva reale. È molto utilizzata 
nella costruzione di carte nautiche, in cui serve mantenere una certa rotta 
che si traduce nel mantenere una direzione costante (retta lossodromica).